#38 Temel Sinyaller #38 — Basamak, darbe, rampa ve devre dalga biçimleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Birim basamak ve zaman kaydırma

   

   Birim basamak u(t): temel anahtarlama sinyali

   t<0 için u(t)=0

   t≥0 için u(t)=1

   u(t−a), t=a anında açılır

   Fiziksel yorum: DC kaynağını bağlayan anahtar

   Genlik ölçekleme: K·u(t)

   Devre girişleri kaydırılmış basamaklarla kurulabilir

   Sesli anlatım metni

   Birim basamak fonksiyonu, u t şeklinde yazılır ve devre analizindeki en temel anahtarlama sinyalidir. Negatif zamanlarda sıfıra, sıfır ve sonrasında bire eşittir. Fiziksel olarak, t eşittir sıfır anında bir anahtarın kapanmasını ve D C kaynağın devreye girmesini temsil eder. Geciktirilmiş basamak, u t eksi a, sıfır yerine t eşittir a anında açılır. Basamak fonksiyonu o kadar temeldir ki, neredeyse her devre girişi bu fonksiyon kullanılarak tanımlanabilir.

2. 2. Basamak işlemleri ve dikdörtgen puls

   

   Kaydırma, ölçekleme ve tersleme

   u(t−1)−u(t−3)

   t<1: 0

   1≤t<3: 1

   t≥3: 0

   Genel puls: u(t−a)−u(t−b)

   Puls genişliği b−a'dır

   Sesli anlatım metni

   Basamak fonksiyonunu ölçekleyip kaydırarak herhangi bir dikdörtgen dalga biçimi oluşturabiliriz. 3 çarpı u t, yüksekliği üç olan bir basamak verir. Dikdörtgen bir puls, iki kaydırılmış basamağın farkıdır: u t eksi 1, eksi u t eksi 3, t eşittir 1’den 3’e kadar yüksekliği bir olan bir puls oluşturur. Zamanı sıkıştırabiliriz: u 2t eksi 1, t eşittir yarımda açılır. Zaman tersleme de yapabiliriz: u eksi t, tüm negatif zamanlar için birdir. Gerçek devre girişlerini matematiksel olarak böyle ifade ederiz.

3. 3. Birim darbe ve ayıklama

   

   Birim darbe δ(t): anlık etki modeli

   İdeal limit: genişlik→0, yükseklik→∞

   Toplam alan:

   $\displaystyle \int \delta \left(t\right)\mathrm{d}t=1$

   δ(t)=du(t)/dt

   $\displaystyle \int f\left(t\right)\delta \left(t-t₀\right)\mathrm{d}t=f\left(t₀\right)$

   Ayıklama, sinyali t₀ anında örnekler

   δ(t) sıradan sonlu bir nokta değeri değildir

   Sesli anlatım metni

   Birim darbe fonksiyonu delta t, matematiksel bir idealizasyondur. Genişliği delta, yüksekliği 1 bölü delta olan bir dikdörtgen puls düşünün, alanı her zaman birdir. Pulsu daralttıkça ve yükseltikçe, limitte darbe fonksiyonunu elde ederiz: sıfır genişlik, sonsuz yükseklik, birim alan. Darbe, basamak fonksiyonunun türevidir: d u bölü d t eşittir delta t. En güçlü özelliği ayıklama özelliğidir: f t çarpı delta t eksi t sıfır’ın integrali, f’in t sıfır’daki değerini çıkarır.

4. 4. Rampa–basamak–darbe zinciri

   

   Birim rampa:

   $\displaystyle r\left(t\right)=t\cdot u\left(t\right)$

   t<0 için sıfır

   t≥0 için eğim 1

   dr(t)/dt=u(t)

   du(t)/dt=δ(t)

   Ters yönde integrasyon uygulanır

   ∫δ→u ve ∫u→r

   Sesli anlatım metni

   Birim rampa fonksiyonu, r t eşittir t çarpı u t şeklinde tanımlanır. Sıfırdan başlar ve eğimi bir olan doğrusal bir artış gösterir. Rampa, basamak fonksiyonunun integralidir. Bu bize türevle bağlanan güzel bir zincir verir: rampanın türevi basamaktır, basamağın türevi darbedir. Ters yönde integrasyon ile: darbenin integrali basamağı, basamağın integrali rampayı verir. Bu zincir, rampa, basamak, darbe, devre analizi boyunca karşımıza çıkacaktır.

5. 5. Üstel devre cevapları

   

   Birinci derece cevabın temel şekli

   Azalma: A·e⁽−t/τ)u(t)

   t=τ:

   $\displaystyle A\cdot e^{(}-1)=0,368A$

   Yükselme: A[1−e⁽−t/τ)]u(t)

   t=τ: 0,632A

   t=5τ:

   $\displaystyle e^{(}-5)=0,00674$

   5τ sonrası hata yüzde birden küçüktür

   Sesli anlatım metni

   Azalan üstel fonksiyon, A çarpı e üzeri eksi t bölü tau çarpı u t, her birinci derece doğal cevabın TAM şeklidir. Tau zaman sabitidir. t eşittir tau’da sinyal başlangıç değerinin yüzde 36,8’ine düşer. İki tau’da yüzde 13,5’e iner. Beş tau kuralı der ki: beş zaman sabitinden sonra sinyal yüzde birin altındadır, pratik olarak sıfırdır. Yükselen tamamlayıcısı, A çarpı 1 eksi e üzeri eksi t bölü tau, sıfırdan başlayıp A’ya yaklaşır. t eşittir tau’da yüzde 63,2’ye ulaşır. Azalan fonksiyon Ar Si deşarj şekli, yükselen fonksiyon Ar Si şarj şeklidir.

6. 6. Sinüzoid ve sönümlü salınım

   

   Genel sinüzoid: a sinωt+b cosωt

   Genlik: √(a²+b²)

   Sönümlü şekil: e⁽−αt)sin(ωt)u(t)

   Zarflar: ±e⁽−αt)

   α>0 ise salınım zamanla azalır

   Frekans ω, sönüm hızı α

   Az sönümlü RLC cevabı önce çınlar, sonra yerleşir

   Sesli anlatım metni

   Genel bir sinüzoidal, a sinüs omega t artı b kosinüs omega t şeklinde yazılır ve bu a kare artı b karenin karekökü çarpı kosinüs omega t eksi teta’ya eşittir. Sönümlü sinüzoidal, e üzeri eksi t bölü tau çarpı sinüs omega t çarpı u t, üstel azalma ile salınımı birleştirir. Zarf eğrisi, artı eksi e üzeri eksi alfa t, salınımı sınırlar. Zaman ilerledikçe salınımlar azalan zarf içinde söner. Bu tam olarak az sönümlü Ar El Si devre cevabının şeklidir, yerleşmeden önce salınır.

7. 7. Parçalı doğrusal dalga ayrıştırma

   

   Her eğim parçasını kaydırılmış rampalarla kur

   İlk eğim +1: r(t)

   t=1'de eğim +1'den −1'e döner

   Eğim değişimi −2: −2r(t−1)

   t=2'de eğim −1'den 0'a döner

   Eğim değişimi +1: +r(t−2)

   $\displaystyle v\left(t\right)=r\left(t\right)-2r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$

   Sesli anlatım metni

   Herhangi bir parçalı doğrusal dalga biçimi, kaydırılmış rampa fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir. Temel teknik şudur: ilk yükselen parça için r t ile başlayın. Her köşe veya eğim değişiminde, eğimi ayarlamak için kaydırılmış bir rampa ekleyin. Örneğin, sıfırdan bire bir saniyede yükselen, sonra geri düşen üçgensel dalga: r t eksi 2 r t eksi 1, artı r t eksi 2. Her rampa çalışan toplama kendi eğimini ekler. Bu ayrıştırma yamuk, testere dişi, merdiven gibi her parçalı doğrusal sinyal için çalışır.

8. 8. Parçalı dalganın türev zinciri

   

   Üçgensel dalgayı iki kez türet

   $\displaystyle v\left(t\right)=r\left(t\right)-2r\left(t-1\right)+r\left(t-2\right)$

   dv/dt=u(t)−2u(t−1)+u(t−2)

   İlk türev parçalı sabit eğimdir

   $\displaystyle d²v/\mathrm{d}t²=\delta \left(t\right)-2\delta \left(t-1\right)+\delta \left(t-2\right)$

   İkinci türev köşeleri işaretli darbelerle gösterir

   Her türev zincirde bir seviye yukarı çıkar

   Sesli anlatım metni

   Rampa, basamak, darbe zincirini pratikte görelim. Üçgensel dalga biçimimizi alalım: v t eşittir r t eksi 2 r t eksi 1, artı r t eksi 2. İlk türevi her rampayı basamakla değiştirir: d v bölü d t eşittir u t eksi 2 u t eksi 1, artı u t eksi 2. Bu bize dikdörtgen bir puls dizisi verir. İkinci türev her basamağı darbe ile değiştirir: d kare v bölü d t kare eşittir delta t eksi 2 delta t eksi 1, artı delta t eksi 2. Her türev alma bizi zincirde bir seviye yukarı taşır.

9. 9. Dalga biçimi araç kutusu

   

   Devre analizi için temel sinyaller

   u(t): anahtarlama

   r(t): doğrusal değişim

   δ(t): anlık etki ve ayıklama

   e⁽−t/τ): birinci derece geçici cevap

   e⁽−αt)sinωt: az sönümlü ikinci derece cevap

   Kaydırma + ölçekleme, karmaşık girişleri sistematik kurar

   Sesli anlatım metni

   Dalga biçimi araç kutumuzu özetleyelim. Birim basamak u t, anahtar eylemlerini modeller. Birim rampa r t, doğrusal artışları modeller. Darbe delta t, basamağın türevi olup ayıklama özelliğini sağlar. Üstel fonksiyon, tau zaman sabiti ile birinci derece devre cevaplarını tanımlar. Sönümlü sinüzoidal, az sönümlü ikinci derece cevapları tanımlar. Ve herhangi bir parçalı doğrusal dalga biçimini kaydırılmış rampa ve basamaklarla ayrıştırmayı öğrendik. Sonraki derste, kapasitör ve indüktörlerin seri paralel bağlantılarını ve başlangıç koşullarını inceleyeceğiz.