#31 Kapalı eğri dolanımını rotasyonel akısına bağlama, birim kare doğrulaması ve tekil girdap alanından Ampère yasasını çıkarma

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Stokes teoremini hücre iptaliyle kur

   

   Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz.

   Geçen video, diverjans teoremiyle bizi yerelden globale taşımıştı: bir hacmin içindeki minik kaynakların toplamı, dış kabuktan geçen akıya eşitti.

   Bugün onun ikiz kardeşi, ve vektör analizi alet çantamızın son aleti: Stokes teoremi.

   İfade şu: A alanının kapalı bir C eğrisi boyunca dolanımı, o eğriye gerilen herhangi bir S yüzeyinden, ∇×A'nın akısına eşittir.

   Sembol olarak: A skaler çarpım dl'nin kapalı çizgi integrali, ∇×A skaler çarpım dS'in yüzey integraline eşit.

   Neden çalışır?

   Geçen seferki numaranın bir boyut küçüğü.

   Yüzeyi milyonlarca minik hücreye döşe.

   Her hücre kendi minik dolanımını taşır: curl'ü çarpı alanı.

   Şimdi hepsini topla.

   Her iç kenar, iki komşu hücre tarafından, zıt yönlerde, ikişer kez gezilir — o katkılar iptal olur.

   Hayatta kalan tek kenarlar en dıştakilerdir, ve onlar da birlikte tam olarak C sınır eğrisini oluşturur.

   Yani bütün minik girdapların toplamı, kenar boyunca tek bir büyük yürüyüşe eşittir.

   Stokes teoremi budur.

   Ve diverjans teoremi geçen videonun sonunda bize Gauss yasasını verdiği gibi, bu teorem de bu video bitmeden Ampère yasasını verecek.

   Sesli anlatım metni

   Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz. Geçen video, diverjans teoremiyle bizi yerelden globale taşımıştı: bir hacmin içindeki minik kaynakların toplamı, dış kabuktan geçen akıya eşitti. Bugün onun ikiz kardeşi, ve vektör analizi alet çantamızın son aleti: Stokes teoremi. İfade şu: A alanının kapalı bir C eğrisi boyunca dolanımı, o eğriye gerilen herhangi bir S yüzeyinden, curl A'nın akısına eşittir. Sembol olarak: A skaler çarpım dl'nin kapalı çizgi integrali, curl A skaler çarpım dS'in yüzey integraline eşit. Neden çalışır? Geçen seferki numaranın bir boyut küçüğü. Yüzeyi milyonlarca minik hücreye döşe. Her hücre kendi minik dolanımını taşır: curl'ü çarpı alanı. Şimdi hepsini topla. Her iç kenar, iki komşu hücre tarafından, zıt yönlerde, ikişer kez gezilir — o katkılar iptal olur. Hayatta kalan tek kenarlar en dıştakilerdir, ve onlar da birlikte tam olarak C sınır eğrisini oluşturur. Yani bütün minik girdapların toplamı, kenar boyunca tek bir büyük yürüyüşe eşittir. Stokes teoremi budur. Ve diverjans teoremi geçen videonun sonunda bize Gauss yasasını verdiği gibi, bu teorem de bu video bitmeden Ampère yasasını verecek.

2. 2. Birim karede yüzey ve çizgi integrallerini eşleştir

   

   Birinci örnek — birim kare.

   Alan, PS05'ten beri taşıdığımız alan: x kare y x̂, artı y kare z ŷ, artı z kare x ẑ.

   Bu sefer bölgemiz bir hacim değil, bir yüzey: z eşit sıfır düzleminde birim kare, x ve y sıfırdan bire.

   Sınırı, karenin kenarı; ve onu saat yönünün tersine yürüyeceğiz.

   Hesaba girmeden önce tek bir defter kuralı: sağ el kuralı.

   Sağ elinin parmaklarını yürüyüş yönünde, saat yönünün tersine kıvır.

   Başparmağın yukarıyı gösterir — artı ẑ.

   Yani yüzey normali z-şapkadır.

   Önce yüzey tarafı.

   Curl'ü hesaplamamıza bile gerek yok, çünkü PS06 zaten hesapladı: ∇×A eşit eksi y kare x̂, eksi z kare ŷ, eksi x kare ẑ.

   Bize sadece normalimiz yönündeki bileşen lazım, ẑ bileşeni, z eşit sıfır düzleminde: eksi x kare.

   Bunu kare üzerinde integre edelim.

   Eksi x kare, dx sıfırdan bire, eksi bir bölü üç verir.

   y integrali bir verir.

   ∬_S(∇×A)·dS = −1/3.

   Şimdi çizgi tarafı — dört kenar.

   Önce bir hediye.

   A'nın y bileşeni y kare z, ve bizim düzlemde z sıfır.

   Yani A y, kare üzerinde her yerde sıfır; y yönünde yürüdüğümüz iki dikey kenar hiçbir katkı vermez.

   Alt kenar, y eşit sıfır: orada A x eşit x kare çarpı y, yani x kare çarpı sıfır.

   Yine sıfır.

   Her şey tepe kenarına kalıyor.

   Orada y eşit bir, yani A x eşit x kare — ve x eşit birden, x eşit sıfıra doğru, x yönüne karşı yürüyoruz.

   x karenin birden sıfıra integrali, eksi bir bölü üç.

   Dört kenarı topla: sıfır, sıfır, sıfır, eksi bir bölü üç.

   $\displaystyle ∮_{C} A\cdot dℓ = -1/3.$

   −1/3 = −1/3; yönelim işareti de tutarlıdır.

   Curl eksi z yönünü gösteriyor, yürüyüşümüz ise artı z yönünde dolanıyor; bu yüzden dolanım negatif çıkıyor.

   İşaret bile tutuyor.

   Teorem doğrulandı.

   Sesli anlatım metni

   Birinci örnek — birim kare. Alan, PS05'ten beri taşıdığımız alan: x kare y x-şapka, artı y kare z y-şapka, artı z kare x z-şapka. Bu sefer bölgemiz bir hacim değil, bir yüzey: z eşit sıfır düzleminde birim kare, x ve y sıfırdan bire. Sınırı, karenin kenarı; ve onu saat yönünün tersine yürüyeceğiz. Hesaba girmeden önce tek bir defter kuralı: sağ el kuralı. Sağ elinin parmaklarını yürüyüş yönünde, saat yönünün tersine kıvır. Başparmağın yukarıyı gösterir — artı z-şapka. Yani yüzey normali z-şapkadır. Önce yüzey tarafı. Curl'ü hesaplamamıza bile gerek yok, çünkü PS06 zaten hesapladı: curl A eşit eksi y kare x-şapka, eksi z kare y-şapka, eksi x kare z-şapka. Bize sadece normalimiz yönündeki bileşen lazım, z-şapka bileşeni, z eşit sıfır düzleminde: eksi x kare. Bunu kare üzerinde integre edelim. Eksi x kare, dx sıfırdan bire, eksi bir bölü üç verir. y integrali bir verir. Yüzey tarafı: eksi bir bölü üç. Şimdi çizgi tarafı — dört kenar. Önce bir hediye. A'nın y bileşeni y kare z, ve bizim düzlemde z sıfır. Yani A y, kare üzerinde her yerde sıfır; y yönünde yürüdüğümüz iki dikey kenar hiçbir katkı vermez. Alt kenar, y eşit sıfır: orada A x eşit x kare çarpı y, yani x kare çarpı sıfır. Yine sıfır. Her şey tepe kenarına kalıyor. Orada y eşit bir, yani A x eşit x kare — ve x eşit birden, x eşit sıfıra doğru, x yönüne karşı yürüyoruz. x karenin birden sıfıra integrali, eksi bir bölü üç. Dört kenarı topla: sıfır, sıfır, sıfır, eksi bir bölü üç. Çizgi tarafı: eksi bir bölü üç. Eksi bir bölü üç eşit eksi bir bölü üç — ve şu eksi işaretinin tadını bir saniye çıkar. Curl eksi z yönünü gösteriyor, yürüyüşümüz ise artı z yönünde dolanıyor; bu yüzden dolanım negatif çıkıyor. İşaret bile tutuyor. Teorem doğrulandı.

3. 3. Tekil girdap alanını ve eksen deltasını çöz

   

   İkinci örnek — ve tıpkı geçen seferki gibi, asıl ders burada yaşıyor.

   Girdap alanını alalım: A eşit bir bölü ρ, φ-şapka yönünde.

   Kelimelerle: alan z ekseninin etrafında dönüyor, ve eksene yaklaştıkça güçleniyor.

   Bir giderin etrafında dönen suyu hayal et.

   C, eksen etrafında R yarıçaplı bir çember olsun; S de onun gerdiği düz disk.

   Önce yüzey tarafı — naif şekilde.

   Silindirik koordinatlarda azimutal bir alanın curl'ü: bir bölü ρ, çarpı ρ çarpı A φ'nin ρ'ya göre kısmi türevi, ẑ yönünde.

   Ama ρ çarpı A φ, ρ çarpı bir bölü ρ — sadece bir.

   Bir sabit.

   Türevi sıfır.

   Yani eksenden uzakta curl tam olarak sıfır, ve naif yüzey integrali sıfır verir.

   Bunu aklında tut.

   Çizgi tarafı.

   R yarıçaplı çemberde alanın büyüklüğü bir bölü R; yol elemanı ise R d φ, aynı yönde.

   Çarp: R'ler iptal olur, geriye sadece d φ kalır.

   Tam çemberi yürü, φ sıfırdan iki π'ye.

   $\displaystyle ∮_{C} A\cdot dℓ = 2\pi .$

   Dur ve çelişkiyi yine hisset.

   Yüzey tarafı sıfır dedi.

   Çizgi tarafı iki π dedi.

   Ve çarpıcı bir şeye dikkat et: cevap R'ye bağlı bile değil.

   Eksen etrafındaki her çember, büyük ya da küçük, tam olarak iki π verir.

   Bütün girdap tek bir yerde yoğunlaşmış: alanın patladığı yerde, eksenin kendisinde.

   Tıpkı geçen seferki nokta yük gibi, orada curl sıfır değil.

   Sonsuz: iki boyutlu bir delta fonksiyonu.

   Dağılımsal olarak ∇×[(1/ρ)φ̂] = 2πδ(x)δ(y)ẑ.

   Bunu disk üzerinde integre et; yüzey tarafı da iki π verir.

   Teorem yerine geldi — tekillik konusunda dürüst olduğumuz anda.

   Ve şimdi ödül.

   Alanı I bölü iki π ile çarp.

   Bir bölü ρ φ-şapka, I bölü iki π ρ, φ-şapka olur — ve bu, tam olarak I akımı taşıyan düz bir telin manyetik alanı H'dir.

   Teli çevreleyen herhangi bir ilmek boyunca H'nin dolanımı, I olur — çevrelenen akım.

   Bu, Ampère yasasıdır.

   Ampère yasası, girdap alanına uygulanmış Stokes teoreminden başka bir şey değildir; tekillik — yani telin kendisi — dürüstçe ele alındığı sürece.

   Manyetostatikteki her Ampère ilmeği hesabı bunun üzerine kuruludur.

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek — ve tıpkı geçen seferki gibi, asıl ders burada yaşıyor. Girdap alanını alalım: A eşit bir bölü rho, phi-şapka yönünde. Kelimelerle: alan z ekseninin etrafında dönüyor, ve eksene yaklaştıkça güçleniyor. Bir giderin etrafında dönen suyu hayal et. C, eksen etrafında R yarıçaplı bir çember olsun; S de onun gerdiği düz disk. Önce yüzey tarafı — naif şekilde. Silindirik koordinatlarda azimutal bir alanın curl'ü: bir bölü rho, çarpı rho çarpı A phi'nin rho'ya göre kısmi türevi, z-şapka yönünde. Ama rho çarpı A phi, rho çarpı bir bölü rho — sadece bir. Bir sabit. Türevi sıfır. Yani eksenden uzakta curl tam olarak sıfır, ve naif yüzey integrali sıfır verir. Bunu aklında tut. Çizgi tarafı. R yarıçaplı çemberde alanın büyüklüğü bir bölü R; yol elemanı ise R d phi, aynı yönde. Çarp: R'ler iptal olur, geriye sadece d phi kalır. Tam çemberi yürü, phi sıfırdan iki pi'ye. Dolanım: iki pi. Dur ve çelişkiyi yine hisset. Yüzey tarafı sıfır dedi. Çizgi tarafı iki pi dedi. Ve çarpıcı bir şeye dikkat et: cevap R'ye bağlı bile değil. Eksen etrafındaki her çember, büyük ya da küçük, tam olarak iki pi verir. Bütün girdap tek bir yerde yoğunlaşmış: alanın patladığı yerde, eksenin kendisinde. Tıpkı geçen seferki nokta yük gibi, orada curl sıfır değil. Sonsuz: iki boyutlu bir delta fonksiyonu. Curl phi-şapka bölü rho, eşit iki pi çarpı iki boyutlu delta rho, z-şapka yönünde. Bunu disk üzerinde integre et; yüzey tarafı da iki pi verir. Teorem yerine geldi — tekillik konusunda dürüst olduğumuz anda. Ve şimdi ödül. Alanı I bölü iki pi ile çarp. Bir bölü rho phi-şapka, I bölü iki pi rho, phi-şapka olur — ve bu, tam olarak I akımı taşıyan düz bir telin manyetik alanı H'dir. Teli çevreleyen herhangi bir ilmek boyunca H'nin dolanımı, I olur — çevrelenen akım. Bu, Ampère yasasıdır. Ampère yasası, girdap alanına uygulanmış Stokes teoreminden başka bir şey değildir; tekillik — yani telin kendisi — dürüstçe ele alındığı sürece. Manyetostatikteki her Ampère ilmeği hesabı bunun üzerine kuruludur.

4. 4. Ampère yasası ve sekiz problemi özetle

   

   Hızlı özet.

   Stokes teoremi der ki: bir vektör alanının kapalı bir eğri boyunca dolanımı, o eğriye gerilen herhangi bir yüzeyden curl'ünün akısına eşittir.

   Yerel girdaplar, toplanınca, kenar boyunca tek bir yürüyüşe eşittir.

   İki çözümlü örnek gördük.

   Birincisi, taşıdığımız polinom alanla birim kare.

   Yüzey tarafı eksi bir bölü üç, çizgi tarafı eksi bir bölü üç — işaretiyle birlikte.

   Temiz, hilesiz bir doğrulama.

   İkincisi, girdap alanı: bir bölü ρ φ-şapka.

   Naif yüzey integrali sıfır verdi, dolanım iki π verdi; ve uyumsuzluk dersin ta kendisiydi: curl, eksende bir delta fonksiyonu olarak saklanıyor.

   I bölü iki π ile ölçekle, ve karşına Ampère yasası çıkar: H'nin dolanımı, çevrelenen akıma eşit.

   Şimdi bir adım geri çekil ve bu sekiz problem videosunda ne inşa ettiğimize bak.

   Gradyan, diverjans, curl.

   Sonra diverjans teoremi yerel kaynakları Gauss yasasına çevirdi; bugün de Stokes teoremi yerel girdapları Ampère yasasına çevirdi.

   Vektör analizi alet çantası tamamlandı.

   Bu iki teorem, Maxwell'in diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprülerdir; ve bundan sonra onları her yerde kullanacağız.

   Bir sonraki videoda görüşürüz.

   Sesli anlatım metni

   Hızlı özet. Stokes teoremi der ki: bir vektör alanının kapalı bir eğri boyunca dolanımı, o eğriye gerilen herhangi bir yüzeyden curl'ünün akısına eşittir. Yerel girdaplar, toplanınca, kenar boyunca tek bir yürüyüşe eşittir. İki çözümlü örnek gördük. Birincisi, taşıdığımız polinom alanla birim kare. Yüzey tarafı eksi bir bölü üç, çizgi tarafı eksi bir bölü üç — işaretiyle birlikte. Temiz, hilesiz bir doğrulama. İkincisi, girdap alanı: bir bölü rho phi-şapka. Naif yüzey integrali sıfır verdi, dolanım iki pi verdi; ve uyumsuzluk dersin ta kendisiydi: curl, eksende bir delta fonksiyonu olarak saklanıyor. I bölü iki pi ile ölçekle, ve karşına Ampère yasası çıkar: H'nin dolanımı, çevrelenen akıma eşit. Şimdi bir adım geri çekil ve bu sekiz problem videosunda ne inşa ettiğimize bak. Gradyan, diverjans, curl. Sonra diverjans teoremi yerel kaynakları Gauss yasasına çevirdi; bugün de Stokes teoremi yerel girdapları Ampère yasasına çevirdi. Vektör analizi alet çantası tamamlandı. Bu iki teorem, Maxwell'in diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprülerdir; ve bundan sonra onları her yerde kullanacağız. Bir sonraki videoda görüşürüz.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #31 | Soru Çözümü #08: Stokes Teoremi ve Ampère Yasası (7:58)