#13 طريقة العقدة الفائقة — المثالان 2 و3

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. مراجعة الطريقة

   

   العقدة الفائقة = KCL للحدود + قيد المصدر

   المثال 2: عقدة عادية + عقدة فائقة

   المثال 3: مصدرا جهد وعقدة علوية واحدة

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق تعلمنا أساس العقدة الفائقة. إذا ربط مصدر جهد بين عقدتين غير مرجعيتين، فنحيط العقدتين والمصدر بحد واحد، ونكتب قانون كيرشوف للتيار على هذا الحد، ثم نضيف معادلة قيد من قطبية المصدر. في هذا الدرس سنحل مثالين. الأول فيه عقدة عادية مع عقدة فائقة، والثاني فيه فرعان بمصدري جهد تحت عقدة علوية واحدة. المنهج نفسه دائماً: حدّد الحدود، احسب التيارات العابرة فقط، ثم اكتب القيود.

2. 2. المثال 2 — الدائرة والحدود

   

   العقدة العادية: V_A

   العقدة الفائقة: V_B ومصدر 6 V وV₁

   المطلوب: V₁

   نص الشرح الصوتي

   هذا هو المثال الثاني. العقدة V A على اليسار متصلة بمقاومة ستة كيلو أوم إلى الأرض، وبمصدر تيار أربعة عشر ملي أمبير إلى أعلى، وبمقاومة اثني عشر كيلو أوم تصلها بالعقدة V B. وبين V B و V واحد يوجد مصدر ستة فولت، موجبه عند V B وسالبه عند V واحد. وعند V واحد توجد مقاومة ثلاثة كيلو أوم إلى الأرض، ومصدر تيار اثنان ملي أمبير إلى الأسفل. إذن العقدة الفائقة تشمل V B والمصدر و V واحد فقط، أما V A فتبقى عقدة عادية خارج الحدود. لذلك سنكتب KCL عند V A، و KCL آخر لحدود العقدة الفائقة، ثم معادلة القيد. والمطلوب هو V واحد.

3. 3. المثال 2 — المعادلات الثلاث

   

   $3V_{\mathrm{A}}-V_{\mathrm{B}}=168$

   $-V_{\mathrm{A}}+V_{\mathrm{B}}+4V_{1}=-24$

   $V_{\mathrm{B}}-V_{1}=6$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالعقدة العادية V A. إذا حسبنا التيارات الخارجة منها نحصل على: V A على ستة كيه، زائد V A ناقص V B على اثني عشر كيه، ناقص أربعة عشر ملي، يساوي صفراً. وبالضرب في اثني عشر كيه نحصل على: ثلاثة V A ناقص V B يساوي مئة وثمانية وستين. الآن نكتب قانون كيرشوف للتيار للعقدة الفائقة. التيارات العابرة للحدود هي: V B ناقص V A على اثني عشر كيه، وزائد V واحد على ثلاثة كيه، وزائد مصدر التيار ذي الاثنين ملي أمبير لأنه يخرج من الحد. إذن المعادلة هي: V B ناقص V A على اثني عشر كيه، زائد V واحد على ثلاثة كيه، زائد اثنان ملي، يساوي صفراً. وبالضرب في اثني عشر كيه نحصل على: سالب V A، زائد V B، زائد أربعة V واحد، يساوي سالب أربعة وعشرين. أما معادلة القيد فهي بسيطة: V B ناقص V واحد يساوي ستة.

4. 4. المثال 2 — النتيجة والتحقق

   

   $V_{\mathrm{A}}-5V_{1}=30$

   $14V_{1}=84$

   $V_{1}=6 V, V_{\mathrm{B}}=12 V, V_{\mathrm{A}}=60 V$

   نص الشرح الصوتي

   الآن نحل المعادلات الثلاث. من معادلة القيد: V B يساوي V واحد زائد ستة. نعوض بذلك في معادلة العقدة الفائقة فنحصل على: V A ناقص خمسة V واحد يساوي ثلاثين. ونعوّض في المعادلة الأولى أيضاً فنحصل على: ثلاثة V A ناقص V واحد يساوي مئة وأربعة وسبعين. ومن المعادلة المختصرة الأولى: V A يساوي خمسة V واحد زائد ثلاثين. نعوّض مرة أخرى: ثلاثة في خمسة V واحد زائد ثلاثين، ناقص V واحد، يساوي مئة وأربعة وسبعين. إذن أربعة عشر V واحد يساوي أربعة وثمانين، ومنها V واحد يساوي ستة فولت. ثم V B يساوي اثني عشر فولت، و V A يساوي ستين فولت. والتحقق واضح: سالب أربعة ملي، زائد اثنان ملي، زائد اثنان ملي، يساوي صفراً.

5. 5. المثال 3 — الدائرة والقيود

   

   $V_{\mathrm{A}}=V_{0}-30, V_{\mathrm{B}}=V_{0}-20$

   تيارات الحدود: 2 kΩ و5 kΩ و4 kΩ

   المطلوب: V₀

   نص الشرح الصوتي

   الآن المثال الثالث. لدينا عقدة علوية مشتركة اسمها V صفر، ومنها ثلاثة فروع إلى خط المرجع السفلي. الفرع الأيسر: مصدر ثلاثين فولت ثم مقاومة اثنين كيلو أوم. والفرع الأوسط: مصدر عشرين فولت ثم مقاومة خمسة كيلو أوم. والفرع الأيمن: مقاومة أربعة كيلو أوم فقط. لأن مصدري الجهد يربطان العقدة العلوية بعقدتين داخليتين، فإن العقدة الفائقة تشمل العقدة العلوية والمصدرين والعقدتين V A و V B. والتيارات التي تعبر الحدود هي فقط تيارات المقاومات الثلاث. والمطلوب هو V صفر.

6. 6. المثال 3 — KCL للعقدة الفائقة

   

   $(V_{0}-30)/2k+(V_{0}-20)/5k+V_{0}/4k=0$

   $10(V_{0}-30)+4(V_{0}-20)+5V_{0}=0$

   $19V_{0}-380=0$

   نص الشرح الصوتي

   أولاً نكتب قيود مصادر الجهد. في الفرع الأيسر، العقدة العلوية أعلى من العقدة الداخلية بثلاثين فولت، إذن V A يساوي V صفر ناقص ثلاثين. وفي الفرع الأوسط: V B يساوي V صفر ناقص عشرين. الآن نطبق قانون كيرشوف للتيار على حدود العقدة الفائقة كلها. التيار في المقاومة اليسرى هو V A على اثنين كيه. والتيار في المقاومة الوسطى هو V B على خمسة كيه. والتيار في المقاومة اليمنى هو V صفر على أربعة كيه. ومجموع هذه التيارات يساوي صفراً. بعد التعويض نحصل على: V صفر ناقص ثلاثين على اثنين كيه، زائد V صفر ناقص عشرين على خمسة كيه، زائد V صفر على أربعة كيه، يساوي صفراً. نضرب الكل في عشرين كيه، فتصبح: عشرة في V صفر ناقص ثلاثين، زائد أربعة في V صفر ناقص عشرين، زائد خمسة V صفر، يساوي صفراً. وبفك الحدود نحصل على: تسعة عشر V صفر ناقص ثلاثمئة وثمانين يساوي صفراً.

7. 7. المثال 3 — النتيجة والتحقق

   

   $V_{0}=20 V$

   $V_{\mathrm{A}}=-10 V, V_{\mathrm{B}}=0 V$

   −5 mA+0+5 mA=0

   نص الشرح الصوتي

   إذن الجواب مباشر: تسعة عشر V صفر يساوي ثلاثمئة وثمانين، ومنها V صفر يساوي عشرين فولت. والآن نحسب جهود العقد الداخلية من قيود المصادر. V A يساوي عشرين ناقص ثلاثين، أي سالب عشرة فولت. و V B يساوي عشرين ناقص عشرين، أي صفر فولت. والتحقق في هذا المثال جميل جداً. التيار في مقاومة الاثنين كيلو أوم يساوي سالب عشرة على اثنين كيه، أي سالب خمسة ملي أمبير. والتيار في مقاومة الخمسة كيلو أوم يساوي صفراً. والتيار في مقاومة الأربعة كيلو أوم يساوي عشرين على أربعة كيه، أي موجب خمسة ملي أمبير. سالب خمسة ملي، زائد صفر، زائد موجب خمسة ملي، يساوي صفراً. صحيح.

8. 8. ملخص الطريقة

   

   1) احسب تيارات الحدود فقط

   2) كل مصدر جهد داخلي يضيف قيداً

   3) لكل عقدة خارجية معادلة KCL مستقلة

   نص الشرح الصوتي

   هذان المثالان يوضحان شكل طريقة العقدة الفائقة. في المثال الثاني احتجنا معادلة KCL عادية خارج الحدود، ومعادلة أخرى لحدود العقدة الفائقة. وفي المثال الثالث كتبنا قيود المصادر أولاً، ثم حلت معادلة حدود واحدة الدائرة كلها. تذكّر ثلاث قواعد: احسب فقط التيارات العابرة للحدود، وكل مصدر جهد داخل الحدود يضيف قيداً واحداً، وأي عقدة تبقى خارج الحدود تحتاج KCL الخاصة بها. في الدرس القادم ننتقل إلى العقد الفائقة مع المصادر المعتمدة.

الفيديو المصدر: طريقة العقدة الفائقة - المثالان 2 و3 | نظرية الدوائر #13 (7:11)