#50 Geçici Analiz #50 — Sürülen paralel RLC'de tam cevap

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Doğal cevap ile tam cevabı ayır

   

   Doğal cevap yalnız depolanmış enerjiden doğar

   Bir dış kaynak bağlandığında zorlanmış cevap eklenir

   Tam cevap = zorlanmış cevap + doğal cevap

   Zorlanmış kısım devrenin yerleşeceği değeri söyler

   Doğal kısım bu değere nasıl gidileceğini söyler

   Kaynak hedefi, kutuplar yolu belirler

   Sesli anlatım metni

   Su ana kadar doğal cevabı inceledik. Yani devre sadece depolanmış enerji nedeniyle hareket ediyordu. Tam cevap ise farklıdır. Artık devreyi bir dış kaynak sürüyor. Bu nedenle toplam cevap iki parçadan oluşur: zorlanan cevap ve doğal cevap. Zorlanan parça, kaynak nedeniyle devrenin nereye yerleşmek istediğini söyler. Doğal parça ise devrenin o son değere nasıl gittiğini belirler.

2. 2. Akım basamağıyla sürülen paralel RLC

   

   Paralel RLC'ye I_s DC akım basamağı uygulansın

   Cevap değişkeni: i_L(t)

   t→∞ iken C açık devre gibi davranır

   t→∞ iken L kısa devre gibi davranır

   v(∞)=0 ve i_R(∞)=0

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=I_{s}$

   Son değer zorlanmış cevabın sabit kısmıdır

   Sesli anlatım metni

   D C akım basamağı ile sürülen paralel R L C devresini düşünelim. Gözlem değişkeni olarak indüktör akımı i L of t yi seçelim. Uzun zamanda kapasitör açık devre, indüktör ise kısa devre gibi davranır. Bu durumda düğüm gerilimi sıfıra gider, direnç akımı sıfır olur ve kaynak akımının tamamı indüktörden akar. Dolayısıyla son değer i L of infinity eşittir I s olur.

3. 3. Tam cevap biçimlerini yaz

   

   Önce ortak son değeri x(∞) yaz

   Aşırı:

   $\displaystyle x=x\infty +A₁e^{s₁t}+A₂e^{s₂t}$

   Kritik:

   $\displaystyle x=x\infty +\left(A₁+A₂t\right)e^{-\alpha t}$

   Eksik:

   $\displaystyle x=x\infty +e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \omega _{d}t+B₂\sin \omega _{d}t\right]$

   Kutup türü geçici rejimin biçimini seçer

   Kaynak çoğunlukla x∞ değerini belirler

   Geçici terimler zamanla sıfıra iner

   Sesli anlatım metni

   Temel fikir aslında çok sadedir: önce son değeri koy, sonra o son değerin etrafındaki geçici parçayı ekle. Overdamped durumda x of t, x infinity artı iki gerçek üssel terim şeklindedir. Critical durumda x of t, x infinity artı lineer terim çarpı e üzeri eksi alfa t olur. Underdamped durumda ise x of t, x infinity artı e üzeri eksi alfa t ile çarpılan sinüzoidal terimlerden oluşur. Yani kutup tipi hâlâ transient şeklini belirler; kaynak ise esas olarak son değeri belirler.

4. 4. İki sabiti başlangıç koşullarından bul

   

   İkinci derece cevap iki bağımsız koşul ister

   1. koşul: x(0⁺)

   2. koşul: x′(0⁺)

   Süreklilik yasaları x(0⁺) değerini verir

   KCL veya KVL başlangıç türevini verir

   x∞ → doğru biçim → iki koşul → sabitler

   Bulunan cevapta başlangıç ve son değerleri yeniden denetle

   Sesli anlatım metni

   Katsayıları nasıl buluyoruz? Aslında yine aynı yöntemle: başlangıç koşullarını kullanarak. İkinci derece bir cevapta iki bağımsız koşula ihtiyaç vardır; genellikle x of zero plus ve x prime of zero plus. Bu iki koşul transient parçadaki katsayıları belirler. Yani tam cevap için yol haritası nettir: önce x infinity yi bul, sonra kutuplara göre doğru transient formu seç, en son katsayıları başlangıç koşullarından hesapla.

5. 5. Eksik sönümlü tam cevabı yorumla

   

   Akım sıfırdan farklı bir i_L(∞) değerine yerleşsin

   Karmaşık kutuplar geçici salınım üretir

   $\displaystyle i_{L}=i_{L}\left(\infty \right)+e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \omega _{d}t+B₂\sin \omega _{d}t\right]$

   Dalga biçimi son değerin çevresinde salınır

   ±Ke^−αt zarfları salınımı sınırlar

   t→∞ iken geçici terim sıfır olur

   Sonuç:

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)\to i_{L}\left(\infty \right)=I_{s}$

   Sesli anlatım metni

   Burada underdamped bir tam cevap örneği görüyorsunuz. Akım sıfırdan farklı bir son değere yerleşiyor; fakat oraya doğrudan gitmiyor. Bunun yerine son değerin etrafında salınıyor ve zarf zamanla küçülüyor. İkinci derece step cevabının en önemli sezgisi budur: kaynak varış noktasını belirler, kutuplar ise o noktaya giden yolu belirler.

6. 6. Tam ikinci derece cevabı özetle

   

   Tam cevap = zorlanmış + doğal

   DC basamakta zorlanmış cevap çoğu kez sabit son değerdir

   Kutuplar: aşırı, kritik veya eksik sönümlü geçiş

   İki koşul geçici rejim sabitlerini belirler

   1) x∞ 2) biçim 3) x(0⁺),x′(0⁺)

   Başlangıçta tam cevap, sonda zorlanmış cevap kalır

   Sıradaki: seri RLC ve devre ikiliği

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Tam cevap, zorlanan cevap ile doğal cevabın toplamıdır. D C step problemlerinde zorlanan cevap çoğu zaman kararlı hâl son değerine dönüşür. Geçici parça ise daha önce gördüğümüz ikinci derece davranışlardan birine uyar: overdamped, critical ya da underdamped. Herhangi bir tam cevabı çözerken önce x infinity yi buluruz, sonra kutuplara göre transient formunu seçeriz ve katsayıları başlangıç koşullarından hesaplarız. Bir sonraki derste bu fikri seri R L C formu ve dualite ile birleştireceğiz.