#05 Kafes Sistemler: Sınıflandırma, Belirlilik, Düğüm Noktaları ve Sıfır Kuvvetli Çubuklar

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: mesnet tepkileri — serbest cisim, ΣM noktası, mafsaldan ayırma

   Bugün: kafes sistemler

   Düğüm noktaları yöntemi Statik'te görüldü

   Sınıflandır · belirli mi say · sıfır çubukları bul

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste mesnet tepkilerini bulduk: serbest cisim diyagramı, akıllı bir moment noktası ve gerekirse mafsaldan ayırmak. Bugün kafes sistemlere geçiyoruz. Düğüm noktaları yöntemini Statik dersimizde görmüştük; burada kafesleri sınıflandıracak, belirli mi diye sayacak ve hiç kuvvet taşımayan çubukları bir bakışta bulacağız.

2. 2. Kafesin Sırrı: Üçgen

   

   Dört çubuk, köşelerde mafsal

   Yandan itince yamuluyor, çöküyor!

   Karşı köşelere bir çapraz

   Aynı itme: kımıldamıyor

   Üçgen şekil değiştirmez

   Kafesin sırrı: +2 çubuk, +1 düğüm

   Sesli anlatım metni

   Dört çelik çubuğu köşelerinden mafsallarla birleştirip bir kare yapalım; alt çubuk yere bağlı. Üst köşeye yandan hafifçe itelim. Kare yamulup paralelkenar oluyor ve çöküyor! Mafsallar dönmeye izin verdiği için dört çubuk tek başına bir şekli tutamaz. Şimdi karşı köşelere bir çapraz çubuk ekleyelim ve aynı kuvvetle tekrar itelim. Kımıldamıyor! Çapraz, kareyi iki üçgene böldü. Üçgenin kenar uzunlukları belliyse açıları da bellidir; üçgen şekil değiştiremez. Kafesin sırrı bu: üçgene iki çubuk ve bir düğüm ekle, yeni bir üçgen olsun. Bir köprü kafesi böyle büyür.

3. 3. Çatı ve Köprü Kafesleri

   

   Çatı: yük aşıklardan düğümlere

   Orta açıklık: Howe, Pratt

   Büyük açıklık: Fink; düz çatı: Warren

   Köprü: döşeme → boyuna kiriş → enine kiriş → düğüm

   En yaygın: dikmeli Warren; büyük açıklık: Parker, K

   Çaprazlar yatayla 45°–60°: malzeme en az

   Sesli anlatım metni

   Kafesler iki büyük işte karşımıza çıkar: çatılar ve köprüler. Çatı kafeslerinde yük, aşıklar üzerinden kafesin düğümlerine gelir. Orta açıklıklar için Howe ve Pratt kafesleri, daha büyük açıklıklar için Fink kafesi, düz çatılar için Warren kafesi kullanılır. Köprülerde yük, döşemeden boyuna kirişlere, oradan enine kirişlere ve yan kafeslerin düğümlerine gider. En yaygın köprü kafesi dikmeli Warren kafesidir; açıklık büyüdükçe üst başlığı kırıklı Parker kafesi ya da K kafesi seçilir. Çaprazların yatayla 45 ile 60 derece arasında olması malzemeyi en iyi kullanır.

4. 4. İki Varsayım: Her Çubuk Eksenel

   

   ① çubuklar düğümlerde sürtünmesiz mafsal

   gerçekte: bulonlu / kaynaklı bağlantı levhası

   eksenler tek noktada kesişirse yeterince doğru

   ② bütün yükler düğümlerde

   → her çubuk yalnız eksenel kuvvet

   uzatır: çekme

   kısaltır: basınç

   basınç çubuğu kalın: burkulma

   düğüm rijitliği: ikincil gerilme (ihmal)

   Sesli anlatım metni

   Kafes hesabında iki varsayım yaparız. Birincisi: çubuklar düğümlerde sürtünmesiz mafsallarla birleşir. Gerçekte düğümler bulonlu ya da kaynaklı bir bağlantı levhasıyla yapılır; çubuk eksenleri tek bir noktada kesişiyorsa bu varsayım yeterince doğrudur. İkincisi: bütün yükler düğümlere etkir. Bu iki varsayımın sonucu çok güçlüdür: her çubuk yalnız eksenel kuvvet taşır. Çubuğu uzatmaya çalışan kuvvet çekme, kısaltmaya çalışan kuvvet basınçtır. Basınç çubukları genellikle daha kalın yapılır, çünkü ince bir çubuk basınç altında aniden yana burkulabilir. Düğümlerin gerçek rijitliğinden doğan küçük eğilme gerilmelerine ikincil gerilme denir; bu derste ihmal ediyoruz.

5. 5. Basit, Bileşik, Karmaşık — ve Sayma Kuralı

   

   basit: üçgen + (2 çubuk, 1 düğüm) + …

   ilk üçgen: 3 çubuk, 3 düğüm

   b = 2j − 3 (3 eksik)

   bileşik: basit kafesler birleşir; değilse karmaşık

   düğüm: kuvvetler kesişir → ΣM kendiliğinden

   denklem: 2j

   bilinmeyen: b + r

   b + r = 2j izostatik; > hiperstatik; < kararsız

   basit + mafsal + kayıcı:

   $\displaystyle \left(2j - 3\right) + 3 = 2j$

   Sesli anlatım metni

   Kafesleri üçe ayırırız. Basit kafes bir üçgenle başlar ve her adımda iki çubuk ve bir düğüm eklenerek büyür. İlk üçgende 3 çubuk ve 3 düğüm var; sonraki her düğüm iki çubuk getirir. Bu yüzden basit kafeste çubuk sayısı, düğüm sayısının iki katından 3 eksiktir. Birkaç basit kafesin birbirine bağlanmasıyla bileşik kafes oluşur; ikisine de uymayanlara karmaşık kafes denir. Şimdi sayma kuralı. Her düğümde çubuk kuvvetleri tek bir noktadan geçer; moment denklemi kendiliğinden sağlanır ve düğüm başına iki denklem kalır. Toplam denklem sayısı, düğüm sayısının iki katıdır. Bilinmeyenler ise çubuk kuvvetleri ve mesnet tepkileri. Çubuk sayısı artı tepki sayısı denklem sayısına eşitse kafes izostatik, fazlaysa hiperstatik, azsa kararsızdır. Sabit mafsal ve kayıcı mesnet üzerindeki basit bir kafeste tepki sayısı 3; çubuk sayısındaki 3 eksiği tam kapatır. Yani böyle bir basit kafes her zaman izostatiktir.

6. 6. Pratt Kafesini Sayalım

   

   $\displaystyle j = 7 + 5 = 12 \to 2j = 24$

   $\displaystyle b = 6 + 4 + 2 + 5 + 4 = 21$

   mafsal + kayıcı:

   $\displaystyle r = 3 \to 21 + 3 = 24$

   24 = 24 → izostatik

   iki mafsal:

   $\displaystyle r = 4 \to 25; 25 - 24 = 1$

   → 1. derece hiperstatik

   çapraz sökülür:

   $\displaystyle 20 + 3 = 23 < 24$

   → kararsız (kare panel yamulur)

   üç kayıcı: 24 = 24, ama paralel → kayar

   Sesli anlatım metni

   Altı panelli bir Pratt köprü kafesini sayalım. Altta 7, üstte 5 düğüm: toplam 12 düğüm, 24 denklem. Çubuklar: alt başlıkta 6, üst başlıkta 4, iki eğik uç çubuğu, 5 dikme ve 4 çapraz; toplam 21. Sabit mafsal ve kayıcı mesnetle 3 tepki: 21 artı 3, 24. 24 eşittir 24: izostatik. Kayıcıyı da sabit mafsal yapalım: 4 tepki, 25 bilinmeyen; 25 eksi 24, birinci dereceden hiperstatik. Şimdi bir çaprazı sökelim: 20 artı 3, 23; 24'ten az, kafes kararsız. Çaprazı sökülen panel yine bir kare olur ve açılıştaki gibi yamulur. Son olarak kafesi üç kayıcı mesnede koyalım: sayım 24'e 24 diyor, ama geçen dersten biliyoruz: tepkilerin hepsi paralel, kafes yatayda kayar. Sayımı her zaman geometriyle birlikte yap.

7. 7. Düğüm Noktaları Yöntemi

   

   simetri: Ay = By = 30 / 2 = 15 kN

   AC: 4 m yana, 3 m yukarı → 5 m

   $\displaystyle \sin =\frac{ 3 }{ 5 }= 0.6$

   $\displaystyle \cos =\frac{ 4 }{ 5 }= 0.8$

   bilinmeyenler çekme varsayılır; eksi = basınç

   A düğümü, ΣFy: 15 + FAC · 0.6 = 0

   FAC = −15 / 0.6 = −25 kN

   → 25 kN basınç

   ΣFx: FAD + (−25) · 0.8 = 0

   FAD = 20 kN → çekme

   D düğümü: AD, DB aynı doğruda; yük yok

   ΣFy: FCD = 0

   FDB = 20 kN çekme

   kontrol, C:

   $\displaystyle 25 \cdot 0.6 = 15; 15 + 15 = 30 ✓$

   Sesli anlatım metni

   Düğüm noktaları yöntemini Statik'te görmüştük; küçük bir kafesle hatırlayalım. Açıklık 8 metre, yükseklik 3 metre. A'da sabit mafsal, B'de kayıcı mesnet, tepede C düğümü, alt ortada D düğümü. C'ye 30 kilonewton düşey yük geliyor. Önce tepkiler: kafes ve yük simetrik, 30'un yarısı; A'ya ve B'ye 15'er kilonewton. Eğik çubuk A C: 4 metre yana, 3 metre yukarı. Uzunluğu 3, 4, 5 üçgeninden 5 metre; sinüs 3 bölü 5, 0.6; kosinüs 4 bölü 5, 0.8. Bilinmeyen çubuk kuvvetlerini hep çekme varsayıyoruz; eksi çıkan basınçtır. A düğümü: düşey denge, 15 artı A C kuvveti çarpı 0.6, eşittir sıfır. A C kuvveti eksi 15 bölü 0.6, eksi 25 kilonewton: 25 kilonewton basınç. Yatay denge: A D kuvveti artı eksi 25 çarpı 0.8, sıfır. A D kuvveti 20 kilonewton: çekme. Şimdi D düğümü: A D ile D B aynı doğru üzerinde, C D dik ve D'de yük yok. Düşey dengede C D'den başka hiçbir kuvvet yok; C D sıfır kuvvetli bir çubuk. Yatayda D B de 20 kilonewton çekme. Kontrol: C düğümünde iki eğik çubuğun düşey bileşenleri 25 çarpı 0.6, 15; ikisi toplam 30, yükle dengede.

8. 8. Sıfır Kuvvetli Çubuklar

   

   ① 2 çubuk, aynı doğruda değil, yük yok → ikisi de 0

   ② 3 çubuk, ikisi aynı doğruda, yük yok → üçüncüsü 0

   örnek: az önceki CD (② kural)

   Pratt: U2'de 24 kN, U4'te 12 kN

   L1, L5: iki alt başlık aynı doğruda → U1L1 = U5L5 = 0

   U3: iki üst başlık aynı doğruda → U3L3 = 0

   21 çubuktan 3'ü sıfır

   sökülemez: CD yoksa D serbest → kararsız

   D'ye 12 kN → CD = 12 kN çekme

   Sesli anlatım metni

   Sıfır kuvvetli çubukları bir bakışta bulmanın iki kuralı var. Birinci kural: bir düğümde yalnız iki çubuk varsa, aynı doğru üzerinde değillerse ve düğüme yük ya da tepki gelmiyorsa, iki çubuk da sıfırdır. İkinci kural: bir düğümde üç çubuk varsa, ikisi aynı doğru üzerindeyse ve düğümde yük yoksa, üçüncü çubuk sıfırdır. Az önceki C D çubuğu ikinci kurala uyuyordu. Şimdi Pratt kafesine dönelim: üst başlığın ikinci düğümüne 24, dördüncü düğümüne 12 kilonewton yük koyalım. Alt başlıkta, iki mesnetin hemen yanındaki düğümlerde yük yok; ikisinde de iki alt başlık çubuğu aynı doğruda: üstlerindeki dikmeler sıfır. Üst ortadaki düğümde de yük yok ve iki üst başlık çubuğu aynı doğruda: ortadaki dikme de sıfır. 21 çubuktan 3'ü bu yükleme altında hiç kuvvet taşımaz. Peki bu çubukları sökebilir miyiz? Hayır. Küçük kafeste C D'yi sökersek D düğümü düşeyde serbest kalır ve kafes kararsız olur. Ayrıca yük değişirse, örneğin D'ye 12 kilonewton asarsak, C D bu yükü çekmeyle taşır.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Sayım tuttu diye kararlı sanmak → paralel tepki, üçgensiz panel

   ② Sıfır kuvvetli çubuğu gereksiz sanmak → şekli tutar

   ③ İşareti karıştırmak → eksi = basınç, düğümü iter

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: sayım tutunca kafesi kararlı sanmak. Çubuk ve tepki sayısı yetse bile tepkiler paralelse ya da bir panel üçgen değilse kafes çöker. İki: sıfır kuvvetli çubuğu gereksiz sanmak. Kafesin şeklini tutar ve başka yüklerde çalışır. Üç: işareti karıştırmak. Bilinmeyeni çekme varsayarsan eksi sonuç basınçtır; o çubuğu sonraki düğümde basınç yönüyle, yani düğümü iterek çiz.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Mafsal + düğüm yükü → her çubuk çekme ya da basınç

    b + r ile 2j'yi karşılaştır, sonra geometriye bak

    Düğüm: en çok 2 bilinmeyen, hepsini çekme varsay

    İki kural: sıfır çubukları önce bul

    Sıradaki ders: kesit yöntemi, bileşik ve karmaşık kafesler

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Kafeste çubuklar mafsallı, yükler düğümlerde; her çubuk yalnız çekme ya da basınç taşır. Çubuk sayısı artı tepki sayısını, düğüm sayısının iki katıyla karşılaştır; sonra geometriye bak. Düğüm noktaları yönteminde en çok iki bilinmeyenli düğümden başla, bilinmeyenleri çekme varsay. İki kuralla sıfır kuvvetli çubukları önce bul, hesabı kısalt. Bir sonraki derste kesit yöntemiyle tek bir çubuğun kuvvetini doğrudan bulacak, bileşik ve karmaşık kafeslere geçeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Kafes Sistemler: Sınıflandırma, Belirlilik, Düğüm Noktaları ve Sıfır Kuvvetli Çubuklar (7:40)