Devre Teorisi 1 · Devre Analizi Temelleri

#12 Süper düğüm yöntemi — örnek 1

İki bilinmeyen düğüm arasındaki 10 V kaynağını süper düğümle çözer; V₁=30 V ve V₂=20 V sonuçlarını KCL ile doğrular.

Soru

V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

Devredeki V_1 ve V_2 düğüm gerilimlerini süper düğüm yöntemiyle bulun. Süper düğüm KCL denklemini ve 10 V kaynağının polaritesinden gelen kısıt denklemini ayrı ayrı yazın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Süper düğüm neden gerekir?

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    İki bilinmeyen düğüm arasındaki gerilim kaynağı

    İki düğümü ve kaynağı tek sınır içine al

    KCL + gerilim kısıtı ⇒ iki denklem

    Sesli anlatım metni

    Önceki derste, bir ucu toprağa bağlı gerilim kaynağının diğer uçtaki düğüm gerilimini doğrudan belirlediğini gördük. Peki ideal bir gerilim kaynağı, gerilimleri bilinmeyen iki referans olmayan düğümün arasındaysa ne olur? Kaynaktan geçen akımı gerilim farkı bölü direnç biçiminde yazamadığımız için iki düğüme ayrı ayrı KCL yazamayız. Çözüm süper düğümdür. İki düğümü ve aralarındaki gerilim kaynağını tek bir sınır içine alır, bu sınırı geçen bütün akımlara KCL uygularız. İçeride kalan eleman akımları KCL denklemine girmez. Gerilim kaynağı da ikinci denklem olarak bir gerilim kısıtı verir.

  2. 2. Devreyi ve sınırı oku

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    Süper düğüm: V1, V2, 10 V ve 13 Ω

    Sınırı geçen kollar: 5 Ω, 4 Ω, 3 A ve 14 A

    İçte kalan 13 Ω, KCL'de görünmez

    Sesli anlatım metni

    Devrede V bir ve V iki adlı iki bilinmeyen düğüm vardır. Üst kolda, pozitif terminali V bir tarafında olan on voltluk gerilim kaynağı bu iki düğümü bağlar. Ortadaki on üç ohm direnç de V bir ile V iki arasındadır. V birden toprağa beş ohm, V ikiden toprağa dört ohm bağlıdır. Soldaki üç amperlik kaynak V birden toprağa doğru akım çeker; sağdaki on dört amperlik kaynak topraktan V ikiye akım verir. Süper düğüm sınırı V bir, V iki, on voltluk kaynak ve on üç ohmluk direnci içine alır. On üç ohm direnç sınırın içinde kaldığı için süper düğüm KCL denkleminde görünmez.

  3. 3. Süper düğüm KCL denklemi

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    V1/5+V2/4+3−14=0V_{1}/5+V_{2}/4+3-14=0

    20 ile çarp: 4V1+5V2+60−280=0

    4V1+5V2=2204V_{1}+5V_{2}=220

    Sesli anlatım metni

    Süper düğüm sınırından çıkan akımları pozitif seçelim. Beş ohmluk koldan V bir bölü beş, dört ohmluk koldan V iki bölü dört akar. Üç amperlik kaynağın oku V birden toprağa olduğu için artı üç, on dört amperlik kaynağın oku süper düğüme girdiği için eksi on dört yazılır. Denklem V bir bölü beş artı V iki bölü dört artı üç eksi on dört eşittir sıfırdır. Paydaları kaldırmak için yirmi ile çarparsak dört V bir artı beş V iki artı altmış eksi iki yüz seksen eşittir sıfır olur. Böylece ilk denklem dört V bir artı beş V iki eşittir iki yüz yirmidir.

  4. 4. Gerilim kısıtı

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    10 V kaynağının + ucu V1 tarafında

    V1−V2=10V_{1}-V_{2}=10

    V1=V2+10V_{1}=V_{2}+10

    Sesli anlatım metni

    Şimdi gerilim kaynağının polaritesinden kısıt denklemini yazalım. Kaynağın pozitif terminali V bir, negatif terminali V iki tarafındadır. Bu nedenle V bir, V ikiden on volt daha büyüktür. Kısıt denklemi V bir eksi V iki eşittir on olur. Süper düğüm çözümünde her zaman bu işaret kontrolünü yapın: pozitif uç gerilimi eksi negatif uç gerilimi, kaynak değerine eşittir. Artık iki bilinmeyen için iki bağımsız denklemimiz var.

  5. 5. V₁ ve V₂'yi bul ve doğrula

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    4(V2+10)+5V2=2204(V_{2}+10)+5V_{2}=220

    V2=20V,V1=30VV_{2}=20 V, V_{1}=30 V

    6A+5A+3A=14A6 A+5 A+3 A=14 A

    Sesli anlatım metni

    Kısıt denkleminden V bir eşittir V iki artı on yazalım ve KCL denklemine yerleştirelim. Dört çarpı V iki artı on, artı beş V iki, eşittir iki yüz yirmi. Parantezi açınca dokuz V iki artı kırk eşittir iki yüz yirmi, buradan V iki eşittir yirmi volt çıkar. V bir ise yirmi artı on, yani otuz volttur. Kontrol edelim: beş ohmdan altı amper, dört ohmdan beş amper ve soldaki kaynaktan üç amper çıkar; toplam on dört amperdir. Sağdaki kaynak süper düğüme on dört amper getirir. Giren ve çıkan akımlar eşittir.

  6. 6. Üç süper düğüm kuralı

    V₁ ve V₂ arasında 10 V kaynak ve 13 Ω; düğümlerden toprağa 5 Ω ve 4 Ω; dışta 3 A ve 14 A akım kaynakları bulunan süper düğüm devresi.
    Turuncu kesikli sınır V₁, V₂, 10 V kaynağı ve 13 Ω direnci kapsar; kaynağın pozitif ucu V₁ tarafındadır.

    1) Kaynağı ve iki düğümü sınırla

    2) Sınırı geçen akımlara KCL yaz

    3) Kaynak polaritesinden kısıtı ekle

    Sesli anlatım metni

    Süper düğüm için üç kuralı hatırlayın. Birincisi, bir gerilim kaynağı iki bilinmeyen ve referans olmayan düğümü bağlıyorsa iki düğümü ve kaynağı aynı sınır içine alın. İkincisi, sınırı geçen akımlara KCL yazın; V bir ile V iki arasındaki on üç ohm gibi içeride kalan elemanlar bu denklemde görünmez. Üçüncüsü, gerilim kaynağının polaritesinden düğüm gerilimleri arasındaki kısıt denklemini yazın. Bu örnekte KCL ve V bir eksi V iki eşittir on birlikte V bir otuz volt, V iki yirmi volt sonucunu verdi.

Kaynak video: Devre Teorisi #20 Süper Düğüm Analiz Yöntemi Örnek 1 (7:06)