نظرية الدوائر 1 · أساسيات تحليل الدوائر

#10 تحليل العقد، المثال 3 — التيار والقدرة في ثلاث عقد

ينشئ منظومة KCL لثلاث عقد ويحلها، مع التحقق من V₁=45 V وV₂=21 V وV₃=27 V وi=1.5 A وP=54 W.

السؤال

دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

استخدم تحليل العقد لإيجاد V_1 وV_2 وV_3. احسب التيار i في مقاومة 4 Ω من V_3 إلى V_2 والقدرة المبددة في مقاومة 6 Ω الحمراء.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

  1. 1. قراءة الدائرة والمطلوب

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    المجاهيل: V1، V2، V3

    المطلوب: i=(V3−V2)/4

    القدرة في مقاومة 6 Ω الحمراء

    نص الشرح الصوتي

    هذا أعقد مثال حتى الآن — دائرة بثلاثة جهود عقد مجهولة. العقدة V واحد تتصل بالعقدة V ثلاثة عبر مقاومة ستة أوم مميزة باللون الأحمر، وبالعقدة V اثنان عبر مقاومة اثني عشر أوم في الأعلى. العقدة V اثنان تتصل أيضاً بـ V ثلاثة عبر مقاومة أربعة أوم، وبالأرض عبر مقاومة ستة أوم على اليمين. العقدة V ثلاثة تتصل بالأرض عبر مقاومة ثمانية عشر أوم. مصدر تيار خمسة أمبير يدخل العقدة V واحد من الأسفل. المطلوب: إيجاد التيار i المار عبر مقاومة الأربعة أوم، والقدرة المبددة في مقاومة الستة أوم الحمراء.

  2. 2. KCL عند العقدة V₁

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    (V1−V3)/6+(V1−V2)/12−5=0(V_{1}-V_{3})/6+(V_{1}-V_{2})/12-5=0

    نضرب في 12 ثم نبسّط

    3V1−V2−2V3=603V_{1}-V_{2}-2V_{3}=60

    نص الشرح الصوتي

    نكتب قانون التيار لكيرشوف عند العقدة V واحد. ثلاثة حدود. مقاومة الستة أوم نحو V ثلاثة تعطي V واحد ناقص V ثلاثة، مقسوماً على ستة. مقاومة الاثني عشر أوم نحو V اثنان تعطي V واحد ناقص V اثنان، مقسوماً على اثني عشر. مصدر الخمسة أمبير يدخل V واحد، فنكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص خمسة. نجمع: V واحد ناقص V ثلاثة على ستة، زائد V واحد ناقص V اثنان على اثني عشر، ناقص خمسة، يساوي صفراً. نضرب الطرفين في اثني عشر. نحصل على ضعفي V واحد ناقص V ثلاثة، زائد V واحد ناقص V اثنان، ناقص ستين، يساوي صفراً. بجمع المتشابهات: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان ناقص ضعفي V ثلاثة يساوي ستين. هذه هي المعادلة الأولى.

  3. 3. KCL عند العقدة V₂

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    (V2−V1)/12+(V2−V3)/4+V2/6=0(V_{2}-V_{1})/12+(V_{2}-V_{3})/4+V_{2}/6=0

    نضرب في 12 ثم نبسّط

    −V1+6V2−3V3=0-V_{1}+6V_{2}-3V_{3}=0

    نص الشرح الصوتي

    قانون التيار عند العقدة V اثنان. ثلاثة فروع، لا يوجد مصدر تيار عند هذه العقدة. مقاومة الاثني عشر أوم تعطي V اثنان ناقص V واحد، مقسوماً على اثني عشر. مقاومة الأربعة أوم نحو V ثلاثة تعطي V اثنان ناقص V ثلاثة، مقسوماً على أربعة. مقاومة الستة أوم نحو الأرض تعطي V اثنان مقسوماً على ستة. المعادلة: V اثنان ناقص V واحد على اثني عشر، زائد V اثنان ناقص V ثلاثة على أربعة، زائد V اثنان على ستة، يساوي صفراً. نضرب في اثني عشر. نحصل على V اثنان ناقص V واحد، زائد ثلاثة في V اثنان ناقص V ثلاثة، زائد ضعفي V اثنان، يساوي صفراً. بالتبسيط: ناقص V واحد زائد ستة V اثنان ناقص ثلاثة V ثلاثة يساوي صفراً. المعادلة الثانية.

  4. 4. KCL عند العقدة V₃

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    (V3−V1)/6+(V3−V2)/4+V3/18=0(V_{3}-V_{1})/6+(V_{3}-V_{2})/4+V_{3}/18=0

    نضرب في 36 ثم نبسّط

    −6V1−9V2+17V3=0-6V_{1}-9V_{2}+17V_{3}=0

    نص الشرح الصوتي

    قانون التيار عند العقدة V ثلاثة. مرة أخرى ثلاثة فروع بدون مصدر. مقاومة الستة أوم تعطي V ثلاثة ناقص V واحد، مقسوماً على ستة. مقاومة الأربعة أوم تعطي V ثلاثة ناقص V اثنان، مقسوماً على أربعة. مقاومة الثمانية عشر أوم نحو الأرض تعطي V ثلاثة مقسوماً على ثمانية عشر. نضرب في ستة وثلاثين لإزالة جميع المقامات. نحصل على ستة في V ثلاثة ناقص V واحد، زائد تسعة في V ثلاثة ناقص V اثنان، زائد ضعفي V ثلاثة، يساوي صفراً. بالتبسيط: ناقص ستة V واحد ناقص تسعة V اثنان زائد سبعة عشر V ثلاثة يساوي صفراً. المعادلة الثالثة.

  5. 5. حل المنظومة والتحقق

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    45V2−35V3=0⇒V3=(9/7)V245V_{2}-35V_{3}=0 \Rightarrow V_{3}=(9/7)V_{2}

    V1=45V,  V2=21V,  V3=27VV_{1}=45 V,\; V_{2}=21 V,\; V_{3}=27 V

    التحقق عند V1: 3 A+2 A=5 A

    نص الشرح الصوتي

    لدينا الآن ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل. المعادلة الأولى: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان ناقص ضعفي V ثلاثة يساوي ستين. المعادلة الثانية: ناقص V واحد زائد ستة V اثنان ناقص ثلاثة V ثلاثة يساوي صفراً. المعادلة الثالثة: ناقص ستة V واحد ناقص تسعة V اثنان زائد سبعة عشر V ثلاثة يساوي صفراً. نحل المنظومة بطريقة الحذف. نضرب المعادلة الثانية في ستة ونطرح المعادلة الثالثة. فيحذف V واحد ونحصل على: خمسة وأربعين V اثنان ناقص خمسة وثلاثين V ثلاثة يساوي صفراً. إذن V ثلاثة يساوي تسعة أسباع V اثنان. بالتعويض العكسي: V اثنان يساوي واحداً وعشرين فولت، V ثلاثة يساوي سبعة وعشرين فولت، و V واحد يساوي خمسة وأربعين فولت. تحقّق سريع عند V واحد: خمسة وأربعين ناقص سبعة وعشرين على ستة يساوي ثلاثة. خمسة وأربعين ناقص واحد وعشرين على اثني عشر يساوي اثنين. ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة، وهو ما يطابق مصدر الخمسة أمبير. صحيح.

  6. 6. تيار الفرع وقدرة المقاومة

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    i=(V3−V2)/4=(27−21)/4i=(V_{3}-V_{2})/4=(27-21)/4

    i=1.5Ai=1.5 A

    P=(V1−V3)2/6=182/6P=(V_{1}-V_{3})^{2}/6=18^{2}/6

    P=54WP=54 W

    نص الشرح الصوتي

    والآن نجيب على ما طلبه السؤال. التيار i يمر عبر مقاومة الأربعة أوم من V ثلاثة نحو V اثنان. بقانون أوم: i يساوي V ثلاثة ناقص V اثنان، مقسوماً على أربعة. أي سبعة وعشرين ناقص واحد وعشرين على أربعة، يساوي واحد فاصلة خمسة أمبير. أما القدرة المبددة في مقاومة الستة أوم الحمراء بين V واحد و V ثلاثة: الجهد عبرها يساوي V واحد ناقص V ثلاثة، أي خمسة وأربعين ناقص سبعة وعشرين، يساوي ثمانية عشر فولت. القدرة تساوي V تربيع على R، أي ثمانية عشر تربيع على ستة، يساوي أربعة وخمسين واط.

  7. 7. ملخص الطريقة

    دائرة بثلاث عقد V₁ وV₂ وV₃، ومصدر 5 A ومقاومات 12 Ω و6 Ω و4 Ω و6 Ω و18 Ω.
    تقع مقاومة 6 Ω الحمراء بين V₁ وV₃، ويُعرّف التيار i من V₃ إلى V₂ عبر مقاومة 4 Ω.

    1. اختر العقد 2. اكتب KCL

    3. حل المنظومة 4. تحقّق

    تيار الفرع: ΔV/R

    قدرة المقاومة: V2/R

    نص الشرح الصوتي

    النقطة الرئيسية: الطريقة نفسها بأربع خطوات تنطبق مباشرة من عقدتين إلى ثلاث عقد أو أكثر. الفرق الوحيد هو جبر أكبر — ثلاث معادلات بدلاً من اثنتين. بمجرّد معرفة جهود العقد، قانون أوم يعطيك أي تيار فرعي، و P تساوي V تربيع على R تعطيك قدرة أي مقاومة. في الدرس القادم، سنرى مثالاً آخر على تحليل العقد.

الفيديو المصدر: تحليل العقد — مثال 3: ثلاث عقد، إيجاد i و P | نظرية الدوائر #10 (6:31)