النظرية الكهرومغناطيسية · توزيعات الشحنة المستمرة والمجال الكهربائي

#09 كثافات الشحنة الخطية والسطحية والحجمية ومجالات الخط اللانهائي والصفيحة اللانهائية والحلقة المشحونة

انتقل من الشحنات النقطية إلى التوزيعات المستمرة، واستعمل التناظر لحساب مجالات الخط والصفيحة والحلقة.

السؤال

لقطة درس تعرض توزيعات الشحنة المستمرة وعلاقات المجال الكهربائي الناتجة من التناظر. — تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.

ابن المجال الكهربائي لتوزيعات الشحنة المستمرة من عناصر الشحنة التفاضلية والتناظر، واستنتج نتائج الخط والصفيحة اللانهائيين والحلقة المشحونة ثم اختبر الحالات الحدية.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من الشحنة النقطية إلى التوزيع المستمر
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
في الدرس السابق درسنا قانون كولوم والمجال الكهربائي الناتج من الشحنات النقطية.
استخدمنا مبدأ التراكب لجمع مساهمات عدة شحنات.
لكن الشحنات في التطبيقات الحقيقية لا تكون دائما نقاطا معزولة.
سلك مشحون، ولوح معدني، وسحابة من الإلكترونات، كلها أمثلة على توزيعات مستمرة للشحنة.
في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب المجال الكهربائي عندما تنتشر الشحنة على خط، أو على سطح، أو داخل حجم.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق درسنا قانون كولوم والمجال الكهربائي الناتج من الشحنات النقطية. استخدمنا مبدأ التراكب لجمع مساهمات عدة شحنات. لكن الشحنات في التطبيقات الحقيقية لا تكون دائما نقاطا معزولة. سلك مشحون، ولوح معدني، وسحابة من الإلكترونات، كلها أمثلة على توزيعات مستمرة للشحنة. في هذا الدرس سنتعلم كيف نحسب المجال الكهربائي عندما تنتشر الشحنة على خط، أو على سطح، أو داخل حجم.
2. عرّف كثافات الشحنة الثلاث وتكاملاتها
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
لدينا ثلاثة أنواع رئيسية من توزيعات الشحنة المستمرة، ولكل نوع كثافة شحنة خاصة به.
أولا: كثافة الشحنة الخطية، ρ_L.
وهي تصف الشحنة المنتشرة على سلك رفيع أو خط.
وحدتها كولوم لكل متر.
الشحنة الكلية على الخط: Q = ∫ₗ ρ_L dl.
ثانيا: كثافة الشحنة السطحية، ρ_S.
وهي تصف الشحنة المنتشرة على سطح مستو أو منحن.
وحدتها كولوم لكل متر مربع.
الشحنة الكلية على السطح: Q = ∫ₛ ρ_S dS.
ثالثا: كثافة الشحنة الحجمية، ρ_v.
وهي تصف الشحنة التي تملأ منطقة ثلاثية الأبعاد.
وحدتها كولوم لكل متر مكعب.
الشحنة الكلية في الحجم: Q = ∫ᵥ ρ_v dv.
لإيجاد المجال الكهربائي من أي توزيع، نستخدم فكرة بسيطة وقوية: نعامل كل قطعة صغيرة من الشحنة dQ كأنها شحنة نقطية.
نكتب مساهمتها في المجال باستخدام قانون كولوم، ثم نكامل على التوزيع كله.
وهكذا نحصل على ثلاث صيغ تكاملية: للخط نستعمل ρ_L dl، وللسطح نستعمل ρ_S dS، وللحجم نستعمل ρ_v dv.
هذه الصيغ هي الأساس الذي سنبني عليه بقية الدرس.
نص الشرح الصوتي
لدينا ثلاثة أنواع رئيسية من توزيعات الشحنة المستمرة، ولكل نوع كثافة شحنة خاصة به. أولا: كثافة الشحنة الخطية، rho L. وهي تصف الشحنة المنتشرة على سلك رفيع أو خط. وحدتها كولوم لكل متر. والشحنة الكلية على الخط تساوي تكامل rho L d l على طول الخط. ثانيا: كثافة الشحنة السطحية، rho S. وهي تصف الشحنة المنتشرة على سطح مستو أو منحن. وحدتها كولوم لكل متر مربع. والشحنة الكلية تساوي تكامل rho S d S على السطح. ثالثا: كثافة الشحنة الحجمية، rho v. وهي تصف الشحنة التي تملأ منطقة ثلاثية الأبعاد. وحدتها كولوم لكل متر مكعب. والشحنة الكلية تساوي تكامل rho v d v على الحجم. لإيجاد المجال الكهربائي من أي توزيع، نستخدم فكرة بسيطة وقوية: نعامل كل قطعة صغيرة من الشحنة d Q كأنها شحنة نقطية. نكتب مساهمتها في المجال باستخدام قانون كولوم، ثم نكامل على التوزيع كله. وهكذا نحصل على ثلاث صيغ تكاملية: للخط نستعمل rho L d l، وللسطح نستعمل rho S d S، وللحجم نستعمل rho v d v. هذه الصيغ هي الأساس الذي سنبني عليه بقية الدرس.
3. استنتج مجال خط الشحنة اللانهائي
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
لنطبق صيغة الشحنة الخطية على حالة مهمة: خط شحنة لا نهائي على محور z، بكثافة منتظمة ρ_L.
نريد المجال الكهربائي عند نقطة P تبعد مسافة عمودية ρ عن محور z.
نأخذ عنصرا صغيرا dl عند الموضع z′ على الخط.
شحنة العنصر: dQ = ρ_L dz′.
متجه R من هذا العنصر إلى النقطة P له مركبتان: ρ في الاتجاه الشعاعي، و z ناقص z′ في اتجاه z.
علاقة المسافة:
$\displaystyle R² = \rho ² + \left(z - z′\right)².$
هنا تظهر قوة التناظر.
لكل عنصر عند z′ موجب يوجد عنصر مماثل عند z′ سالب.
المركبات الشعاعية تتجمع، أما مركبات z فتتلاشى.
لذلك المجال الكلي شعاعي فقط:
$\displaystyle E = E_{\rho } e_{\rho }.$
بعد التكامل نحصل على E = [ρ_L/(2πε₀ρ)]e_ρ.
هذه نتيجة مهمة جدا.
مجال الخط المشحون اللانهائي يتناقص مثل واحد على ρ، وليس مثل واحد على ρ تربيع كما في الشحنة النقطية.
واتجاه المجال شعاعي إلى الخارج، عموديا على السلك.
نص الشرح الصوتي
لنطبق صيغة الشحنة الخطية على حالة مهمة: خط شحنة لا نهائي على محور z، بكثافة منتظمة rho L. نريد المجال الكهربائي عند نقطة P تبعد مسافة عمودية rho عن محور z. نأخذ عنصرا صغيرا d l عند الموضع z prime على الخط. هذا العنصر يحمل شحنة d Q تساوي rho L d z prime. متجه R من هذا العنصر إلى النقطة P له مركبتان: rho في الاتجاه الشعاعي، و z ناقص z prime في اتجاه z. إذن R تربيع يساوي rho تربيع زائد z ناقص z prime تربيع. هنا تظهر قوة التناظر. لكل عنصر عند z prime موجب يوجد عنصر مماثل عند z prime سالب. المركبات الشعاعية تتجمع، أما مركبات z فتتلاشى. لذلك المجال الكلي له مركبة rho فقط. لحساب التكامل نستعمل تعويضا مثلثيا، وبعد التبسيط والتكامل من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية نحصل على نتيجة جميلة: E يساوي rho L مقسوما على اثنين pi epsilon zero rho، في اتجاه a rho. هذه نتيجة مهمة جدا. مجال الخط المشحون اللانهائي يتناقص مثل واحد على rho، وليس مثل واحد على rho تربيع كما في الشحنة النقطية. واتجاه المجال شعاعي إلى الخارج، عموديا على السلك.
4. احسب مجال الصفيحة اللانهائية
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
الآن نحسب المجال الناتج من صفيحة شحنة لا نهائية في مستوى x y، بكثافة سطحية منتظمة ρ_S.
نريد المجال عند نقطة P على ارتفاع h فوق الصفيحة.
نأخذ عنصرا سطحيا صغيرا dS عند الإحداثيين ρ و φ على الصفيحة.
شحنة العنصر: dQ = ρ_S ρ dρ dφ.
متجه R من dS إلى P له مركبة أفقية ومركبة رأسية h في اتجاه z.
مرة أخرى ينقذنا التناظر: لكل عنصر عند زاوية φ يوجد عنصر عند φ زائد π، فتتلاشى المركبات الأفقية.
تبقى فقط مركبة z.
نكتب التكامل في الإحداثيات الأسطوانية، ونكامل ρ من صفر إلى ما لا نهاية و φ من صفر إلى اثنين π.
مجال الصفيحة اللانهائية:
$\displaystyle E = \left[\frac{\rho _{S}}{2\varepsilon ₀}\right]e_{z}.$
هذه النتيجة مدهشة: مجال الصفيحة اللانهائية ثابت، ولا يعتمد على البعد عن الصفيحة.
بين صفيحتي المكثف E = ρ_S/ε₀، وتتلاشى المجالات خارجهما تقريبا.
نص الشرح الصوتي
الآن نحسب المجال الناتج من صفيحة شحنة لا نهائية في مستوى x y، بكثافة سطحية منتظمة rho S. نريد المجال عند نقطة P على ارتفاع h فوق الصفيحة. نأخذ عنصرا سطحيا صغيرا d S عند الإحداثيين rho و phi على الصفيحة. يحمل هذا العنصر شحنة d Q تساوي rho S مضروبا في rho d rho d phi. متجه R من d S إلى P له مركبة أفقية ومركبة رأسية h في اتجاه z. مرة أخرى ينقذنا التناظر: لكل عنصر عند زاوية phi يوجد عنصر عند phi زائد pi، فتتلاشى المركبات الأفقية. تبقى فقط مركبة z. نكتب التكامل في الإحداثيات الأسطوانية، ونكامل rho من صفر إلى ما لا نهاية و phi من صفر إلى اثنين pi. النتيجة: E يساوي rho S مقسوما على اثنين epsilon zero، في الاتجاه العمودي على الصفيحة. هذه النتيجة مدهشة: مجال الصفيحة اللانهائية ثابت، ولا يعتمد على البعد عن الصفيحة. في المكثف ذي الصفيحتين المتوازيتين، إذا كانت الشحنتان متساويتين ومتعاكستين، تتجمع المجالات بين الصفيحتين فتصبح E تساوي rho S على epsilon zero، وتتلاغى تقريبا خارج الصفيحتين.
5. أوجد المجال المحوري للحلقة المشحونة
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
لنأخذ مثالا مهما آخر: حلقة دائرية نصف قطرها a تحمل كثافة شحنة خطية منتظمة ρ_L.
الحلقة تقع في مستوى x y ومركزها عند الأصل.
نريد المجال عند نقطة P على محور z، على ارتفاع h.
لعنصر الحلقة dl = a dφ وdQ = ρ_L a dφ.
المسافة ثابتة لكل عنصر:
$\displaystyle R = \sqrt{a² + h²}.$
متجه R من العنصر إلى P له مركبة أفقية ومركبة رأسية h في اتجاه z.
بسبب التناظر، المركبات الأفقية من العناصر المتقابلة تتلاشى، وتبقى فقط مركبة z.
بالتكامل حول الحلقة:
$\displaystyle E = \left[\frac{\rho _{L} a h}{2\varepsilon ₀\left(h² + a²\right)^{(}3/2)}\right]e_{z}.$
هناك فحصان مهمان للنتيجة.
عندما h ≫ a تصبح E → Q/(4πε₀h²).
عند مركز الحلقة h = 0 وE = 0.
نص الشرح الصوتي
لنأخذ مثالا مهما آخر: حلقة دائرية نصف قطرها a تحمل كثافة شحنة خطية منتظمة rho L. الحلقة تقع في مستوى x y ومركزها عند الأصل. نريد المجال عند نقطة P على محور z، على ارتفاع h. كل عنصر صغير من الحلقة طوله d l يساوي a d phi، ويحمل شحنة d Q تساوي rho L a d phi. المسافة من أي عنصر إلى P هي R تساوي الجذر التربيعي لـ a تربيع زائد h تربيع، وهي نفسها لكل عناصر الحلقة. متجه R من العنصر إلى P له مركبة أفقية ومركبة رأسية h في اتجاه z. بسبب التناظر، المركبات الأفقية من العناصر المتقابلة تتلاشى، وتبقى فقط مركبة z. بالتكامل حول الحلقة من صفر إلى اثنين pi نحصل على: E يساوي rho L في a في h، مقسوما على اثنين epsilon zero في الكمية h تربيع زائد a تربيع، مرفوعة إلى القوة ثلاثة على اثنين، كله في اتجاه z. هناك فحصان مهمان للنتيجة. عندما يكون h أكبر بكثير من a، تبدو الحلقة مثل شحنة نقطية، وتتحول الصيغة إلى Q على أربعة pi epsilon zero h تربيع. وعندما h يساوي صفرا، أي عند مركز الحلقة، يصبح المجال صفرا كما يفرض التناظر.
6. راجع نتائج التناظر والحالات الحدية
تُجمع المساهمات التفاضلية بالتكامل، ويحدد التناظر مركبات المجال التي تتلاشى.
لنلخص النتائج الثلاث الأساسية.
الخط اللانهائي: E = ρ_L/(2πε₀ρ)، ويتناقص مثل 1/ρ.
الصفيحة اللانهائية: E = ρ_S/(2ε₀)، وهو ثابت.
محور الحلقة المشحونة:
$\displaystyle E = \rho _{L} a h/\left[2\varepsilon ₀\left(h² + a²\right)^{(}3/2)\right].$
الفكرة المشتركة في كل الحالات هي استغلال التناظر أولا لتحديد المركبات التي تتلاشى، ثم تكامل المركبة الباقية فقط.
في الدرس القادم سندخل متجه كثافة الفيض الكهربائي D، وهو الطريق المباشر إلى قانون غاوس.
نص الشرح الصوتي
لنلخص النتائج الثلاث الأساسية. الخط المشحون اللانهائي يعطي مجالا يتناقص مثل واحد على rho: E يساوي rho L على اثنين pi epsilon zero rho. الصفيحة المشحونة اللانهائية تعطي مجالا ثابتا: E يساوي rho S على اثنين epsilon zero. والحلقة المشحونة تعطي مجالا على محورها: E يساوي rho L a h على اثنين epsilon zero في h تربيع زائد a تربيع للقوة ثلاثة على اثنين. الفكرة المشتركة في كل الحالات هي استغلال التناظر أولا لتحديد المركبات التي تتلاشى، ثم تكامل المركبة الباقية فقط. في الدرس القادم سندخل متجه كثافة الفيض الكهربائي D، وهو الطريق المباشر إلى قانون غاوس.