#07 Kesit Tesirleri: Bir Noktadaki İç Kuvvetler, Kesme ve Moment Fonksiyonları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: kafeste kesit yöntemi — parçanın dengesi

   Kafes çubukları: yalnız eksenel kuvvet

   Kiriş farklı: yük kirişi eğer

   Bugün: kirişte bir noktadaki iç kuvvetler ve kiriş boyunca değişimleri

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste kafeslerde kesit yöntemini kullandık: kafesi hayali bir düzlemle kestik ve parçanın dengesinden çubuk kuvvetlerini bulduk. Kafes çubukları yalnız eksenel kuvvet taşıyordu. Kirişte durum farklı: yük kirişi eğer. Bugün aynı kesit fikriyle kirişin içine bakacağız: bir noktadaki iç kuvvetler ve bunların kiriş boyunca nasıl değiştiği.

2. 2. Kesit Ne Taşır?

   

   6 m kiriş: A'da sabit mafsal, B'de kayıcı

   Soldan 4 m'de 18 kN

   C'de (2 m) kes; kesitten hiçbir şey geçmesin

   C'de katlanıp çöküyor → sağlam kesit bir şeyler taşıyor

   İki yüzde eşit ve zıt iç kuvvetler

   Normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme momenti

   Sesli anlatım metni

   Altı metrelik bir kiriş: solda sabit mafsal, sağda kayıcı mesnet. Soldan 4 metrede 18 kilonewtonluk bir yük asıyoruz; kiriş hafifçe eğiliyor. Şimdi kirişi soldan 2 metrede, C noktasında keselim ve kesitten hiçbir şey geçmesin. Kiriş C'de katlanıp çöküyor! Demek ki sağlam kirişte kesit, iki parça arasında bir şeyler taşıyor. Kirişi eski haline getirip C'deki parçaları biraz ayıralım: iki yüzde, eşit ve zıt yönlü üç iç kuvvet var. Normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti. Bugün bunları bulacağız.

3. 3. Üç İç Kuvvet ve İşaret Kuralı

   

   kesitte 3 iç kuvvet

   N: normal kuvvet (eksene paralel)

   V: kesme kuvveti (eksene dik)

   M: eğilme momenti

   kesitteki gerilmelerin bileşkesi

   iki yüzde eşit ve zıt → işaret kuralı

   sol parçanın yüzü: N →, V ↓, M ↺

   sağ parçanın yüzü: hepsi ters

   küçük bir kiriş parçası

   +N parçayı uzatır: çekme

   +V parçayı saat yönünde döndürür

   +M parçayı yukarı çukur eğer: su tutar

   Sesli anlatım metni

   Kesitte üç iç kuvvet vardır. Kiriş eksenine paralel olan normal kuvvet, eksene dik olan kesme kuvveti ve eğilme momenti. Bunlar aslında kesit yüzeyine yayılmış gerilmelerin bileşkesidir. Newton'un üçüncü yasası gereği iki yüzde eşit ve zıt yönlüdürler; bu yüzden bir işaret kuralına ihtiyacımız var. Sol parçanın kesit yüzünde pozitif normal kuvvet sağa, kesme kuvveti aşağı, moment saat yönünün tersine etkir; sağ parçanın yüzünde hepsi tersidir. Hatırlamanın kolay yolu, küçük bir kiriş parçasına bakmak. Pozitif normal kuvvet parçayı uzatır, yani çekmedir. Pozitif kesme kuvveti parçayı saat yönünde döndürmeye çalışır. Pozitif moment ise parçayı yukarıya doğru çukur olacak şekilde eğer; tıpkı su tutan bir kase gibi.

4. 4. Dört Adım

   

   ① önce mesnet tepkileri

   ② istenen noktada eksene dik kes; yükler yerinde

   ③ az yüklü parça; N, V, M pozitif yönde

   ④ ΣFx → N, ΣFy → V, ΣMkesit → M

   eksi sonuç → gerçek yön ters

   Sesli anlatım metni

   İç kuvvetleri bulmak için dört adım var. Bir: kesmeden önce mesnet tepkilerini bul. İki: kirişi istediğin noktada eksenine dik olarak kes; yükleri yerlerinde bırak. Üç: daha az yük taşıyan parçayı seç ve kesit yüzüne üç iç kuvveti pozitif yönde çiz. Dört: yatay dengeden normal kuvveti, düşey dengeden kesme kuvvetini, kesitteki noktaya göre momentten de eğilme momentini bul. Sonuç eksi çıkarsa, gerçek yön çizdiğinin tersidir.

5. 5. C Noktasında İç Kuvvetler

   

   ΣMA = 0

   $\displaystyle By \cdot 6 = 18 \cdot 4 = 72$

   By = 72 / 6 = 12 kN

   Ay = 18 − 12 = 6 kN

   C'de kes (x = 2 m): sol parça

   ΣFx: yatay yük yok → N = 0

   ΣFy: 6 − V = 0 → V = 6 kN

   ΣMC: Ay'nin kolu 2 m

   M = 6 · 2 = 12 kN·m

   pozitif: sarkar; üstte basınç, altta çekme

   Sesli anlatım metni

   Örneğe geçelim. 6 metrelik basit kirişte, soldan 4 metrede 18 kilonewtonluk bir yük var. Önce tepkiler; A'ya göre moment alalım. B tepkisi çarpı 6, eşittir 18 çarpı 4, yani 72. B tepkisi 72 bölü 6, 12 kilonewton. A tepkisi 18 eksi 12, 6 kilonewton. Şimdi C noktasında, soldan 2 metrede keselim. Sol parçada yalnız A tepkisi var; bu parçayı seçiyoruz. Yatay yük yok, normal kuvvet sıfır. Düşey denge: 6 eksi kesme kuvveti, sıfır; kesme kuvveti 6 kilonewton. Momenti C'ye göre alalım: A tepkisinin kolu 2 metre, 6 çarpı 2, 12. Eğilme momenti 12 kilonewton metre ve pozitif: kiriş burada aşağı sarkıyor, üst lifler basınçta, alt lifler çekmede.

6. 6. D Noktası: Sağ Parça

   

   D'de kes (x = 5 m)

   sol: Ay ve 18 kN; sağ: yalnız By

   → sağ parça

   sağ yüzde pozitif: V ↑, M ↻

   ΣFy: V + 12 = 0 → V = −12 kN

   eksi: V gerçekte aşağı

   ΣMD: By'nin kolu 6 − 5 = 1 m

   M = 12 · 1 = 12 kN·m

   kontrol:

   $\displaystyle 6 \cdot 5 - 18 \cdot 1 = 30 - 18 = 12 ✓$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi D noktası, soldan 5 metrede. Sol parçada hem A tepkisi hem 18 kilonewtonluk yük var; sağ parçada yalnız B tepkisi. Sağ parçayı seçelim. Sağ parçanın yüzünde pozitif kesme kuvveti yukarı, moment saat yönünde. Düşey denge: kesme kuvveti artı 12, sıfır; kesme kuvveti eksi 12 kilonewton. Eksi işaret, kesme kuvvetinin gerçekte aşağı etkidiğini söyler. Moment: B tepkisinin kolu 6 eksi 5, 1 metre; 12 çarpı 1, 12 kilonewton metre. Sol parçayla kontrol edelim: 6 çarpı 5 eksi 18 çarpı 1; 30 eksi 18, yine 12.

7. 7. Kesme ve Moment Fonksiyonları

   

   her x için: V(x), M(x)

   x'te kes, sol parça

   tekil yükte fonksiyon değişir → bölgeler

   bölge 1:

   $\displaystyle 0 \le x < 4$

   $\displaystyle V = 6, M = 6x$

   bölge 2:

   $\displaystyle 4 < x \le 6$

   $\displaystyle V = 6 - 18 = -12$

   $\displaystyle M = 6x - 18\left(x - 4\right) = 72 - 12x$

   x = 4: 6 · 4 = 72 − 48 = 24 → M sürekli

   V: 6 → −12, sıçrama 18 kN

   C: 6 · 2 = 12; D: 72 − 60 = 12

   Sesli anlatım metni

   Tek tek noktalar yerine kirişin her yerindeki iç kuvvetleri isteyelim. Soldan iks kadar uzakta keseriz ve kesme kuvvetini ve momenti iks'in fonksiyonu olarak yazarız. Ama tekil yükün olduğu yerde fonksiyon değişir; kirişi yük süreksizliklerinden bölgelere ayırırız. Birinci bölge, iks 0 ile 4 arasında: sol parçada yalnız A tepkisi var. Kesme kuvveti 6, moment 6 iks. İkinci bölge, iks 4 ile 6 arasında: yük de sol parçada. Kesme kuvveti 6 eksi 18, eksi 12. Moment 6 iks eksi 18 çarpı iks eksi 4; açarsak 72 eksi 12 iks. İks 4'te iki fonksiyon da 24 verir; moment süreklidir. Kesme kuvveti ise yükün altında 6'dan eksi 12'ye, tam 18 kilonewton atlar. Az önceki C ve D noktaları da bu fonksiyonlardan çıkar: 6 çarpı 2, 12; 72 eksi 60, yine 12.

8. 8. Yayılı Yük: V(x) ve M(x)

   

   6 m, w = 4 kN/m

   toplam 4 · 6 = 24 kN; tepkiler 12'şer

   x'te kes, sol parça

   parçadaki yük: 4x, kesitten x / 2 uzakta

   ΣFy:

   $\displaystyle V = 12 - 4x$

   ΣM:

   $\displaystyle M = 12 \cdot x - 4x \cdot \frac{ x }{ 2 }= 12x - 2x²$

   V = 0:

   $\displaystyle 12 - 4x = 0 \to x = 3 m$

   M(3) = 12 · 3 − 2 · 9 = 36 − 18 = 18 kN·m

   kirişteki en büyük moment

   kontrol: dM/dx = 12 − 4x = V

   V = 0 olan yerde M en büyük

   Sesli anlatım metni

   Bir de yayılı yük. 6 metrelik basit kirişe metre başına 4 kilonewton, düzgün yayılı yük geliyor. Toplam yük 4 çarpı 6, 24 kilonewton; tepkiler simetriden 12'şer kilonewton. Soldan iks uzakta keselim. Sol parçadaki yayılı yükün bileşkesi 4 iks kilonewton; parçanın ortasında, yani kesitten iks bölü 2 uzakta etkir. Düşey denge: kesme kuvveti 12 eksi 4 iks. Kesite göre moment: 12 çarpı iks, eksi 4 iks çarpı iks bölü 2; yani 12 iks eksi 2 iks kare. Kesme kuvveti nerede sıfır? 12 eksi 4 iks sıfır; iks 3 metre, tam ortada. Orada moment 12 çarpı 3 eksi 2 çarpı 9; 36 eksi 18, 18 kilonewton metre. Bu, kirişteki en büyük moment. Bir kontrol: momentin iks'e göre türevi 12 eksi 4 iks, yani kesme kuvvetinin kendisi. Kesme kuvvetinin sıfır olduğu yerde moment en büyük değerini alır.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① İşareti yüze göre karıştırmak → sağ yüzde +V yukarı, +M saat yönünde

   ② Momenti kesitten başka noktaya göre almak → kesme kuvveti de denkleme girer

   ③ Yayılı yükün tamamını parçaya koymak → yalnız parçadaki kısım, bileşkesi ortasında

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: işareti yüze göre karıştırmak. Sağ parçanın yüzünde pozitif kesme kuvveti yukarı, moment saat yönündedir; sol parçadakinin tersi. İki: momenti kesitten başka bir noktaya göre almak. O zaman kesme kuvveti de denkleme girer. Üç: yayılı yükün tamamını parçaya koymak. Yalnız parçanın üzerindeki kısım alınır; bileşkesi o kısmın ortasındadır.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Kesitte üç iç kuvvet: N, V, M

    Önce tepkiler, sonra az yüklü parça; momenti kesitte al

    Süreksizlikler arasında V(x), M(x); dM/dx = V

    Sıradaki ders: kesme kuvveti ve moment diyagramları

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Bir kesitte üç iç kuvvet vardır: normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti. Önce tepkiler, sonra az yüklü parça; momenti kesitte al. Kiriş boyunca bu kuvvetler, yük süreksizliklerinde değişen fonksiyonlardır ve momentin türevi kesme kuvvetidir. Bir sonraki derste bu fonksiyonları çizeceğiz: kirişlerde kesme kuvveti ve moment diyagramları. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Kesit Tesirleri: Bir Noktadaki İç Kuvvetler, Kesme ve Moment Fonksiyonları (6:38)