#39 التحليل العابر #39 — توصيل المكثفات والملفات والشروط الابتدائية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. لماذا نحتاج التوصيلات والشروط الابتدائية؟

   

   من عناصر منفردة إلى دوائر عابرة كاملة

   نوحد عدة مكثفات في C_eq

   ونوحد الملفات غير المقترنة في L_eq

   ثم نحدد الحالة قبل التبديل عند 0⁻

   الاستمرارية تنقل متغير الحالة إلى 0⁺

   الدائرة الجديدة تحدد الميل الابتدائي

   التوصيل الصحيح والشرط الابتدائي أساس الاستجابة العابرة

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق أخذنا صندوق أدوات الإشارات: الخطوة، النبضة، المنحدر، والأشكال الأسية. الآن نبدأ استخدامها مع عناصر تخزين الطاقة. هدف هذا الدرس بسيط جدا: إذا رأيت أكثر من مكثف أو أكثر من ملف، كيف تختصرها؟ وإذا تغيّر المفتاح عند الزمن صفر، ما القيم التي يجوز أن تقفز، وما القيم التي لا يجوز أن تقفز؟ هذه الأسئلة هي الباب الحقيقي لتحليل الاستجابة العابرة في دوائر R C و R L.

2. 2. توصيل المكثفات

   

   مكافئات المكثفات المثالية

   في التوالي تكون الشحنة q نفسها

   $1/C_{\mathrm{e}}q=1/C_{1}+1/C_{2}$

   لعنصرين: C_eq=C₁C₂/(C₁+C₂)

   في التوازي يكون الجهد v نفسه

   $C_{\mathrm{e}}q=C_{1}+C_{2}$

   قواعد المكثفات عكس قواعد المقاومات

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالمكثفات. انتبه هنا لأن المكثف يعكس إحساسنا المعتاد مع المقاومات. عندما يكون المكثفان على التوالي، فالمكافئ لا يساوي الجمع المباشر. نكتب واحد على C المكافئ يساوي واحد على C واحد زائد واحد على C اثنين. لذلك، إذا كان C واحد يساوي اثنين ميكرو فاراد، و C اثنان يساوي ثلاثة ميكرو فاراد، فالمكافئ المتسلسل يساوي ستة على خمسة، أي واحد فاصلة اثنين ميكرو فاراد. أما في التوازي فالأمر أسهل: C المكافئ يساوي C واحد زائد C اثنين، أي خمسة ميكرو فاراد.

3. 3. تقسيم الجهد والتيار في المكثفات

   

   شحنة متساوية في التوالي وجهد متساو في التوازي

   في التوالي: V₁=q/C₁ و V₂=q/C₂

   $V_{1}=V_{\mathrm{s}}\cdot C_{2}/(C_{1}+C_{2})$

   السعة الأصغر تحمل الجهد الأكبر

   في التوازي: i_k=C_k·dv/dt

   $I_{1}=I_{\mathrm{T}}\cdot C_{1}/(C_{1}+C_{2})$

   السعة الأكبر تحمل التيار الأكبر

   نص الشرح الصوتي

   الآن أهم فخ في هذا الجزء: تقسيم الجهد على مكثفات متسلسلة يكون عكسيا. لماذا؟ لأن الشحنة نفسها تمر على المكثفين المتسلسلين، والجهد يساوي Q على C. إذن المكثف الأصغر يأخذ جهدا أكبر. الصيغة تقول: V واحد يساوي V المصدر مضروبا في C اثنين على C واحد زائد C اثنين. لاحظ أن في البسط يوجد المكثف الآخر. إذا كان المصدر اثني عشر فولت، و C واحد اثنين ميكرو فاراد، و C اثنان ثلاثة ميكرو فاراد، فإن V واحد يساوي اثني عشر في ثلاثة على خمسة، أي سبعة فاصلة اثنين فولت.

4. 4. توصيل الملفات

   

   ملفات مثالية غير مقترنة مغناطيسيا: M=0

   في التوالي: L_eq=L₁+L₂

   يمر التيار نفسه في التوالي

   يظهر الجهد نفسه في التوازي

   $1/L_{\mathrm{e}}q=1/L_{1}+1/L_{2}$

   لعنصرين: L_eq=L₁L₂/(L₁+L₂)

   الاقتران المغناطيسي يضيف الحث المتبادل

   نص الشرح الصوتي

   أما الملفات فتتصرف هنا مثل المقاومات تقريبا. الملفات على التوالي تجمع مباشرة: L المكافئ يساوي L واحد زائد L اثنين. فإذا كان لدينا أربعة ملي هنري وستة ملي هنري، فالمكافئ المتسلسل عشرة ملي هنري. وفي التوازي نستخدم المجموع العكسي: واحد على L المكافئ يساوي واحد على L واحد زائد واحد على L اثنين، فيكون الناتج اثنين فاصلة أربعة ملي هنري. احفظها كزوج متعاكس: المكثفات في التوالي مثل مقاومات على التوازي، والملفات في التوالي مثل مقاومات على التوالي.

5. 5. الاستمرارية عند التبديل

   

   لا تقفز متغيرات الحالة المخزنة للطاقة

   $v_{\mathrm{C}}(0⁻)=v_{\mathrm{C}}(0⁺)$

   قفزة v_C تتطلب تيارا لا نهائيا من i=C·dv/dt

   $i_{\mathrm{L}}(0⁻)=i_{\mathrm{L}}(0⁺)$

   قفزة i_L تتطلب جهدا لا نهائيا من v=L·di/dt

   قد يقفز i_C و v_L

   قد تكون dv_C/dt و di_L/dt غير مستمرة

   نص الشرح الصوتي

   نصل الآن إلى قاعدة الشروط الابتدائية. المكثف يخزن الطاقة في الجهد، ولذلك جهد المكثف لا يتغير لحظيا. نكتب V C عند صفر ناقص يساوي V C عند صفر موجب. لو حاول الجهد أن يقفز فجأة، فالمشتقة d V على d t تصبح لا نهائية، وبما أن التيار I يساوي C في d V على d t، فهذا يعني تيارا لا نهائيا، وهو غير فيزيائي. وبنفس المنطق، الملف يخزن الطاقة في التيار، لذلك تيار الملف لا يتغير لحظيا: I L عند صفر ناقص يساوي I L عند صفر موجب. لكن المشتقات نفسها، مثل d V على d t أو d I على d t، يمكن أن تتغير فجأة.

6. 6. طريقة التبديل ذات الخطوات الثلاث

   

   نجد الشروط الابتدائية بصورة منظمة

   1) نحل دائرة t<0 في حالة DC المستقرة

   في DC يكون C مفتوحا و L قصرا

   نجد v_C(0⁻) و i_L(0⁻)

   2) ننقل القيم إلى 0+ بالاستمرارية

   $3) نحل دائرة t=0+ الجديدة$

   dv_C/dt=i_C/C و di_L/dt=v_L/L

   نص الشرح الصوتي

   طريقة تحليل المفتاح لها ثلاث خطوات، وسنستخدمها في الدروس القادمة كثيرا. الخطوة الأولى: قبل التغيير، أي عند t أصغر من صفر، حل الدائرة في الحالة المستقرة للتيار المستمر. في هذه الحالة المكثف يصبح دائرة مفتوحة، والملف يصبح قصرا. هكذا نجد V C عند صفر ناقص أو I L عند صفر ناقص. الخطوة الثانية: طبّق الاستمرارية، فتنتقل هذه القيمة كما هي إلى صفر موجب. الخطوة الثالثة: ارسم الدائرة الجديدة بعد حركة المفتاح مباشرة، واستعمل قيمة المكثف أو الملف كقيمة معروفة، ثم احسب التيار أو الجهد والمشتقة الابتدائية.

7. 7. مثال تبديل RC

   

   $V_{\mathrm{s}}=12 V ,\quad R=4 k\Omega ,\quad C=2 µF$

   $يغلق المفتاح عند t=0 والمكثف غير مشحون$

   $v_{\mathrm{C}}(0⁻)=v_{\mathrm{C}}(0⁺)=0 V$

   $عند t=0+ يقع جهد 12 V كله على المقاومة$

   $i(0⁺)=12/4000$

   i(0⁺)=3 mA

   dv_C/dt(0⁺)=3 mA/2 µF=1500 V/s

   نص الشرح الصوتي

   لنطبق هذا على مثال R C بسيط. لدينا مصدر اثنا عشر فولت، مقاومة أربعة كيلو أوم، ومكثف اثنان ميكرو فاراد. المفتاح كان مفتوحا قبل الزمن صفر، ثم يغلق عند الزمن صفر. قبل الإغلاق لا يوجد تيار، إذن جهد المكثف عند صفر ناقص يساوي صفر. بالاستمرارية، جهد المكثف عند صفر موجب يساوي أيضا صفر فولت. الآن بعد الإغلاق مباشرة، يتصرف المكثف كأنه قصر لأن جهده صفر. إذن كل الاثني عشر فولت تقع على المقاومة. التيار الابتدائي يساوي اثني عشر على أربعة آلاف، أي ثلاثة ملي أمبير. ومعدل تغير الجهد يساوي I على C، أي ثلاثة ملي أمبير على اثنين ميكرو فاراد، وهذا يساوي ألفا وخمسمئة فولت في الثانية.

8. 8. مثال تبديل RL

   

   $V_{\mathrm{s}}=24 V ,\quad R=8 \Omega ,\quad L=2 H$

   المفتاح مغلق طويلا فيكون L قصرا

   $i_{\mathrm{L}}(0⁻)=i_{\mathrm{L}}(0⁺)=24/8=3 A$

   بعد فصل المصدر يستمر التيار عبر R

   v_L(0⁺)=−iR=−24 V

   di_L/dt(0⁺)=v_L/L

   di_L/dt(0⁺)=−12 A/s

   نص الشرح الصوتي

   الآن مثال R L. لدينا مصدر أربعة وعشرون فولت، مقاومة ثمانية أوم، وملف اثنان هنري. قبل الزمن صفر كان المفتاح مغلقا زمنا طويلا، لذلك في الحالة المستقرة يصبح الملف قصرا. التيار في الملف عند صفر ناقص يساوي أربعة وعشرين على ثمانية، أي ثلاثة أمبير. عند الزمن صفر يفتح المفتاح وينفصل المصدر، لكن تيار الملف لا يستطيع أن يقفز إلى الصفر. إذن I L عند صفر موجب ما زال ثلاثة أمبير. هذا التيار يمر خلال المقاومة، فيسقط عليها أربعة وعشرون فولت، والقطبية على الملف تكون سالبة بالنسبة لاتجاه التيار المختار. لذلك V L عند صفر موجب يساوي سالب أربعة وعشرين فولت، ومعدل تغير التيار يساوي V L على L، أي سالب أربعة وعشرين على اثنين، ويساوي سالب اثني عشر أمبير في الثانية.

9. 9. ملخص التوصيلات والشروط الابتدائية

   

   الاستعداد للتحليل العابر

   مكثفات التوالي وملفات التوازي: مجموع عكسي

   مكثفات التوازي وملفات التوالي: مجموع مباشر

   v_C و i_L مستمران عند التبديل

   نحل أولا حالة DC عند 0⁻

   ثم نطبق الاستمرارية ونحل دائرة 0+

   الشروط الابتدائية الصحيحة أساس الاستجابة العابرة الكاملة

   نص الشرح الصوتي

   نلخص الدرس في خمس جمل. المكثفات على التوالي تجمع بالمقلوب، وعلى التوازي تجمع مباشرة. تقسيم الجهد على المكثفات المتسلسلة عكسي: المكثف الأصغر يأخذ جهدا أكبر. الملفات بالعكس تقريبا: على التوالي تجمع مباشرة، وعلى التوازي تجمع بالمقلوب. عند لحظة تبديل المفتاح، جهد المكثف لا يقفز، وتيار الملف لا يقفز. وفي أي مسألة مفتاح، اتبع الخطوات الثلاث: حل قبل التغيير، ثم طبّق الاستمرارية، ثم حل الدائرة الجديدة عند صفر موجب. في الدرس التالي نستخدم هذا لنكتب أول استجابة كاملة: التفريغ الطبيعي لدائرة R C.