Yapı Statiği · Yapı Statiği

#09 Çerçevelerde Kesme ve Moment Diyagramları; Süperpozisyonla Moment Diyagramı

rijit köşe · işaret · süperpozisyon

Soru

Köşede Ne Oluyor? — Başlangıç örneği: kaynak dersin özgün görseli.

Bir çelik çerçeve: iki kolon ve bir kiriş. Sol ayak sabit mafsal, sağ ayak kayıcı mesnet. Kirişe metre başına 4 kilonewton, sol üst köşeye de yandan 6 kilonewton rüzgâr yükü geliyor. Çerçeve şekil değiştiriyor: sol kolon eğiliyor, kiriş sarkıyor, kayıcı ayak dışarı kayıyor. Ama rijit köşede, kolonla kiriş arasındaki dik açı korunuyor. Bu açıyı koruyan şey, köşede kolondan kirişe geçen moment. Bugün bu momenti ve çerçevenin bütün diyagramlarını bulacağız.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Geçen Ders ve Bugün
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
Geçen ders: kirişte kesme (V) ve moment (M) diyagramları, eğimler ve alanlarla
Bugün: aynı kurallar çerçevelerde; köşede moment döner
Sonra: süperpozisyonla moment diyagramı
Sesli anlatım metni
Geçen derste kirişlerde kesme ve moment diyagramlarını eğimler ve alanlarla çizdik. Bugün aynı kuralları çerçevelere uyguluyoruz; köşelerde momentin nasıl döndüğünü göreceğiz. Sonra da süperpozisyonla moment diyagramını parça parça kuracağız.
2. Köşede Ne Oluyor?
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
Çelik çerçeve: iki kolon, bir kiriş; A sabit mafsal, D kayıcı
Kirişte 4 kN/m, B'de yandan 6 kN rüzgâr
Sol kolon eğiliyor, kiriş sarkıyor, ayak kayıyor
Rijit köşede dik açı korunuyor
Açıyı koruyan: kolondan kirişe geçen moment
Bugün: bu moment ve çerçevenin bütün diyagramları
Sesli anlatım metni
Bir çelik çerçeve: iki kolon ve bir kiriş. Sol ayak sabit mafsal, sağ ayak kayıcı mesnet. Kirişe metre başına 4 kilonewton, sol üst köşeye de yandan 6 kilonewton rüzgâr yükü geliyor. Çerçeve şekil değiştiriyor: sol kolon eğiliyor, kiriş sarkıyor, kayıcı ayak dışarı kayıyor. Ama rijit köşede, kolonla kiriş arasındaki dik açı korunuyor. Bu açıyı koruyan şey, köşede kolondan kirişe geçen moment. Bugün bu momenti ve çerçevenin bütün diyagramlarını bulacağız.
3. Çerçevede Yöntem ve İşaret
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
yöntem kirişle aynı; her eleman ayrı
① bütün çerçevenin tepkileri
② elemanları ayır: uçlarda normal kuvvet N, kesme V, moment M; yükler eksene dik / paralel
③ rijit köşe, dış moment yok → M köşeyi döner
işaret: diyagram hangi tarafa?
bu derste: basınç tarafına (kiriş kuralı)
betonarmede çoğu zaman: çekme tarafına (donatı görünsün)
hangisi olursa: bütün çerçevede aynı
Sesli anlatım metni
Çerçevede yöntem kirişle aynı; yalnız her elemanı ayrı ele alırız. Önce bütün çerçevenin tepkilerini buluruz. Sonra her elemanı uçlarından ayırıp uçlardaki normal kuvveti, kesme kuvvetini ve momenti buluruz; yükleri de eleman eksenine dik ve paralel bileşenlere ayırırız. Rijit bir köşeye dış moment gelmiyorsa, kolonun ucundaki moment kirişin ucuna aynen geçer: moment köşeyi döner. Bir de işaret meselesi var. Bu derste kiriş kuralını sürdürüp diyagramı basınç tarafına çiziyoruz; betonarme projelerde ise çoğu zaman çekme tarafına çizilir, donatının yeri bir bakışta görünsün diye. Hangisini kullanırsan kullan, bütün çerçevede aynı kal.
4. Önce Tepkiler
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
tepkiler
W = 4 · 6 = 24 kN (A'dan 3 m)
ΣMA:
$\displaystyle 24 \cdot 3 = 72$
rüzgâr:
$\displaystyle 6 \cdot 4 = 24$
$\displaystyle 72 + 24 = 96$
Dy = 96 / 6 = 16 kN ↑
Ay = 24 − 16 = 8 kN ↑
Ax = 6 kN, sola ←
Sesli anlatım metni
Önce tepkiler. Yayılı yükün bileşkesi 4 çarpı 6, 24 kilonewton. A'ya göre moment: 24 çarpı 3, 72; rüzgâr yükü 6 çarpı 4, 24; toplam 96. D tepkisi 96 bölü 6, 16 kilonewton. Düşey dengeden A'nın düşey tepkisi 24 eksi 16, 8 kilonewton. Yatay dengeden A'nın yatay tepkisi 6 kilonewton, sola.
5. Kolonlar
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
sol kolon AB
yalnız A'daki tepkiler: 8 ↑ ve 6 ←
düşey 8 → basınç: N = −8 kN
yatay 6 → kesme: V = 6 kN, kolon boyunca
M: mafsalda 0, her metrede +6
MB = 6 · 4 = 24 kN·m
çekme: kolonun iç yüzünde
B'ye dış moment gelmiyor → 24 kN·m kirişe aynen geçer
sağ kolon CD: kayıcı yatay kuvvet taşımaz
$\displaystyle V = 0, M = 0$
yalnız N = −16 kN (basınç)
Sesli anlatım metni
Sol kolonla başlayalım. Kolona yalnız A'daki tepkiler etkiyor. Düşey tepki kolonu 8 kilonewtonla sıkıştırır: normal kuvvet eksi 8. Yatay tepki kesme kuvveti olur: kolon boyunca 6 kilonewton. Moment A'daki mafsalda sıfırdan başlar ve her metrede 6 artar; kolonun tepesinde 6 çarpı 4, 24 kilonewton metre. Çekme, kolonun iç yüzünde. B köşesine dış moment gelmiyor; bu 24 kilonewton metre kirişin sol ucuna aynen geçer. Sağ kolonda ise kayıcı mesnet yatay kuvvet taşımaz: kesme kuvveti ve moment sıfır, yalnız 16 kilonewton basınç var.
6. Kiriş: Kesme ve Moment
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
kiriş BC
sol uç: 8 kN ↑ → V, 8'den başlar
her metrede −4; C'de 8 − 24 = −16
= sağ kolonun 16 kN tepkisi ✓
V = 0:
$\displaystyle \frac{8 }{ 4 }= 2 m$
M: sol uçta 24 (köşeden)
0–2 alanı:
$\displaystyle ½ \cdot 2 \cdot 8 = 8$
M(2) = 24 + 8 = 32 kN·m
2–6 alanı:
$\displaystyle ½ \cdot 4 \cdot \left(-16\right) = -32$
MC = 32 − 32 = 0
sağ kolonda da M = 0 → C'de uyum ✓
Sesli anlatım metni
Şimdi kiriş. Sol uçta kolonun yukarı ittiği 8 kilonewton var; kesme diyagramı 8'den başlar. Yayılı yük onu her metrede 4 azaltır; C'de 8 eksi 24, eksi 16. Bu, sağ kolonun 16 kilonewtonluk tepkisine eşit. Kesme kuvveti 8 bölü 4, 2 metrede sıfır. Moment sol uçta köşeden gelen 24 ile başlar. 0 ile 2 arasındaki kesme alanı yarım çarpı 2 çarpı 8, 8; moment 24 artı 8, 32 kilonewton metreye çıkar. Sonra 2 ile 6 arasındaki alan yarım çarpı 4 çarpı eksi 16, eksi 32; C'de 32 eksi 32, sıfır. Sağ kolonun momenti de sıfırdı; C köşesinde de uyum tamam.
7. Kontrol ve Üç Diyagram
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
kontrol: bütün çerçeve, D'ye göre moment
Ay:
$\displaystyle 8 \cdot 6 = 48$
yük: 24 · 3 = 72, ters yönde
rüzgâr:
$\displaystyle 6 \cdot 4 = 24$
$\displaystyle 48 - 72 + 24 = 0 ✓$
N: sol kolon −8, sağ kolon −16, kiriş 0
V: sol kolon 6, kiriş 8 → −16, sağ kolon 0
N, V, M birlikte: iç kuvvetlerin haritası
Sesli anlatım metni
Şimdi kontrol edelim. Bütün çerçeve için D'ye göre moment: A'nın düşey tepkisi 8 çarpı 6, 48; yayılı yük 24 çarpı 3, 72, ters yönde; rüzgâr yükü 6 çarpı 4, 24. 48 eksi 72 artı 24, sıfır. Normal kuvvet diyagramı da hazır: sol kolonda 8, sağ kolonda 16 kilonewton basınç, kirişte sıfır. Kesme diyagramında sol kolon 6, kiriş 8'den eksi 16'ya iner, sağ kolon sıfır. Üç diyagram birlikte, çerçevenin her noktasındaki iç kuvvetlerin haritasını verir.
8. Süperpozisyonla Moment Diyagramı
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
her etki ayrı; diyagramlar toplanır
① uç momentleri: solda 24, sağda 0 → doğru
② basit kiriş, yayılı yük: ortada yük · açıklık² / 8
4 · 36 / 8 = 18 kN·m → parabol
üst üste koy
ortada: doğru 12 + parabol 18 = 30
her noktada topla → önceki diyagram
en büyük: 32, x = 2'de (V = 0'dan)
Sesli anlatım metni
Kirişin moment diyagramını süperpozisyonla da kurabiliriz: her etkiyi ayrı ele alıp diyagramları toplarız. Birincisi, uçlardaki momentler: solda 24, sağda 0; aralarında bir doğru. İkincisi, basit kirişteki yayılı yük: ortada, yük çarpı açıklığın karesi bölü 8; 4 çarpı 36 bölü 8, 18 kilonewton metre; bir parabol. İkisini üst üste koyalım. Ortada doğru 12, parabol 18; toplam 30. Her noktada böyle toplarsak bir önceki diyagramı elde ederiz. En büyük değer ise 32 ve 2 metrede; onu kesme kuvvetinin sıfır olduğu yerden bulduk.
9. Üç Tuzak
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
① Rijit köşede momenti unutmak → kolon tepesindeki M kirişe aynen geçer
② İşaret kuralını karıştırmak → basınç mı, çekme mi: bir kez seç, hep aynı
③ Süperpozisyonda en büyükleri toplamak → 24 + 18 = 42 değil; en büyük 32
Sesli anlatım metni
Üç tuzak. Bir: rijit köşede momenti unutmak. Kolonun tepesindeki moment, kirişin ucuna aynen geçer. İki: işaret kuralını karıştırmak. Basınç tarafı mı, çekme tarafı mı; bir kez seç, bütün çerçevede aynı kal. Üç: süperpozisyonda en büyük değerleri toplamak. 24 ile 18'i toplayıp 42 demek yanlış; en büyük moment 32.
10. Özet ve Sıradaki Ders
Kaynak dersin bu bölümündeki son görünüm.
Önce tepkiler, sonra her eleman ayrı
Rijit köşede moment döner
Diyagramın tarafını söyle, tutarlı ol
Süperpozisyon: parçaları topla; en büyüğü toplam diyagramdan bul
Sıradaki ders: kablolar ve üç mafsallı kemer
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. Çerçevede önce tepkiler, sonra her eleman ayrı. Rijit köşede moment döner. Diyagramın hangi tarafa çizildiğini söyle ve tutarlı ol. Süperpozisyonla diyagramlar parça parça kurulur; ama en büyük değer, toplam diyagramın kendisinden bulunur. Bir sonraki derste bloğun son konusu: kablolar ve üç mafsallı kemer. Görüşmek üzere.