النظرية الكهرومغناطيسية · تحويلات الإحداثيات ومعاملات القياس

#06 تحويل متجهات الوحدة بين الأنظمة الكارتيزية والأسطوانية والكروية

فسّر معاملات القياس، واشتق مصفوفات التحويل، وانتقل بثقة بين أنظمة الإحداثيات الثلاثة.

السؤال

لقطة درس تعرض معاملات قياس أنظمة الإحداثيات ومصفوفات تحويل متجهات الوحدة. — تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.

اشرح معاملات القياس هندسيا، واشتق مصفوفات تحويل متجهات الوحدة بين الأنظمة الكارتيزية والأسطوانية والكروية، واجمع متجهات مكتوبة في أنظمة مختلفة باستعمال أساس مشترك.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. اجمع أنظمة الإحداثيات الثلاثة
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
في الدروس السابقة عرّفنا ثلاثة أنظمة إحداثية: الكارتيزية، والأسطوانية، والكروية.
وكتبنا متجه الموضع والعناصر التفاضلية في كل نظام.
في هذا الدرس نجمع هذه الأنظمة معا.
سنبدأ بمعاملات القياس، أو المعاملات المترية، وكيف نتذكرها بطريقة هندسية سهلة.
ثم نشتق مصفوفات التحويل التي تحول متجهات الوحدة من نظام إلى آخر.
وفي النهاية نحل أمثلة، ومنها حالات تظهر فيها متجهات وحدة من أنظمة إحداثية مختلفة داخل التعبير نفسه.
نص الشرح الصوتي
في الدروس السابقة عرّفنا ثلاثة أنظمة إحداثية: الكارتيزية، والأسطوانية، والكروية. وكتبنا متجه الموضع والعناصر التفاضلية في كل نظام. في هذا الدرس نجمع هذه الأنظمة معا. سنبدأ بمعاملات القياس، أو المعاملات المترية، وكيف نتذكرها بطريقة هندسية سهلة. ثم نشتق مصفوفات التحويل التي تحول متجهات الوحدة من نظام إلى آخر. وفي النهاية نحل أمثلة، ومنها حالات تظهر فيها متجهات وحدة من أنظمة إحداثية مختلفة داخل التعبير نفسه.
2. استخرج معاملات القياس من الهندسة
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
معاملات القياس تخبرنا كم يتغير الطول الحقيقي عندما يتغير الإحداثي بمقدار وحدة واحدة.
في الإحداثيات الكارتيزية: h_x = h_y = h_z = 1، لأن x وy وz تقيس المسافة مباشرة.
في الإحداثيات الأسطوانية:
$\displaystyle h_{\rho } = h_{z} = 1,\; وh_{\varphi } = \rho .$
في الإحداثيات الكروية:
$\displaystyle h_{r} = 1,\; وh_{\theta } = r,\; وh_{\varphi } = r \sin \theta .$
هناك طريقة مفيدة لتذكر ذلك.
عندما ننتقل من نظام إحداثي إلى النظام التالي، فإن إحداثي الطول الجديد الذي لم يكن موجودا في النظام السابق يعطي معامل القياس للزاوية الجديدة المقابلة.
من الكارتيزي إلى الأسطواني، ρ هو إحداثي الطول الجديد، لذلك h_φ يساوي ρ.
ومن الأسطواني إلى الكروي، r هو إحداثي الطول الجديد، لذلك h_θ يساوي r.
يعطي المثلث الكروي ρ = r sin θ، ومن ثم h_φ = r sin θ.
وبما أن h_φ في الأسطواني كان ρ، فهو في الكروي يصبح r sin θ.
هذه ليست عملية حفظ عمياء، بل نتيجة فهم العلاقة الهندسية بين الأنظمة.
نص الشرح الصوتي
معاملات القياس تخبرنا كم يتغير الطول الحقيقي عندما يتغير الإحداثي بمقدار وحدة واحدة. في الإحداثيات الكارتيزية، معاملات القياس الثلاثة كلها تساوي واحدا: h x يساوي واحدا، و h y يساوي واحدا، و h z يساوي واحدا، لأن x و y و z تقيس المسافة مباشرة. في الإحداثيات الأسطوانية، h rho يساوي واحدا و h z يساوي واحدا، لكن h phi يساوي rho. وفي الإحداثيات الكروية، h r يساوي واحدا، و h theta يساوي r، و h phi يساوي r sine theta. هناك طريقة مفيدة لتذكر ذلك. عندما ننتقل من نظام إحداثي إلى النظام التالي، فإن إحداثي الطول الجديد الذي لم يكن موجودا في النظام السابق يعطي معامل القياس للزاوية الجديدة المقابلة. من الكارتيزي إلى الأسطواني، rho هو إحداثي الطول الجديد، لذلك h phi يساوي rho. ومن الأسطواني إلى الكروي، r هو إحداثي الطول الجديد، لذلك h theta يساوي r. أما h phi في النظام الكروي، فتذكر المثلث القائم الذي يربط r و rho و theta: rho يساوي r sine theta. وبما أن h phi في الأسطواني كان rho، فهو في الكروي يصبح r sine theta. هذه ليست عملية حفظ عمياء، بل نتيجة فهم العلاقة الهندسية بين الأنظمة.
3. اشتق مصفوفة التحويل الأسطوانية
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
لنشتق الآن مصفوفة التحويل بين الإحداثيات الكارتيزية والأسطوانية.
الصيغة العامة لمتجه الوحدة:
$\displaystyle e_{i} = \left(\frac{1}{h_{i}}\right)\left(\frac{\partial r}{\partial q_{i}}\right).$
متجه الموضع الأسطواني:
$\displaystyle r = \rho \cos \varphi e_{x} + \rho \sin \varphi e_{y} + z e_{z}.$
لإيجاد e_ρ نأخذ المشتقة الجزئية لمتجه الموضع بالنسبة إلى ρ، ونقسم على h_ρ، وهو واحد.
فنحصل على e_ρ = cos φ e_x + sin φ e_y.
ولإيجاد e_φ نأخذ المشتقة الجزئية بالنسبة إلى φ، ونقسم على h_φ، وهو ρ.
تختصر ρ، فنحصل على e_φ = −sin φ e_x + cos φ e_y.
أما e_z فيبقى هو نفسه e_z.
يمكن كتابة هذه العلاقات في صورة مصفوفة.
الصف الأول: cos φ، sin φ، صفر.
الصف الثاني: − sin φ، cos φ، صفر.
والصف الثالث: صفر، صفر، واحد.
الفكرة المهمة هنا: لا تحفظ المصفوفة فقط.
احفظ صيغة الاشتقاق، وستستطيع إعادة بنائها في أي وقت.
نص الشرح الصوتي
لنشتق الآن مصفوفة التحويل بين الإحداثيات الكارتيزية والأسطوانية. الصيغة العامة لمتجه الوحدة هي: e hat i يساوي واحدا على h i، مضروبا في المشتقة الجزئية لمتجه الموضع r بالنسبة إلى q i. نبدأ بكتابة متجه الموضع بدلالة الإحداثيات الأسطوانية: r يساوي rho cosine phi في اتجاه x، زائد rho sine phi في اتجاه y، زائد z في اتجاه z. لإيجاد e hat rho نأخذ المشتقة الجزئية لمتجه الموضع بالنسبة إلى rho، ونقسم على h rho، وهو واحد. فنحصل على e hat rho يساوي cosine phi في اتجاه x، زائد sine phi في اتجاه y. ولإيجاد e hat phi نأخذ المشتقة الجزئية بالنسبة إلى phi، ونقسم على h phi، وهو rho. فتختصر rho ونحصل على e hat phi يساوي minus sine phi في اتجاه x، زائد cosine phi في اتجاه y. أما e hat z فيبقى هو نفسه e hat z. يمكن كتابة هذه العلاقات في صورة مصفوفة. الصف الأول: cosine phi، sine phi، صفر. الصف الثاني: minus sine phi، cosine phi، صفر. والصف الثالث: صفر، صفر، واحد. الفكرة المهمة هنا: لا تحفظ المصفوفة فقط. احفظ صيغة الاشتقاق، وستستطيع إعادة بنائها في أي وقت.
4. اشتق مصفوفة التحويل الكروية
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
متجه الموضع الكروي:
$\displaystyle r = r \sin \theta \cos \varphi e_{x} + r \sin \theta \sin \varphi e_{y} + r \cos \theta e_{z}.$
بتطبيق الصيغة نفسها:
$\displaystyle e_{r} = \sin \theta \cos \varphi e_{x} + \sin \theta \sin \varphi e_{y} + \cos \theta e_{z}.$
$\displaystyle e_{\theta } = \cos \theta \cos \varphi e_{x} + \cos \theta \sin \varphi e_{y} - \sin \theta e_{z}.$
$\displaystyle e_{\varphi } = -\sin \varphi e_{x} + \cos \varphi e_{y}.$
وهكذا نحصل على مصفوفة التحويل من الكروي إلى الكارتيزي.
وهنا حيلة قوية: هذه المصفوفات متعامدة، ولذلك فالمعكوس هو فقط المنقول.
للعودة من الكارتيزي إلى الأسطواني أو الكروي، نبدل الصفوف بالأعمدة.
وماذا عن التحويل بين الأسطواني والكروي؟
نمر عبر الكارتيزي كخطوة وسطية: حوّل أولا إلى الكارتيزي، ثم حوّل إلى النظام المطلوب.
بهاتين المصفوفتين ومنقوليهما يمكنك التحويل بين أي زوج من أنظمة الإحداثيات الثلاثة.
نص الشرح الصوتي
بالنسبة إلى الإحداثيات الكروية، نكتب متجه الموضع هكذا: r يساوي r sine theta cosine phi في اتجاه x، زائد r sine theta sine phi في اتجاه y، زائد r cosine theta في اتجاه z. بتطبيق الصيغة نفسها نحصل على e hat r يساوي sine theta cosine phi في اتجاه x، زائد sine theta sine phi في اتجاه y، زائد cosine theta في اتجاه z. و e hat theta يساوي cosine theta cosine phi في اتجاه x، زائد cosine theta sine phi في اتجاه y، ناقص sine theta في اتجاه z. أما e hat phi فيساوي minus sine phi في اتجاه x، زائد cosine phi في اتجاه y. وهكذا نحصل على مصفوفة التحويل من الكروي إلى الكارتيزي. وهنا حيلة قوية: هذه المصفوفات متعامدة، ولذلك فالمعكوس هو فقط المنقول. للعودة من الكارتيزي إلى الأسطواني أو الكروي، نبدل الصفوف بالأعمدة. وماذا عن التحويل بين الأسطواني والكروي؟ نمر عبر الكارتيزي كخطوة وسطية: حوّل أولا إلى الكارتيزي، ثم حوّل إلى النظام المطلوب. بهاتين المصفوفتين ومنقوليهما يمكنك التحويل بين أي زوج من أنظمة الإحداثيات الثلاثة.
5. حل أمثلة متجهات الوحدة المختلطة
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
لنحل مثالين.
المثال الأول: عبّر عن e_x + e_y بالإحداثيات الأسطوانية.
نحتاج إلى التحويل العكسي، لذلك نستخدم المصفوفة المنقولة.
من المنقول:
$\displaystyle e_{x} = \cos \varphi e_{\rho } - \sin \varphi e_{\varphi }.$
وكذلك e_y = sin φ e_ρ + cos φ e_φ.
بجمعهما:
$\displaystyle e_{x} + e_{y} = \left(\cos \varphi + \sin \varphi \right)e_{\rho } + \left(\cos \varphi - \sin \varphi \right)e_{\varphi }.$
المثال الثاني: عبّر عن e_ρ + e_θ بالإحداثيات الكارتيزية.
هذا مهم لأن e_ρ أسطواني، و e_θ كروي؛ أي إنهما من نظامين مختلفين.
الطريقة هي أن نحوّل كل متجه وحدة إلى الكارتيزي على حدة.
$\displaystyle e_{\rho } = \cos \varphi e_{x} + \sin \varphi e_{y}.$
$\displaystyle e_{\theta } = \cos \theta \cos \varphi e_{x} + \cos \theta \sin \varphi e_{y} - \sin \theta e_{z}.$
النتيجة: (1 + cos θ)cos φ e_x + (1 + cos θ)sin φ e_y − sin θ e_z.
الدرس الأساسي: إذا اختلطت متجهات وحدة من أنظمة مختلفة، حوّل كل واحد منها إلى الكارتيزي أولا، ثم اجمع.
نص الشرح الصوتي
لنحل مثالين. المثال الأول: عبّر عن e hat x زائد e hat y بالإحداثيات الأسطوانية. نحتاج إلى التحويل العكسي، لذلك نستخدم المصفوفة المنقولة. من المنقول، e hat x يساوي cosine phi في اتجاه rho، ناقص sine phi في اتجاه phi. و e hat y يساوي sine phi في اتجاه rho، زائد cosine phi في اتجاه phi. بجمعهما نحصل على: e hat x زائد e hat y يساوي cosine phi زائد sine phi مضروبا في e hat rho، زائد cosine phi ناقص sine phi مضروبا في e hat phi. المثال الثاني: عبّر عن e hat rho زائد e hat theta بالإحداثيات الكارتيزية. هذا مهم لأن e hat rho أسطواني، و e hat theta كروي؛ أي إنهما من نظامين مختلفين. الطريقة هي أن نحوّل كل متجه وحدة إلى الكارتيزي على حدة. e hat rho يساوي cosine phi في اتجاه x، زائد sine phi في اتجاه y. و e hat theta يساوي cosine theta cosine phi في اتجاه x، زائد cosine theta sine phi في اتجاه y، ناقص sine theta في اتجاه z. بعد الجمع تصبح النتيجة: واحد زائد cosine theta، مضروبا في cosine phi في اتجاه x، زائد واحد زائد cosine theta، مضروبا في sine phi في اتجاه y، ناقص sine theta في اتجاه z. الدرس الأساسي: إذا اختلطت متجهات وحدة من أنظمة مختلفة، حوّل كل واحد منها إلى الكارتيزي أولا، ثم اجمع.
6. راجع طريقة التحويل
تحدد معاملات القياس المسافة التفاضلية، وتربط مصفوفات التحويل المتعامدة بين قواعد متجهات الوحدة.
لنراجع.
معاملات القياس تعطي الطول الحقيقي لكل تغير وحدوي في الإحداثي.
تذكر أن إحداثي الطول الجديد في كل نظام يعطي معامل القياس للزاوية الجديدة المقابلة.
وتسمح الصيغة e_i = (1/h_i)(∂r/∂q_i) باشتقاق أي مصفوفة تحويل من البداية.
المعكوس هو المنقول فقط، لأن هذه المصفوفات متعامدة.
وللتحويل بين الأسطواني والكروي نمر عبر الكارتيزي.
بهذه الأدوات تستطيع الانتقال بحرية بين أنظمة الإحداثيات الثلاثة، وهذا ضروري جدا في النظرية الكهرومغناطيسية.
نص الشرح الصوتي
لنراجع. معاملات القياس تعطي الطول الحقيقي لكل تغير وحدوي في الإحداثي. تذكر أن إحداثي الطول الجديد في كل نظام يعطي معامل القياس للزاوية الجديدة المقابلة. وصيغة التحويل e hat i يساوي واحدا على h i، مضروبا في المشتقة الجزئية لمتجه الموضع بالنسبة إلى q i، تسمح لك باشتقاق أي مصفوفة تحويل من البداية. المعكوس هو المنقول فقط، لأن هذه المصفوفات متعامدة. وللتحويل بين الأسطواني والكروي نمر عبر الكارتيزي. بهذه الأدوات تستطيع الانتقال بحرية بين أنظمة الإحداثيات الثلاثة، وهذا ضروري جدا في النظرية الكهرومغناطيسية.