#08 تحليل العقد — مثال محلول بأربع خطوات

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. طريقة العقد بأربع خطوات

   1) اختر عقدة المرجع

   2) سمِّ جهود العقد المجهولة

   3) اكتب KCL عند كل عقدة

   4) طبّق إشارات مصادر التيار

   نص الشرح الصوتي

   تحليل العقد طريقة منهجية لإيجاد جهود العقد في الدوائر التي لا يمكن تبسيطها بقواعد التوالي والتفرع. نتبع أربع خطوات. الخطوة الأولى: اختر عقدة المرجع. وهي العقدة التي نعتبر جهدها صفراً، وعادةً ما تكون الأرض في الأسفل. الخطوة الثانية: حدد بقية العقد، وسمّها V واحد و V اثنان وهكذا. الخطوة الثالثة: لكل عقدة، اكتب قانون التيار لكيرشوف بحيث يساوي مجموع التيارات صفراً. ولكل فرع نستخدم العلاقة: التيار يساوي فرق الجهد بين العقدتين مقسوماً على المقاومة. الخطوة الرابعة: قاعدة إشارة مصدر التيار. إذا كان المصدر يدخل العقدة، نكتبه بإشارة سالبة. وإذا كان يخرج من العقدة، نكتبه بإشارة موجبة. ثم نحل المنظومة الخطية الناتجة لإيجاد جهود العقد.

2. 2. قراءة الدائرة والعقد

   

   $R_{1g}=8 \Omega,\; R_{12}=16 \Omega,\; R_{2g}=12 \Omega$

   $I_{1}=9 A ↑,\; I_{2}=3 A ↑$

   المجهولان: V₁ وV₂

   نص الشرح الصوتي

   لنطبق هذه الطريقة على مثال. هذه الدائرة تحتوي على عقدتين مجهولتين، V واحد و V اثنان. العقدة V واحد متصلة بمقاومة ثمانية أوم نحو الأرض، وبمقاومة ستة عشر أوم نحو V اثنان، ويدخلها مصدر تيار قيمته تسعة أمبير. العقدة V اثنان متصلة بمقاومة اثني عشر أوم نحو الأرض، وبمقاومة ستة عشر أوم نحو V واحد، ويدخلها مصدر تيار قيمته ثلاثة أمبير. هدفنا هو إيجاد قيمتي V واحد و V اثنان. سنكتب قانون التيار لكيرشوف عند كل عقدة، فنحصل على معادلتين بمجهولين.

3. 3. KCL عند العقدة V₁

   

   $(V_{1}-V_{2})/16 + V_{1}/8 - 9 = 0$

   نضرب في 16: V₁−V₂+2V₁−144=0

   $3V_{1} - V_{2} = 144$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بكتابة قانون التيار لكيرشوف عند العقدة V واحد. نتعامل مع كل فرع متصل بهذه العقدة. الفرع الأول هو مقاومة ستة عشر أوم بين V واحد و V اثنان. التيار في هذا الفرع يساوي V واحد ناقص V اثنان، مقسوماً على ستة عشر. الفرع الثاني هو مقاومة ثمانية أوم بين V واحد والأرض. التيار فيه يساوي V واحد مقسوماً على ثمانية. ثم لدينا مصدر التيار التسعة أمبير الذي يدخل العقدة V واحد. بحسب القاعدة، نكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص تسعة. مجموع كل هذه التيارات يساوي صفراً. فنكتب: V واحد ناقص V اثنان على ستة عشر، زائد V واحد على ثمانية، ناقص تسعة، يساوي صفراً. لتبسيط هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ستة عشر. نحصل على V واحد ناقص V اثنان، زائد ضعفي V واحد، ناقص مئة وأربعة وأربعين، يساوي صفراً. وعند جمع الحدود المتشابهة: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان يساوي مئة وأربعة وأربعين. هذه هي معادلتنا الأولى.

4. 4. KCL عند العقدة V₂

   

   $(V_{2}-V_{1})/16 + V_{2}/12 - 3 = 0$

   نضرب في 48: 3V₂−3V₁+4V₂−144=0

   $-3V_{1} + 7V_{2} = 144$

   نص الشرح الصوتي

   نكرر نفس الخطوات للعقدة V اثنان. الفرع الأول هو نفس مقاومة الستة عشر أوم، ولكن من منظور V اثنان، التيار فيه يساوي V اثنان ناقص V واحد، مقسوماً على ستة عشر. الفرع الثاني هو مقاومة الاثني عشر أوم بين V اثنان والأرض. التيار فيه يساوي V اثنان مقسوماً على اثني عشر. ثم مصدر التيار الثلاثة أمبير الذي يدخل العقدة V اثنان. بحسب القاعدة، نكتبه بإشارة سالبة، أي ناقص ثلاثة. مجموع التيارات يساوي صفراً. فنكتب: V اثنان ناقص V واحد على ستة عشر، زائد V اثنان على اثني عشر، ناقص ثلاثة، يساوي صفراً. لتبسيط هذه المعادلة، نضرب الطرفين في ثمانية وأربعين. نحصل على ثلاثة في V اثنان ناقص V واحد، زائد أربعة V اثنان، ناقص مئة وأربعة وأربعين، يساوي صفراً. وبجمع الحدود المتشابهة: ناقص ثلاثة V واحد زائد سبعة V اثنان يساوي مئة وأربعة وأربعين. هذه هي معادلتنا الثانية.

5. 5. حل منظومة المعادلات

   

   (1)+(2): 6V₂=288 ⇒ V₂=48 V

   $3V_{1}-48=144 \Rightarrow V_{1}=64 V$

   التحقق عند V₁: ‏1+8−9=0

   التحقق عند V₂: ‏−1+4−3=0

   نص الشرح الصوتي

   الآن لدينا معادلتان بمجهولين. المعادلة الأولى: ثلاثة V واحد ناقص V اثنان يساوي مئة وأربعة وأربعين. والمعادلة الثانية: ناقص ثلاثة V واحد زائد سبعة V اثنان يساوي مئة وأربعة وأربعين. لاحظوا أن معاملي V واحد متعاكسان: ثلاثة في الأولى، وناقص ثلاثة في الثانية. إذا جمعنا المعادلتين مباشرة، يحذف الحدّ V واحد. الجمع يعطي: ستة V اثنان يساوي مئتين وثمانية وثمانين. إذن V اثنان يساوي ثمانية وأربعين فولت. نعوض هذه القيمة في المعادلة الأولى. ثلاثة V واحد ناقص ثمانية وأربعين يساوي مئة وأربعة وأربعين. إذن ثلاثة V واحد يساوي مئة واثنين وتسعين، أي V واحد يساوي أربعة وستين فولت. للتحقق من الحل، نختبر قانون التيار عند العقدة V واحد. أربعة وستون ناقص ثمانية وأربعين على ستة عشر، يساوي واحداً. وأربعة وستون على ثمانية، يساوي ثمانية. مجموعهما تسعة أمبير، وهو يطابق تماماً مصدر التسعة أمبير الذي يدخل العقدة. إذن الحل صحيح.

6. 6. ملخص الطريقة

   $تيار الفرع = فرق جهدي العقدتين / R$

   المصدر الداخل إلى العقدة: سالب

   المصدر الخارج من العقدة: موجب

   تحقق من كل نتيجة بإعادة KCL

   نص الشرح الصوتي

   باختصار، تحليل العقد يتبع خمس خطوات أساسية. أولاً: اختر عقدة مرجع وعرّف جهدها بصفر، عادةً الأرض. ثانياً: سمّ بقية العقد V واحد و V اثنان وهكذا. ثالثاً: لكل عقدة، اكتب قانون التيار لكيرشوف بحيث يساوي مجموع التيارات صفراً. وتذكّر أن تيار كل فرع يساوي فرق الجهد بين العقدتين مقسوماً على المقاومة. رابعاً: طبّق قاعدة الإشارة لمصادر التيار. المصدر الداخل يكتب بإشارة سالبة، والخارج بإشارة موجبة. خامساً: حل المنظومة الخطية الناتجة لإيجاد جهود العقد. في الدرس القادم، سنتعرّف على العقدة الفائقة، وهي الحالة الخاصة عندما يربط مصدر جهد بين عقدتين غير مرجعيتين.

الفيديو المصدر: تحليل العقد — الطريقة بأربع خطوات ومثال محلول | نظرية الدوائر #08 (6:38)