Kontrol Teorisi · Sürekli Hal Hatası

#22 Birim negatif geri beslemede son değer teoremi, çevrim transferinden sistem tipi, Kₚ/Kᵥ/Kₐ hata sabitleri, basamak/rampa/parabol hata tablosu ve Tip 1 örneği

Sistem tipini ve giriş sınıfını doğru eşleştirerek sürekli-hal hatasını, son değer teoreminin kararlılık koşulunu koruyarak hesaplayın.

Soru

Basamak, rampa ve parabol girişleri için sistem tipi ile sürekli-hal hatası ilişkisini gösteren ders karesi. — Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.

Birim negatif geri beslemeli kararlı bir sistemde sürekli-hal hatasını son değer teoremiyle bulun. Çevrim transferi L(s)=G(s)H(s) üzerinden sistem tipini belirleyin; Kₚ, Kᵥ ve Kₐ sabitlerini kullanarak birim basamak, rampa ve parabol girişlerinin hatalarını hesaplayın. G(s)=10(s+2)/[s(s+5)] örneğinde kapalı-çevrim kararlılığını doğrulayıp basamak ve rampa hatalarını bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Sürekli hal hatasının amacını kur
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Önceki derslerde sistemin ne kadar hızlı tepki verdiğine ve ne kadar salınım yaptığına odaklandık.
Ama bir kritik soru daha var: çıkış gerçekten istenen değere ulaşıyor mu?
Kararlı kapalı çevrimde t→∞ iken referans ile çıkış arasındaki limite sürekli-hal hatası denir.
Bugün bu hatayı sistemi simüle etmeden nasıl tahmin edeceğimizi öğreniyoruz.
Sesli anlatım metni
Önceki derslerde sistemin ne kadar hızlı tepki verdiğine ve ne kadar salınım yaptığına odaklandık. Ama bir kritik soru daha var: çıkış gerçekten istenen değere ulaşıyor mu? Sürekli halde istenen ile gerçek çıkış arasındaki farka sürekli hal hatası denir. Bugün bu hatayı sistemi simüle etmeden nasıl tahmin edeceğimizi öğreniyoruz.
2. Son değer teoremini kararlılık koşuluyla uygula
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Birim geri beslemeli bir sistem düşünün.
Giriş R s, çıkış Y s ve ileri yol transfer fonksiyonu G s'dir.
Hata sinyali E s eşittir R s eksi Y s.
Birim negatif geri beslemede H(s)=1 olduğundan E(s)=R(s)/[1+G(s)] yazılır; genel durumda çevrim transferi L(s)=G(s)H(s)'dir.
sE(s)'nin bütün kutupları açık sol yarı düzlemdeyse son değer teoremi e_ss=lim₍s→0₎sE(s) biçiminde uygulanabilir.
Sesli anlatım metni
Birim geri beslemeli bir sistem düşünün. Giriş R s, çıkış Y s ve ileri yol transfer fonksiyonu G s'dir. Hata sinyali E s eşittir R s eksi Y s. Kapalı çevrim ilişkisini kullanarak E s eşittir R s bölü bir artı G s yazabiliriz. Sürekli hal hatası son değer teoremiyle bulunur: e sürekli hal eşittir s çarpı E s'nin s sıfıra yaklaşırken limiti.
3. Sistem tipini çevrim transferinden belirle
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Sistem tipi, çevrim transferi L(s)=G(s)H(s)'de tam sadeleştirmelerden sonra s=0'da kalan net kutup sayısıdır.
Tip sıfır sistemde integratör yoktur.
Tip bir sistemde bir integratör vardır, yani paydada bir s bulunur.
Tip iki sistemde iki integratör vardır.
Kararlı standart geri besleme yapısında sistem tipi, polinom giriş sınıfları için hata derecesini belirlemeye yardımcı olur.
Daha yüksek tip belirli düşük dereceli polinom girişlerinde hatayı azaltabilir; kararlılık, sağlamlık, gürültü ve eyleyici yükü ayrıca değerlendirilir.
Sesli anlatım metni
Sistem tipi, açık çevrim transfer fonksiyonu G s'deki saf integratör sayısıdır. Tip sıfır sistemde integratör yoktur. Tip bir sistemde bir integratör vardır, yani paydada bir s bulunur. Tip iki sistemde iki integratör vardır. Sistem tipi, sistemin hangi girişleri sıfır hatayla takip edebildiğini belirler. Daha yüksek tip, sistemin daha karmaşık girişleri mükemmel takip edebilmesi demektir.
4. Birim basamak hatasını Kₚ ile bul
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Birim basamak girişi için R s eşittir bir bölü s'dir.
Birim negatif geri besleme ve geçerli son değer koşulu altında e_ss=1/(1+Kₚ) olur.
Burada K p pozisyon hata sabitidir.
Birim geri beslemede Kₚ=lim₍s→0₎G(s); genel durumda Kₚ=lim₍s→0₎L(s)'dir.
Tip sıfır sistemde K p sonludur, dolayısıyla sıfırdan farklı bir sürekli hal hatası vardır.
Tip bir ve üzerinde K p sonsuzdur ve hata sıfırdır.
Basamak cevabına bakın: Tip sıfır sistem birden küçük bir değere oturur.
Sesli anlatım metni
Birim basamak girişi için R s eşittir bir bölü s'dir. Sürekli hal hatası bir bölü bir artı K p olur. Burada K p pozisyon hata sabitidir. K p, G s'nin s sıfıra yaklaşırken limitine eşittir. Tip sıfır sistemde K p sonludur, dolayısıyla sıfırdan farklı bir sürekli hal hatası vardır. Tip bir ve üzerinde K p sonsuzdur ve hata sıfırdır. Basamak cevabına bakın: Tip sıfır sistem birden küçük bir değere oturur.
5. Birim rampa hatasını Kᵥ ile bul
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Birim rampa girişi için R s eşittir bir bölü s karedir.
Birim rampa ve geçerli son değer koşulu altında e_ss=1/Kᵥ olur.
K v hız hata sabitidir.
Birim geri beslemede Kᵥ=lim₍s→0₎sG(s); genel durumda G yerine L kullanılır.
Tip sıfır sistemde K v sıfırdır, dolayısıyla rampa hatası sonsuzdur.
Çıkış rampanın giderek daha gerisinde kalır.
Tip bir sistemde sonlu K v vardır ve sabit bir konum farkı oluşur.
Tip iki sistem rampayı mükemmel takip eder, sıfır hatayla.
Sesli anlatım metni
Birim rampa girişi için R s eşittir bir bölü s karedir. Sürekli hal hatası bir bölü K v olur. K v hız hata sabitidir. K v, s çarpı G s'nin s sıfıra yaklaşırken limitine eşittir. Tip sıfır sistemde K v sıfırdır, dolayısıyla rampa hatası sonsuzdur. Çıkış rampanın giderek daha gerisinde kalır. Tip bir sistemde sonlu K v vardır ve sabit bir konum farkı oluşur. Tip iki sistem rampayı mükemmel takip eder, sıfır hatayla.
6. Birim parabol hatasını Kₐ ile bul
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Birim parabol r(t)=t²/2 için R(s)=1/s³'tür; r(t)=t² seçilirse R(s)=2/s³ olur.
Sürekli hal hatası bir bölü K a olur.
K a ivme hata sabitidir.
Birim geri beslemede Kₐ=lim₍s→0₎s²G(s); genel durumda G yerine L kullanılır.
Yalnızca Tip iki veya daha yüksek sistemler parabolü sonlu hatayla takip edebilir.
Tip sıfır ve Tip bir sistemlerin her ikisi de parabolik girişler için sonsuz hata üretir.
Sesli anlatım metni
Birim parabol girişi için R s eşittir bir bölü s küptür. Sürekli hal hatası bir bölü K a olur. K a ivme hata sabitidir. K a, s kare çarpı G s'nin s sıfıra yaklaşırken limitine eşittir. Yalnızca Tip iki veya daha yüksek sistemler parabolü sonlu hatayla takip edebilir. Tip sıfır ve Tip bir sistemlerin her ikisi de parabolik girişler için sonsuz hata üretir.
7. Hata tablosunu varsayımlarıyla oku
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Her şeyi tek bir tabloda düzenleyelim.
Basamak girişi için: Tip sıfır bir bölü bir artı K p hata verir.
Tip bir ve üzeri sıfır hata verir.
Rampa girişi için: Tip sıfır sonsuz hata verir.
Tip bir, bir bölü K v verir.
Tip iki ve üzeri sıfır verir.
Parabol girişi için: Tip sıfır ve bir sonsuz hata verir.
Tip iki, bir bölü K a verir.
Tip üç ve üzeri sıfır verir.
Bu tablo kararlı birim negatif geri besleme ve ilgili hata sabitlerinin standart sonlu/sıfır olmayan durumları için ana sonuçtur.
Her satır bir giriş tipi, her sütun bir sistem tipidir.
Sesli anlatım metni
Her şeyi tek bir tabloda düzenleyelim. Basamak girişi için: Tip sıfır bir bölü bir artı K p hata verir. Tip bir ve üzeri sıfır hata verir. Rampa girişi için: Tip sıfır sonsuz hata verir. Tip bir, bir bölü K v verir. Tip iki ve üzeri sıfır verir. Parabol girişi için: Tip sıfır ve bir sonsuz hata verir. Tip iki, bir bölü K a verir. Tip üç ve üzeri sıfır verir. Bu tablo anahtar sonuçtur. Her satır bir giriş tipi, her sütun bir sistem tipidir.
8. Tip 1 sayısal örneği çöz
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Bir örnek yapalım.
G s eşittir on çarpı s artı iki, bölü s çarpı s artı beş verilmiş.
Önce sistem tipini belirleyelim.
L(s)=G(s) için orijinde bir net kutup vardır; sistem Tip 1'dir.
K p: G s'nin s sıfıra yaklaşırken limiti.
Tip bir sistemde integratör olduğu için K p sonsuzdur.
K v: s çarpı G s'nin s sıfıra yaklaşırken limiti eşittir on çarpı iki bölü beş, yani dört.
Kapalı çevrim paydası s²+15s+20 kararlı olduğundan son değer teoremi geçerlidir ve basamak hatası sıfırdır.
Rampa girişi için hata bir bölü dört, yani sıfır nokta yirmi beştir.
Sesli anlatım metni
Bir örnek yapalım. G s eşittir on çarpı s artı iki, bölü s çarpı s artı beş verilmiş. Önce sistem tipini belirleyelim. Paydada bir s var, dolayısıyla bu Tip bir sistemdir. K p: G s'nin s sıfıra yaklaşırken limiti. Tip bir sistemde integratör olduğu için K p sonsuzdur. K v: s çarpı G s'nin s sıfıra yaklaşırken limiti eşittir on çarpı iki bölü beş, yani dört. Dolayısıyla basamak girişi için hata sıfırdır. Rampa girişi için hata bir bölü dört, yani sıfır nokta yirmi beştir.
9. Sürekli hal hatası prosedürünü toparla
Hata sabiti tablosu; birim negatif geri besleme, kararlı kapalı çevrim ve son değer teoreminin kutup koşulu altında uygulanır.
Özetleyelim.
Sürekli hal hatası iki şeye bağlıdır: giriş tipine ve sistem tipine.
Pozisyon sabiti K p, hız sabiti K v ve ivme sabiti K a, G s'nin limitleri alınarak bulunur.
Hata tablosu standart izleme sonucunu verir; daha yüksek tip her tasarımda otomatik olarak daha iyi performans veya kararlılık anlamına gelmez.
Bir sonraki derste kök yer eğrisi yöntemini inceleyeceğiz.
Bu yöntem, kontrolör kazancını değiştirdikçe kapalı çevrim kutuplarının nasıl hareket ettiğini gösterir.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. Sürekli hal hatası iki şeye bağlıdır: giriş tipine ve sistem tipine. Pozisyon sabiti K p, hız sabiti K v ve ivme sabiti K a, G s'nin limitleri alınarak bulunur. Hata tablosu bize her şeyi söyler: daha yüksek sistem tipi, her giriş için daha düşük hata demektir. Bir sonraki derste kök yer eğrisi yöntemini inceleyeceğiz. Bu yöntem, kontrolör kazancını değiştirdikçe kapalı çevrim kutuplarının nasıl hareket ettiğini gösterir.