#02 İdealleştirme: Mesnetler, Düğümler, Yük Aktarımı ve Süperpozisyon

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: yük yolu — döşeme → kiriş → kolon → temel

   Açık kalan iki soru

   ① Kiriş ucu gerçekte nasıl bağlı, hesapta nasıl çizilir?

   ② Döşemenin yükü dört kirişe nasıl bölünür?

   Bugün: gerçek yapı → hesap modeli

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste yükün yapıda izlediği yolu gördük: döşemeden kirişe, kolona, temele. Ama iki soru açık kaldı. Bir kirişin ucu gerçekte nasıl bağlanıyor ve hesapta onu nasıl çizeceğiz? Döşemenin yükü dört kirişe nasıl bölünüyor? Bugün gerçek bir yapıyı hesap modeline çeviriyoruz.

2. 2. Döşemenin Yükü Hangi Kirişe?

   

   6 m × 4 m döşeme, dört kenar kirişi

   Her yere eşit yayılı yük

   Ne kadarı uzun, ne kadarı kısa kirişe?

   İlk içgüdü: dörde eşit böl

   Deney: köşelerden 45° çatlaklar → kısaya üçgen, uzuna yamuk

   Uzun kiriş, kısanın kaç katı yük alır?

   Sesli anlatım metni

   Dört kirişe oturan 6'ya 4 metrelik bir döşeme düşünelim. Üstüne her yere eşit dağılmış bir yük koyalım. Bu yükün ne kadarı uzun kirişlere, ne kadarı kısa kirişlere gider? İlk içgüdü genellikle dörde eşit bölmektir. Deneyler başka bir şey söylüyor: yük artınca döşemenin köşelerinden 45 derecelik çatlaklar başlar. Bu çizgiler döşemeyi dört parçaya ayırır: kısa kirişlere iki üçgen, uzun kirişlere iki yamuk. Her parça, yükünü en yakın kirişe verir. Peki uzun kiriş, kısa kirişin kaç katı yük alır? Birazdan hesaplayacağız.

3. 3. Mesnetler ve Tepkileri

   

   Öteleme engeli → kuvvet; dönme engeli → moment

   Kayıcı mesnet: 1 bilinmeyen, yüzeye dik · pandül / kablo: 1, çubuk doğrultusunda

   Sabit mafsal: 2 bilinmeyen

   Ankastre: 2 kuvvet + 1 moment = 3

   Kılavuzlu mesnet: 1 kuvvet + 1 moment = 2

   Sesli anlatım metni

   Önce mesnetler. Kural Statik dersinden tanıdık: bir mesnet bir yönde ötelemeyi engelliyorsa o yönde bir kuvvet, dönmeyi engelliyorsa bir moment uygular. Kayıcı mesnet, silindir ya da sürtünmesiz bir yüzey, yalnız yüzeye dik ötelemeyi engeller: bir bilinmeyen. Kısa bir pandül çubuk ya da kablo da bir bilinmeyen verir; ama kuvvet çubuğun doğrultusundadır. Sabit mafsal iki yönde ötelemeyi engeller, dönmeye izin verir: iki bilinmeyen. Ankastre mesnet ötelemeyi de dönmeyi de engeller: iki kuvvet ve bir moment, üç bilinmeyen. Bir de kılavuzlu mesnet var, yani kayıcı ankastre: dönmeyi ve bir yöndeki ötelemeyi engeller, öbür yönde kaymaya izin verir. Bir kuvvet ve bir moment, iki bilinmeyen.

4. 4. Düğümler: Mafsallı mı, Rijit mi?

   

   Mafsallı düğüm: elemanlar birbirine göre döner

   Rijit düğüm: aradaki açı korunur

   Gerçekte arası: dönme yayı; k = 0 mafsal, k → ∞ ankastre

   Çelik: köşebentli uç ≈ mafsal; kaynaklı ve berkitmeli ≈ ankastre

   Betonarme: düğümler genellikle rijit · ahşap: mafsal

   Sesli anlatım metni

   Düğümler de iki uç modelle çizilir. Mafsallı düğüm, birleşen elemanların birbirine göre dönmesine izin verir; rijit düğüm vermez, aradaki açıyı korur. Gerçekte her bağlantı biraz dönme direnci gösterir; onu bir dönme yayı gibi düşünebiliriz. Yay çok yumuşaksa düğüm mafsal, çok sertse ankastre gibi davranır. Çelikte kiriş gövdesinden köşebentle bağlanan uç genellikle mafsal kabul edilir; başlıkları kaynaklı ve berkitmeli bir bağlantı ise ankastre. Yerinde dökülen betonarmede kiriş ile kolon birlikte dökülür; düğümler genellikle rijittir. Ahşapta çivili ya da cıvatalı birleşimler mafsal kabul edilir.

5. 5. Gerçek Yapıdan Hesap Modeline

   

   12 m çelik yaya köprüsü kirişi

   Bir ucu bulonlu; öbürü elastomer yastıkta

   Model: kiriş bir çizgi

   Bulonlu uç → sabit mafsal

   Yastıklı uç → kayıcı mesnet

   Model yanlışsa sonuç da yanlış

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bir model kuralım. Bir yaya köprüsünün 12 metrelik çelik kirişi, bir ucunda beton bir mesnede bulonlarla bağlı. Öbür ucu ise elastomer bir yastığın üstünde duruyor; sıcaklıkla uzayıp kısalabiliyor. Hesap modelinde kirişi tek bir çizgi olarak çizeriz; kalınlığı boyunun yanında küçüktür. Bulonlu uç yatay ve düşey ötelemeyi engeller ama küçük bir dönmeye izin verir: sabit mafsal. Yastıklı uç yalnız düşey ötelemeyi engeller: kayıcı mesnet. Kirişin taşıdığı döşemenin yükü de metre başına yayılı yük olarak çizilir. Böylece gerçek yapı; bir çizgi, iki mesnet simgesi ve bir yük diyagramına dönüşür. Model yanlışsa, ne kadar dikkatli hesaplarsak hesaplayalım sonuç da yanlış olur.

6. 6. Tek Doğrultulu Döşeme

   

   oran = uzun / kısa; oran 2'den büyük → tek doğrultulu

   kirişler 3 m arayla, açıklık 8 m

   8 / 3 ≈ 2.67 → tek doğrultulu

   p = 7 kN/m²

   yük genişliği: yarım + yarım = 3 m

   w = 7 · 3 = 21 kN/m

   W = 21 · 8 = 168 kN

   her uç: 168 / 2 = 84 kN

   → ana kirişe tekil yük

   Sesli anlatım metni

   Döşemeye dönelim. Yükün döşemeden kirişlere nasıl aktarıldığı döşemenin biçimine bağlıdır. Kitabımızın aktardığı Amerikan beton yönetmeliğinde ölçüt basit: uzun kenarın kısa kenara oranı. Oran 2'den büyükse döşeme tek doğrultuda çalışır ve yükünü yalnız uzun kenarlardaki kirişlere verir. Bir örnek. Kirişler 3 metre arayla dizilmiş, her biri 8 metre açıklıklı. Oran 8 bölü 3, yaklaşık 2.67; 2'den büyük, döşeme tek doğrultulu. Döşemeye metrekare başına 7 kilonewton yük gelsin. Her kiriş, iki yanındaki döşemelerin yarısını, yani 3 metrelik bir şeridi taşır. Kirişe gelen yük 7 çarpı 3, metre başına 21 kilonewton. Kirişin toplam yükü 21 çarpı 8, 168 kilonewton; her ucuna yarısı, 84 kilonewton düşer. Bu uç kuvvetleri de kirişin oturduğu ana kirişlere tekil yük olarak geçer.

7. 7. Çift Doğrultulu Döşeme: 45° Çizgiler

   

   oran 2 ya da küçük → çift doğrultulu

   6 / 4 = 1.5 → çift doğrultulu

   köşelerden 45° çizgiler

   kısa kenarın yarısı:

   $\displaystyle \frac{4 }{ 2 }= 2 m$

   kısa kiriş: üçgen, taban 4 m, yükseklik 2 m

   uzun kiriş: yamuk, alt taban 6 m

   üst taban:

   $\displaystyle 6 - 2 - 2 = 2 m$

   tepe: 7 · 2 = 14 kN/m

   kısa: 4 · 14 / 2 = 28 kN

   uzun:

   $\displaystyle \frac{6 + 2}{ 2 }= 4 m$

   4 · 14 = 56 kN

   28 + 28 + 56 + 56 = 168 kN

   7 · 6 · 4 = 168 kN ✓

   uzun = 2 × kısa (eşit bölmek: 42 ✗)

   Sesli anlatım metni

   Oran 2 ya da daha küçükse döşeme çift doğrultuda çalışır ve yükünü dört kenara birden verir. Açılıştaki döşeme 6'ya 4 metre; oran 6 bölü 4, 1.5. Çift doğrultulu. Yük alanlarını köşelerden çizilen 45 derecelik çizgilerle buluruz. Kısa kenarın yarısı 2 metre; çizgiler bu yüzden kenarlardan 2 metre içeride buluşur. Kısa kirişe tabanı 4, yüksekliği 2 metre olan bir üçgen düşer. Uzun kirişe ise bir yamuk düşer: alt tabanı 6 metre, üst tabanı 6 eksi 2 eksi 2, yani 2 metre; yüksekliği yine 2 metre. Kirişteki yük en fazla ortada olur: metrekare başına 7 kilonewton çarpı 2 metre, metre başına 14 kilonewton. Kısa kiriş bu yükü üçgen biçiminde alır: toplamı 4 çarpı 14 bölü 2, 28 kilonewton. Uzun kiriş yamuk biçiminde alır: önce 6 ile 2'nin ortalaması, 4 metre; sonra 4 çarpı 14, 56 kilonewton. Sağlama yapalım: 28 artı 28 artı 56 artı 56, 168 kilonewton. Döşemenin toplam yükü 7 çarpı 6 çarpı 4, yine 168. Yani uzun kiriş, kısa kirişin tam 2 katı yük alıyor; dörde eşit bölseydik her kirişe 42 derdik.

8. 8. Yük Yolu ve Süperpozisyon

   

   toplam etki = ayrı etkilerin toplamı

   6 m kiriş: ortada 12 kN + 4 kN/m

   ① P: 12 / 2 = 6 kN

   M = P L / 4:

   $\displaystyle 12 \cdot 6 = 72$

   72 / 4 = 18 kN·m

   ② w: 4 · 6 = 24 kN → 12 kN

   M = w L² / 8:

   $\displaystyle 6² = 36$

   $\displaystyle 4 \cdot 36 = 144$

   144 / 8 = 18 kN·m

   ③ R = 6 + 12 = 18 kN

   M = 18 + 18 = 36 kN·m

   koşul: doğrusal elastik + küçük yer değiştirme

   Sesli anlatım metni

   İki kısa ilke daha. Birincisi yük yolu: yük döşemeden kirişlere, kirişlerden ana kirişlere, oradan kolonlara ve temellere iner. Bir zincir gibi, yapı da bu yoldaki en zayıf halka kadar güçlüdür. İkincisi süperpozisyon ilkesi: birkaç yük birlikte etkirken bir noktadaki iç kuvvet ya da yer değiştirme, yüklerin ayrı ayrı yaptığı etkilerin toplamıdır. Bir örnek. 6 metrelik basit kirişin ortasında 12 kilonewtonluk bir tekil yük, boyunca da metre başına 4 kilonewton yayılı yük var. Önce yalnız tekil yük: her mesnede 12 bölü 2, 6 kilonewton. Ortadaki moment, yük çarpı açıklık bölü 4: 12 çarpı 6, 72; bölü 4, 18 kilonewton metre. Sonra yalnız yayılı yük: bileşke 4 çarpı 6, 24 kilonewton; her mesnede 12. Ortadaki moment, yayılı yük çarpı açıklığın karesi bölü 8: 6'nın karesi 36; 4 çarpı 36, 144; bölü 8, 18 kilonewton metre. Topladığımızda mesnet tepkileri 6 artı 12, 18 kilonewton; ortadaki moment 18 artı 18, 36 kilonewton metre. İki yükü birlikte koyup doğrudan hesaplasak da aynı sonucu buluruz. Bu ilke iki koşulda geçerlidir: malzeme doğrusal elastik kalmalı ve yer değiştirmeler, yapının geometrisini değiştirmeyecek kadar küçük olmalı.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Çift doğrultulu döşemenin yükünü eşit bölmek → kısa 28, uzun 56 kN

   ② Modeli gerçeğe bakmadan seçmek → yastığı mafsal çizmek, olmayan yatay kuvvet

   ③ Süperpozisyonu her yerde kullanmak → akma ya da büyük yer değiştirmede toplanamaz

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: çift doğrultulu döşemenin yükünü dört kirişe eşit bölmek. Örneğimizde kısa kirişler 28, uzun kirişler 56 kilonewton alıyor; eşit bölsek hepsine 42 derdik. İki: modeli gerçeğe bakmadan seçmek. Kayabilen bir yastığı sabit mafsal diye çizersek, sıcaklıkla uzayan kirişte gerçekte olmayan bir yatay kuvvet buluruz. Üç: süperpozisyonu her yerde kullanmak. Malzeme akmışsa ya da yer değiştirmeler büyükse etkiler toplanamaz.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    İdealleştirme: eleman çizgi; bağlantı mafsal, kayıcı ya da ankastre; yük kN/m

    Döşeme: oran 2'den büyükse tek doğrultulu; değilse 45° çizgiler

    Süperpozisyon: etkiler ayrı ayrı bulunup toplanır

    Sıradaki ders: belirlilik ve stabilite

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Gerçek bir yapıyı hesaplamak için önce idealleştiririz: elemanlar çizgi, bağlantılar mafsal, kayıcı ya da ankastre, yükler de metre başına yayılı yük olur. Döşemede kenar oranı 2'den büyükse yük tek doğrultuda gider; değilse 45 derecelik çizgilerle dört kenara dağılır. Süperpozisyonla yüklerin etkilerini ayrı ayrı bulup toplarız. Bir sonraki derste, bir yapının yalnız denge denklemleriyle çözülüp çözülemeyeceğine, yani belirlilik ve stabiliteye bakacağız. Görüşmek üzere.

Kaynak video: İdealleştirme: Mesnetler, Düğümler, Yük Aktarımı ve Süperpozisyon (7:37)