#07 تحويل دلتا–واي — مثالان محلولان

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. لماذا نستخدم تحويل دلتا وواي؟

   

   دلتا / باي: شبكة مقاومات مثلثة

   واي / تي: ثلاثة أذرع تلتقي في مركز

   تبقى الأطراف الخارجية a وb وc نفسها

   الهدف: إظهار توالٍ وتوازٍ بسيطين

   نص الشرح الصوتي

   بعض الدوائر تحتوي على مقاومات مرتبة على شكل مثلث، تُسمى تشكيلة دلتا أو باي. وبعضها الآخر تتقابل مقاوماتها في نقطة مركزية، وتُسمى تشكيلة واي أو تي. عندما تحتوي الدائرة على دلتا أو واي لا يمكن تبسيطها بقواعد التوالي والتفرع، يمكننا تحويل إحداهما إلى الأخرى. من دلتا إلى واي، أو من واي إلى دلتا. بعد التحويل، عادةً تتبسط الدائرة إلى تركيبات توالي وتفرع بسيطة. دعونا نتعلم صيغ التحويل ونرى مثالين.

2. 2. صيغ التحويل

   

   $S_{\Delta} = R_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{b}} + R_{\mathrm{c}}$

   $R_{1} = R_{\mathrm{b}}R_{\mathrm{c}}/S_{\Delta},\; R_{2} = R_{\mathrm{a}}R_{\mathrm{c}}/S_{\Delta}$

   $R_{3} = R_{\mathrm{a}}R_{\mathrm{b}}/S_{\Delta}$

   $N = R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{1}R_{3}$

   $R_{\mathrm{a}}=N/R_{1},\; R_{\mathrm{b}}=N/R_{2},\; R_{\mathrm{c}}=N/R_{3}$

   نص الشرح الصوتي

   إليكم الصيغ. في تشكيلة دلتا، لدينا ثلاث مقاومات: R a بين العقدتين b و c، R b بين العقدتين a و c، و R c بين العقدتين a و b. في تشكيلة واي، R واحد تصل من العقدة a إلى المركز، R اثنان من العقدة b إلى المركز، و R ثلاثة من العقدة c إلى المركز. للتحويل من دلتا إلى واي: R واحد يساوي R b في R c، مقسوماً على R a زائد R b زائد R c. R اثنان يساوي R a في R c، مقسوماً على R a زائد R b زائد R c. R ثلاثة يساوي R a في R b، مقسوماً على R a زائد R b زائد R c. القاعدة المختصرة: كل مقاومة واي تساوي حاصل ضرب مقاومتي دلتا المجاورتين، مقسوماً على مجموع مقاومات دلتا الثلاث. للتحويل العكسي، من واي إلى دلتا: R a يساوي R واحد في R اثنان زائد R اثنان في R ثلاثة زائد R واحد في R ثلاثة، الكل مقسوماً على R واحد. R b يستخدم نفس البسط، مقسوماً على R اثنان. R c يستخدم نفس البسط، مقسوماً على R ثلاثة. البسط هو دائماً مجموع جميع حواصل الضرب الثنائية.

3. 3. المثال 1 — قراءة الدائرة

   

   $R_{\mathrm{a}}=25 \Omega (b–c),\; R_{\mathrm{b}}=100 \Omega (a–c)$

   $R_{\mathrm{c}}=125 \Omega (a–b)$

   الأذرع الخارجية: 5 Ω و40 Ω و37.5 Ω

   $V_{\mathrm{s}} = 40 V$

   المطلوب: R_eq وi وP

   نص الشرح الصوتي

   المثال الأول: تحويل من دلتا إلى واي. لدينا مصدر جهد أربعين فولت على اليسار. في الأعلى، مقاومة خمسة أوم تتصل بشبكة جسرية. الجسر يحتوي على دلتا مكونة من ثلاث مقاومات: R a تساوي خمسة وعشرين أوم في الأسفل، R b تساوي مئة أوم في الأعلى اليسار، و R c تساوي مئة وخمسة وعشرين أوم في الأعلى اليمين. أسفل الدلتا، لدينا أربعين أوم في الأسفل اليسار وسبعة وثلاثين ونصف أوم في الأسفل اليمين. هذا الجسر لا يمكن تبسيطه مباشرة بقواعد التوالي والتفرع. لذلك سنحول الدلتا إلى واي.

4. 4. المثال 1 — من دلتا إلى واي

   

   $S_{\Delta}=25+100+125=250 \Omega$

   $R_{1}=100\cdot 125/250=50 \Omega$

   $R_{2}=25\cdot 125/250=12.5 \Omega$

   $R_{3}=25\cdot 100/250=10 \Omega$

   $R_{\mathrm{eq}}=5+50+(50∥50)=80 \Omega$

   $i=0.5 A,\; P=20 W$

   نص الشرح الصوتي

   مجموع مقاومات دلتا هو R a زائد R b زائد R c، أي خمسة وعشرون زائد مئة زائد مئة وخمسة وعشرون، ويساوي مئتين وخمسين أوم. بما أن R a تقابل العقدة a، وR b تقابل العقدة b، وR c تقابل العقدة c، فإن ذراع واي عند العقدة a هو R واحد، ويساوي R b في R c على مئتين وخمسين: مئة في مئة وخمسة وعشرين على مئتين وخمسين، أي خمسون أوم. والذراع عند العقدة b هو R اثنان، ويساوي R a في R c على مئتين وخمسين: خمسة وعشرون في مئة وخمسة وعشرين على مئتين وخمسين، أي اثنا عشر ونصف أوم. والذراع عند العقدة c هو R ثلاثة، ويساوي R a في R b على مئتين وخمسين: خمسة وعشرون في مئة على مئتين وخمسين، أي عشرة أوم. الآن نتبع العقد. من المركز إلى الطرف السفلي عبر العقدة c نحصل على عشرة زائد أربعين، أي خمسين أوم. وعبر العقدة b نحصل على اثني عشر ونصف زائد سبعة وثلاثين ونصف، أي خمسين أوم أيضاً. الفرعان على التوازي فيكافئان خمسة وعشرين أوم. ذراع العقدة a، وقيمته خمسون أوم، على التوالي مع هذه النتيجة، كما أن مقاومة الخمسة أوم الخارجية على التوالي أيضاً. إذن المقاومة المكافئة تساوي خمسة زائد خمسين زائد خمسة وعشرين، أي ثمانين أوم. تيار المصدر يساوي أربعين على ثمانين، أي نصف أمبير، وقدرة المصدر تساوي أربعين في نصف، أي عشرين واط.

5. 5. المثال 2 — قراءة الدائرة

   

   واي: R₁=20 Ω، R₂=10 Ω، R₃=5 Ω

   المقاومتان الخارجيتان: 28 Ω و105 Ω

   $I_{\mathrm{s}}=2 A$

   المطلوب: V

   نص الشرح الصوتي

   المثال الثاني: تحويل من واي إلى دلتا. هذه المرة لدينا مصدر تيار اثنين أمبير على اليسار، مع جهد V عبره. في الوسط، شبكة واي مع R واحد تساوي عشرين أوم نحو اليسار، R اثنان تساوي عشرة أوم نحو اليمين، و R ثلاثة تساوي خمسة أوم نحو الأسفل. هناك أيضاً مقاومة ثمانية وعشرين أوم في الأعلى ومئة وخمسة أوم على الجانب الأيمن. نريد إيجاد V. شبكة الواي تمنع التبسيط المباشر بالتوالي والتفرع، لذلك سنحولها إلى دلتا.

6. 6. المثال 2 — من واي إلى دلتا

   

   $N=20\cdot 10+10\cdot 5+20\cdot 5=350$

   $R_{\mathrm{a}}=17.5 \Omega,\; R_{\mathrm{b}}=35 \Omega,\; R_{\mathrm{c}}=70 \Omega$

   $70∥28=20 \Omega,\; 17.5∥105=15 \Omega$

   $R_{\mathrm{eq}}=(20+15)∥35=17.5 \Omega$

   $V=2\cdot 17.5=35 V$

   نص الشرح الصوتي

   لتحويل واي إلى دلتا، نحسب أولاً البسط. R واحد في R اثنان زائد R اثنان في R ثلاثة زائد R واحد في R ثلاثة يساوي عشرين في عشرة، زائد عشرة في خمسة، زائد عشرين في خمسة. أي مئتان زائد خمسين زائد مئة، ما يساوي ثلاثمئة وخمسين. الآن نقسم على كل مقاومة واي. R a يساوي ثلاثمئة وخمسين على R واحد، أي ثلاثمئة وخمسين على عشرين، ما يعطي سبعة عشر ونصف أوم. R b يساوي ثلاثمئة وخمسين على R اثنان، أي ثلاثمئة وخمسين على عشرة، ما يعطي خمسة وثلاثين أوم. R c يساوي ثلاثمئة وخمسين على R ثلاثة، أي ثلاثمئة وخمسين على خمسة، ما يعطي سبعين أوم. الآن نبسط. R c سبعين أوم على التفرع مع مقاومة الثمانية وعشرين أوم. سبعين في ثمانية وعشرين على سبعين زائد ثمانية وعشرين تساوي ألف وتسعمئة وستين على ثمانية وتسعين، أي عشرين أوم. R a سبعة عشر ونصف أوم على التفرع مع مئة وخمسة أوم. سبعة عشر ونصف في مئة وخمسة على سبعة عشر ونصف زائد مئة وخمسة تساوي ألف وثمانمئة وسبعة وثلاثين ونصف على مئة واثنين وعشرين ونصف، أي خمسة عشر أوم. هاتان العشرين والخمسة عشر أوم على التوالي: عشرين زائد خمسة عشر تساوي خمسة وثلاثين أوم. هذه الخمسة وثلاثين أوم على التفرع مع R b خمسة وثلاثين أوم. خمسة وثلاثين تفرع خمسة وثلاثين تساوي سبعة عشر ونصف أوم. وأخيراً، V يساوي I في R المكافئة، أي اثنين في سبعة عشر ونصف، ما يعطينا خمسة وثلاثين فولت.

7. 7. ملخص الطريقة

   1) سمِّ العقد والحواف المقابلة

   2) طبّق اتجاه التحويل المطلوب

   3) بسّط شبكة التوالي والتوازي الجديدة

   4) تحقّق من الوحدات والحالات الحدية

   نص الشرح الصوتي

   لنراجع. تحويل دلتا إلى واي: كل مقاومة واي تساوي حاصل ضرب مقاومتي دلتا المجاورتين، مقسوماً على مجموع الثلاث. تحويل واي إلى دلتا: كل مقاومة دلتا تساوي مجموع حواصل الضرب الثنائية، مقسوماً على مقاومة الواي المقابلة. استخدم دلتا إلى واي عندما تمنع الدلتا التبسيط بالتوالي والتفرع. واستخدم واي إلى دلتا عندما تكون الواي هي العائق. في الدرس القادم، سنتعلم تحليل الحلقات.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر #07 — تحويل دلتا-واي (Delta-Y Transformation) (7:54)