Elektromanyetik Teori · Sürekli Yük Dağılımları ve Elektrik Alanı

#09 Çizgisel, yüzeysel ve hacimsel yük yoğunlukları; sonsuz çizgi, sonsuz levha ve yüklü halka alanları

Nokta yüklerden sürekli dağılımlara geç; simetriyi kullanarak çizgi, levha ve halka alanlarını hesapla.

Soru

Sürekli yük dağılımlarını ve simetriyle elde edilen elektrik alan bağıntılarını gösteren ders karesi. — Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.

Sürekli yük dağılımlarının elektrik alanını diferansiyel yük elemanları ve simetriyle kurun; sonsuz çizgi, sonsuz levha ve yüklü halka sonuçlarını türetip sınır durumlarıyla kontrol edin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Nokta yükten sürekli dağılıma geç
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Bir önceki dersimizde Coulomb yasasını ve nokta yüklerden kaynaklanan elektrik alanını öğrendik.
Süperpozisyon ilkesini kullanarak birden fazla yükün katkısını topladık.
Ama gerçek dünyada yükler nadiren izole noktalar halindedir.
Yüklü bir tel, bir metal plaka, bir elektron bulutu — bunların hepsi sürekli yük dağılımlarıdır.
Bugün, yükün bir çizgi boyunca, bir yüzey üzerinde veya bir hacim içinde yayıldığı durumlarda elektrik alanını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
Sesli anlatım metni
Bir önceki dersimizde Coulomb yasasını ve nokta yüklerden kaynaklanan elektrik alanını öğrendik. Süperpozisyon ilkesini kullanarak birden fazla yükün katkısını topladık. Ama gerçek dünyada yükler nadiren izole noktalar halindedir. Yüklü bir tel, bir metal plaka, bir elektron bulutu — bunların hepsi sürekli yük dağılımlarıdır. Bugün, yükün bir çizgi boyunca, bir yüzey üzerinde veya bir hacim içinde yayıldığı durumlarda elektrik alanını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
2. Üç yük yoğunluğunu ve integralleri tanımla
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Üç çeşit sürekli yük dağılımı vardır ve her birinin kendine ait bir yük yoğunluğu bulunur.
Birincisi, çizgisel yük yoğunluğu, ρ_L.
Bu, ince bir tel veya çizgi boyunca yayılmış yükü tanımlar.
Birimi kulomb bölü metredir.
Çizgi üzerindeki toplam yük: Q = ∫ₗ ρ_L dl.
İkincisi, yüzeysel yük yoğunluğu, ρ_S.
Bu, düz veya eğri bir yüzey üzerine yayılmış yükü tanımlar.
Birimi kulomb bölü metrekaredir.
Yüzey üzerindeki toplam yük: Q = ∫ₛ ρ_S dS.
Üçüncüsü, hacimsel yük yoğunluğu, ρ_v.
Bu, üç boyutlu bir bölgeyi dolduran yükü tanımlar.
Birimi kulomb bölü metreküptür.
Hacim içindeki toplam yük: Q = ∫ᵥ ρ_v dv.
Peki, bu dağılımlardan herhangi birinin elektrik alanını nasıl buluruz?
Güçlü bir fikir kullanırız: her küçük yük parçası dQ'yu bir nokta yük gibi ele alırız.
Coulomb yasasını kullanarak onun alana katkısını yazarız, sonra tüm dağılım üzerinde integral alırız.
Bu bize üç integral formülü verir.
Çizgisel yük için E = ∫[ρ_L dl/(4πε₀R²)]e_R.
Yüzeysel yük için: ρ_L dl yerine ρ_S dS koyarız.
Hacimsel yük için: ρ_v dv koyarız.
Bu üç formül, bu dersteki her şeyin temelidir.
Sesli anlatım metni
Üç çeşit sürekli yük dağılımı vardır ve her birinin kendine ait bir yük yoğunluğu bulunur. Birincisi, çizgisel yük yoğunluğu, ro-L. Bu, ince bir tel veya çizgi boyunca yayılmış yükü tanımlar. Birimi kulomb bölü metredir. Çizgi üzerindeki toplam yük, ro-L dé-l'in çizgi uzunluğu boyunca integraline eşittir. İkincisi, yüzeysel yük yoğunluğu, ro-S. Bu, düz veya eğri bir yüzey üzerine yayılmış yükü tanımlar. Birimi kulomb bölü metrekaredir. Toplam yük, ro-S dé-S'in yüzey üzerindeki integraline eşittir. Üçüncüsü, hacimsel yük yoğunluğu, ro-v. Bu, üç boyutlu bir bölgeyi dolduran yükü tanımlar. Birimi kulomb bölü metreküptür. Toplam yük, ro-v dé-v'nin hacim üzerindeki integraline eşittir. Peki, bu dağılımlardan herhangi birinin elektrik alanını nasıl buluruz? Güçlü bir fikir kullanırız: her küçük yük parçası dé-Q'yu bir nokta yük gibi ele alırız. Coulomb yasasını kullanarak onun alana katkısını yazarız, sonra tüm dağılım üzerinde integral alırız. Bu bize üç integral formülü verir. Çizgisel yük için: E eşittir ro-L dé-l bölü dört pi epsilon-sıfır R-kare'nin integraline, a-R yönünde. Yüzeysel yük için: ro-L dé-l yerine ro-S dé-S koyarız. Hacimsel yük için: ro-v dé-v koyarız. Bu üç formül, bu dersteki her şeyin temelidir.
3. Sonsuz çizgisel yük alanını çıkar
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Şimdi çizgisel yük formülünü önemli bir duruma uygulayalım: z-ekseni boyunca düzgün yük yoğunluğu ρ_L'ye sahip sonsuz bir yük çizgisi.
P noktasındaki elektrik alanını bulmak istiyoruz.
P noktası z-ekseninden ρ kadar dik uzaklıkta bulunuyor.
Çizgi üzerinde z′ konumunda küçük bir dl elemanı düşünelim.
Bu elemanın yükü: dQ = ρ_L dz′.
Bu elemandan P noktasına olan R vektörünün iki bileşeni vardır: radyal yönde ρ ve z yönünde z eksi z′.
Uzaklık bağıntısı:
$\displaystyle R² = \rho ² + \left(z - z′\right)².$
Şimdi simetriden gelen önemli bir gözlem var.
Artı z′ konumundaki her eleman için, eksi z′ konumunda eşleşen bir eleman vardır.
Bunların radyal bileşenleri toplanır, ama z-bileşenleri birbirini götürür.
Yani toplam alan sadece ρ-bileşenine sahiptir.
İntegrali hesaplamak için trigonometrik bir değişken dönüşümü kullanırız.
Değişken dönüşümü:
$\displaystyle z′ = -\rho \tan \alpha .$
Hesaplamaları yaptıktan sonra — yerine koyma, sadeleştirme ve eksi sonsuzdan artı sonsuza integral alma — çok güzel ve basit bir sonuca ulaşırız:
Sonsuz çizgisel yük alanı:
$\displaystyle E = \left[\frac{\rho _{L}}{2\pi \varepsilon ₀\rho }\right]e_{\rho }.$
Bu sonucu ezberlemekte fayda var.
Sonsuz çizgisel yükün elektrik alanı bir bölü ρ ile azalır — nokta yükteki gibi bir bölü ρ² ile değil.
Ve alan, tele dik olarak radyal yönde dışarıya doğru işaret eder.
Sesli anlatım metni
Şimdi çizgisel yük formülünü önemli bir duruma uygulayalım: z-ekseni boyunca düzgün yük yoğunluğu ro-L'ye sahip sonsuz bir yük çizgisi. P noktasındaki elektrik alanını bulmak istiyoruz. P noktası z-ekseninden ro kadar dik uzaklıkta bulunuyor. Çizgi üzerinde z-üssü konumunda küçük bir dé-l elemanı düşünelim. Bu eleman dé-Q eşittir ro-L dé-z-üssü kadar yük taşır. Bu elemandan P noktasına olan R vektörünün iki bileşeni vardır: radyal yönde ro ve z yönünde z eksi z-üssü. Dolayısıyla R-kare eşittir ro-kare artı z eksi z-üssü'nün karesi. Şimdi simetriden gelen önemli bir gözlem var. Artı z-üssü konumundaki her eleman için, eksi z-üssü konumunda eşleşen bir eleman vardır. Bunların radyal bileşenleri toplanır, ama z-bileşenleri birbirini götürür. Yani toplam alan sadece ro-bileşenine sahiptir. İntegrali hesaplamak için trigonometrik bir değişken dönüşümü kullanırız. z-üssü eşittir eksi ro çarpı tanjant alfa deriz. Hesaplamaları yaptıktan sonra — yerine koyma, sadeleştirme ve eksi sonsuzdan artı sonsuza integral alma — çok güzel ve basit bir sonuca ulaşırız: E eşittir ro-L bölü iki pi epsilon-sıfır ro, a-ro yönünde. Bu sonucu ezberlemekte fayda var. Sonsuz çizgisel yükün elektrik alanı bir bölü ro ile azalır — nokta yükteki gibi bir bölü ro-kare ile değil. Ve alan, tele dik olarak radyal yönde dışarıya doğru işaret eder.
4. Sonsuz levha alanını hesapla
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Şimdi x-y düzleminde düzgün yüzeysel yük yoğunluğu ρ_S'ye sahip sonsuz bir yük levhasının alanını bulalım.
P noktasındaki alanı bulmak istiyoruz.
P noktası levhanın h kadar üzerinde bulunuyor.
Levha üzerinde ρ, φ konumundaki küçük bir dS elemanı düşünelim.
Diferansiyel yük: dQ = ρ_S ρ dρ dφ.
dS'den P noktasına olan R vektörünün radyal bileşeni eksi e_ρ ve dikey bileşeni h çarpı e_z'dir.
Yine simetri bizi kurtarır.
φ açısındaki her eleman için, φ artı π açısında bir başka eleman vardır.
Bunların yatay bileşenleri birbirini götürür.
Sadece z-bileşeni kalır.
Bu yüzden sadece E-z'yi integrate ederiz.
Silindirik koordinatlarda integrali kurarak, ρ'yu sıfırdan sonsuza ve φ'yi sıfırdan iki-π'ye integrate ederiz ve şunu elde ederiz:
Sonsuz levha alanı:
$\displaystyle E = \left[\frac{\rho _{S}}{2\varepsilon ₀}\right]e_{z}.$
Bu sonuç dikkat çekicidir.
Sonsuz bir yük levhasının elektrik alanı sabittir — levhadan olan uzaklığa hiç bağlı değildir!
İster bir santimetre ister bir kilometre uzakta olun, alan şiddeti aynıdır.
Paralel plakalar arasında E = ρ_S/ε₀; dışarıda alanlar birbirini götürür.
Sesli anlatım metni
Şimdi x-y düzleminde düzgün yüzeysel yük yoğunluğu ro-S'ye sahip sonsuz bir yük levhasının alanını bulalım. P noktasındaki alanı bulmak istiyoruz. P noktası levhanın h kadar üzerinde bulunuyor. Levha üzerinde ro, fi konumundaki küçük bir dé-S elemanı düşünelim. Bu eleman dé-Q eşittir ro-S çarpı ro dé-ro dé-fi kadar yük taşır. dé-S'den P noktasına olan R vektörünün radyal bileşeni eksi a-ro ve dikey bileşeni h çarpı a-z'dir. Yine simetri bizi kurtarır. fi açısındaki her eleman için, fi artı pi açısında bir başka eleman vardır. Bunların yatay bileşenleri birbirini götürür. Sadece z-bileşeni kalır. Bu yüzden sadece E-z'yi integrate ederiz. Silindirik koordinatlarda integrali kurarak, ro'yu sıfırdan sonsuza ve fi'yi sıfırdan iki-pi'ye integrate ederiz ve şunu elde ederiz: E eşittir ro-S bölü iki epsilon-sıfır, a-z yönünde. Bu sonuç dikkat çekicidir. Sonsuz bir yük levhasının elektrik alanı sabittir — levhadan olan uzaklığa hiç bağlı değildir! İster bir santimetre ister bir kilometre uzakta olun, alan şiddeti aynıdır. Eşit ve zıt yüklere sahip bir paralel plakalı kapasitörde, alanlar plakalar arasında toplanarak E eşittir ro-S bölü epsilon-sıfır verir ve dışarıda birbirini götürür.
5. Yüklü halkanın eksen alanını bul
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Şimdi önemli bir örnek üzerinde çalışalım.
Yarıçapı a olan dairesel bir halka, düzgün çizgisel yük yoğunluğu ρ_L taşımaktadır.
Halka, orijin merkezli olarak x-y düzleminde yer almaktadır.
z-ekseni üzerinde h yüksekliğindeki P noktasındaki alanı bulmak istiyoruz.
Halka elemanı: dl = a dφ ve dQ = ρ_L a dφ.
Her eleman için R = √(a² + h²).
Bu, halka üzerindeki her eleman için aynıdır ve bu durum integrasyonu kolaylaştırır.
Bir elemandan P'ye olan R vektörünün bileşenleri, e_ρ yönünde eksi a ve e_z yönünde h'dır.
Simetriden dolayı yatay bileşenler birbirini götürür — her eleman için halkanın karşı tarafında radyal katkısını götüren bir başka eleman vardır.
Sadece z-bileşeni kalır.
Halka etrafında sıfırdan iki-π'ye integrate ettiğimizde şunu elde ederiz:
Halka ekseninde E = [ρ_L a h/(2ε₀(h² + a²)⁽3/2))]e_z.
h ≫ a iken halka nokta yük gibi davranır: E → Q/(4πε₀h²).
Halka merkezinde h = 0 ve E = 0.
Sesli anlatım metni
Şimdi önemli bir örnek üzerinde çalışalım. Yarıçapı a olan dairesel bir halka, düzgün çizgisel yük yoğunluğu ro-L taşımaktadır. Halka, orijin merkezli olarak x-y düzleminde yer almaktadır. z-ekseni üzerinde h yüksekliğindeki P noktasındaki alanı bulmak istiyoruz. Her küçük dé-l eşittir a dé-fi elemanı, dé-Q eşittir ro-L çarpı a dé-fi kadar yük taşır. Herhangi bir elemandan P noktasına olan uzaklık R eşittir a-kare artı h-kare'nin kareköküdür. Bu, halka üzerindeki her eleman için aynıdır ve bu durum integrasyonu kolaylaştırır. Bir elemandan P'ye olan R vektörünün bileşenleri, a-ro yönünde eksi a ve a-z yönünde h'dır. Simetriden dolayı yatay bileşenler birbirini götürür — her eleman için halkanın karşı tarafında radyal katkısını götüren bir başka eleman vardır. Sadece z-bileşeni kalır. Halka etrafında sıfırdan iki-pi'ye integrate ettiğimizde şunu elde ederiz: E eşittir ro-L çarpı a çarpı h, bölü iki epsilon-sıfır çarpı h-kare artı a-kare'nin üç bölü iki üssü, tamamı a-z yönünde. İki önemli kontrol: h, a'dan çok büyük olduğunda, halka bir nokta yük gibi görünür ve formül gerçekten Q bölü dört pi epsilon-sıfır h-kare'ye indirgenir. Ve h eşittir sıfır olduğunda — halkanın merkezinde — alan sıfırdır, simetrinin gerektirdiği gibi.
6. Simetri sonuçlarını ve sınırları özetle
Sürekli yük dağılımlarında diferansiyel katkılar integralle toplanır; simetri yok olan bileşenleri belirler.
Bugünkü üç temel sonucu özetleyelim.
Sonsuz çizgi: E = ρ_L/(2πε₀ρ), yani 1/ρ ile azalır.
Sonsuz levha: E = ρ_S/(2ε₀), sabittir.
Yüklü halka ekseninde E = ρ_L a h/[2ε₀(h² + a²)⁽3/2)].
Her üçündeki ortak teknik: simetriyi kullanarak hangi bileşenlerin birbirini götürdüğünü belirlemek, sonra kalanı integrate etmek.
Bir sonraki derste, malzemelerle çalışmamızı kolaylaştıran ve doğrudan Gauss yasasına götüren elektrik akı yoğunluğu vektörü D'yi tanıtacağız.
Sesli anlatım metni
Bugünkü üç temel sonucu özetleyelim. Sonsuz çizgisel yük, bir bölü ro ile azalan bir alan üretir: E eşittir ro-L bölü iki pi epsilon-sıfır ro. Sonsuz yük levhası, sabit bir alan üretir: E eşittir ro-S bölü iki epsilon-sıfır. Ve yüklü bir halka, ekseni boyunca bir alan üretir: E eşittir ro-L a h bölü iki epsilon-sıfır çarpı h-kare artı a-kare'nin üç bölü ikinci kuvveti. Her üçündeki ortak teknik: simetriyi kullanarak hangi bileşenlerin birbirini götürdüğünü belirlemek, sonra kalanı integrate etmek. Bir sonraki derste, malzemelerle çalışmamızı kolaylaştıran ve doğrudan Gauss yasasına götüren elektrik akı yoğunluğu vektörü D'yi tanıtacağız.