#15 Nedensel ters dönüşüm çiftleri, farklı ve tekrarlı gerçek kutuplarda katsayıları adım adım bulma

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Zaman işaretini dönüşümden geri elde et

   

   Önceki yönde zaman işaretinden Laplace dönüşümüne gittik; iki farklı bölgeyi karıştırmayalım.

   Şimdi dönüşümden zaman işaretini geri elde ediyoruz.

   Genel ters dönüşüm bir kontur integraliyle tanımlanabilir; burada rasyonel örneklere odaklanıyoruz.

   Bu devre örneklerinde doğrudan kontur integrali hesaplamak gerekmiyor.

   Dönüşümü bilinen kesirlere ayırıp her terimi nedensellik ve yakınsama koşullarıyla eşleştiriyoruz.

   Önce tam cebirsel düzenleme, sonra doğru dönüşüm çiftini tanıma.

   Sesli anlatım metni

   Son iki derste ileri yönde gittik: küçük f t'den büyük F s'e. Şimdi geri dönüyoruz. Ters Laplace ilk bakışta korkutucu görünür, çünkü tanımı karmaşık bir integral gibi anlatılabilir. Ama devre analizinde neredeyse hiç oradan başlamayız. Çok daha pratik bir şey yaparız: büyük F s'i basit parçalara ayırırız, sonra her parçayı tablodaki bir karşılıkla eşleştiririz. Yani beceri yeni bir integral ezberlemek değil; cebirsel temizlik ve örüntü tanıma.

2. 2. Ters dönüşüm çiftleri ve doğrusallık

   

   Nedensel üstel çiftle başlayalım; dönüşüm oku iki bölge arasında sıradan eşitlik değildir.

   Gerçek a ve σ>−a için ölçekleme:

   $\displaystyle F_{3}\left(s\right)=\frac{3}{s+a}, f_{3}\left(t\right)=3 e^{-a t} u\left(t\right)$

   Ortak yakınsama bölgesinde doğrusallık:

   $\displaystyle G\left(s\right)=A F_{1}\left(s\right)+B F_{2}\left(s\right), g\left(t\right)=A f_{1}\left(t\right)+B f_{2}\left(t\right)$

   Payda terimin biçimini, pay ise ağırlığını belirler; gereken bütün terimleri koruyun.

   Kesirlere ayırırken dönüşümün değerini değiştirmeyin.

   Sesli anlatım metni

   Temel fikirle başlayalım. Bir bölü s artı a, ters dönüşümde e üstü eksi a t veriyorsa, üç bölü s artı a da üç e üstü eksi a t verir. Lineerlik sayesinde terim terim ters dönüşüm alabiliriz. O halde büyük F s basit kesirlerin toplamı halindeyse, ters Laplace kolaydır: her payda bir zaman modunu, her pay ise o modun ağırlığını verir. Bütün oyun, ifadeyi tablodan tanınan parçaların toplamı gibi gösterebilmektir.

3. 3. Tam kısmi kesir açılımını kur

   

   Kısmi kesirlere ayırma için sistemli bir cebir akışı kullanıyoruz.

   Kaynak proper sözcüğünü burada strictly proper anlamında kullanıyor: payın derecesi paydanın derecesinden kesin küçüktür. Proper eşit dereceyi de kapsar.

   Pay derecesi payda derecesine eşit veya büyükse önce polinom bölmesi yapın; polinom kısmını atmayın.

   Kutupları belirlemeden ortak çarpanları sadeleştirin; basit ve tekrarlı çarpanları ayırın.

   Farklı doğrusal çarpanlar a≠b ve pay derecesi ikiden küçükse:

   $\displaystyle \frac{N\left(s\right)}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}$

   Ortak payda ile çarpıp elde edilen polinom özdeşliğinden katsayıları çözün.

   Her terimi doğru tablo çiftiyle ters dönüştürün; tekrarlı kutup zaman biçimini değiştirir.

   Polinom bölümünü koruyun: genelleştirilmiş nedensel dönüşümde bu kısım başlangıç anındaki darbe ve türevlerine karşılık gelebilir.

   Sesli anlatım metni

   Kısmi kesirlere ayırma iş akışı şu. Birinci adım: rasyonel ifade proper mı kontrol et; yani payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmalı. Değilse önce polinom bölmesi yap. İkinci adım: paydayı çarpanlara ayır. Üçüncü adım: her basit parça için bir bilinmeyen katsayı yaz. Dördüncü adım: bu katsayıları çöz. Son adım: her terimi Laplace tablosuyla ters dönüştür. Bu akış, s bölgesindeki devre cebiri ile gerçek zaman dalga şekli arasındaki köprüdür.

4. 4. Nedensel çiftler ve yakınsama koşulları

   

   Dört nedensel çift: u(t) birim basamak, σ ise s değişkeninin gerçel kısmıdır.

   Gerçek a ve σ>−a için üstel çift:

   $\displaystyle F_{a}\left(s\right)=\frac{1}{s+a}, f_{a}\left(t\right)=e^{-a t} u\left(t\right)$

   σ>−a; kare tüm paranteze uygulanır:

   $\displaystyle F_{r}\left(s\right)=\frac{1}{\left(s+a\right)^{2}}, f_{r}\left(t\right)=t e^{-a t} u\left(t\right)$

   Gerçek ω>0 ve σ>0 için sinüs çifti:

   $\displaystyle F_{s}\left(s\right)=\frac{\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}, f_{s}\left(t\right)=\sin \left(\omega t\right) u\left(t\right)$

   Gerçek ω>0 ve σ>0 için kosinüs çifti:

   $\displaystyle F_{c}\left(s\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}}, f_{c}\left(t\right)=\cos \left(\omega t\right) u\left(t\right)$

   Bunlar yaygın yapı taşlarıdır. Üstel a>0 iken söner; tekrarlı kutup ek bir zaman çarpanı getirir.

   Sesli anlatım metni

   Dört ters dönüşüm çiftini gözünün önünde tut. Bir bölü s artı a, e üstü eksi a t verir. Bir bölü s artı a kare, t çarpı e üstü eksi a t verir. Omega bölü s kare artı omega kare, sinüs omega t verir. s bölü s kare artı omega kare ise kosinüs omega t verir. Geçici devre cevaplarının çoğu tam olarak bu şekillerin birleşimidir: sönümler, t ile çarpılmış sönümler, sinüsler ve kosinüsler.

5. 5. Farklı kutupların katsayılarını çöz

   

   Örnek 1: iki farklı gerçek kutup. Bu örneğin dönüşümünü F₁ ile gösterelim.

   Nedensel işaret ve σ>−1 için verilen dönüşüm:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{2 s+5}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$

   Her farklı doğrusal çarpan için bir katsayı:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}$

   Ortak payda ile çarpın; kutup yerine koymayı tanımsız kesirde değil, oluşan polinom özdeşliğinde yapın.

   Paylar için elde edilen özdeşlik:

   $\displaystyle 2 s+5=A\left(s+3\right)+B\left(s+1\right)$

   A katsayısını ayırmak için polinom özdeşliğinde yerine koyun:

   $\displaystyle s=-1$

   B terimi sıfırlanır:

   $\displaystyle 2\left(-1\right)+5=A\left(-1+3\right), 3=2 A, A=\frac{3}{2}$

   B katsayısını ayırmak için polinom özdeşliğinde yerine koyun:

   $\displaystyle s=-3$

   A terimi sıfırlanır; iki taraftaki eksi işaretlerini koruyun:

   $\displaystyle 2\left(-3\right)+5=B\left(-3+1\right), -1=-2 B, B=\frac{1}{2}$

   İki katsayıyı kesirlere geri yerleştirin:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{\frac{3}{2}}{s+1}+\frac{\frac{1}{2}}{s+3}$

   Terim terim ters dönüşüm, nedensellik açık:

   $\displaystyle f_{1}\left(t\right)=\left[\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}\right] u\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   Birinci örnek: farklı gerçek kutuplar. Büyük F s eşittir iki s artı beş bölü, s artı bir çarpı s artı üç olsun. Bunu A bölü s artı bir, artı B bölü s artı üç diye ayırıyoruz. İki tarafı ortak payda ile çarpıyoruz. Böylece iki s artı beş eşittir A çarpı s artı üç, artı B çarpı s artı bir. A'yı bulmak için s eşittir eksi bir koy. B terimi sıfırlanır ve üç eşittir iki A gelir; buradan A eşittir üç bölü iki. B'yi bulmak için s eşittir eksi üç koy. A terimi sıfırlanır; eksi bir eşittir eksi iki B, yani B eşittir bir bölü iki. Sonuçta büyük F s, üç bölü iki bölü s artı bir, artı bir bölü iki bölü s artı üç olur. Terim terim ters dönüştürürsek küçük f t eşittir üç bölü iki e üstü eksi t, artı bir bölü iki e üstü eksi üç t.

6. 6. Sönüm hızları ve ağırlıkları oku

   

   Her kutbu, kendisine ait katsayıyla birlikte okuyun.

   Pozitif zamanda yavaş terim; kutup −1 ve ağırlık 3/2:

   $\displaystyle f_{\mathrm{slow}}\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}$

   Pozitif zamanda hızlı terim; kutup −3 ve ağırlık 1/2:

   $\displaystyle f_{\mathrm{fast}}\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}$

   Bu negatif gerçek kutuplarda daha solda olmak daha hızlı üstel sönüm demektir.

   Bunlar verilen işaretin modlarıdır. Doğal devre modu demek için paydanın devrenin dinamiğini temsil ettiğini de bilmek gerekir.

   Sesli anlatım metni

   Cevabı mühendis gibi oku. Eksi birdeki kutup, yavaş mod olan e üstü eksi t'yi üretir ve ağırlığı üç bölü ikidir. Eksi üçteki kutup daha hızlı mod olan e üstü eksi üç t'yi üretir ve ağırlığı bir bölü ikidir. Kutup ne kadar sola giderse sönüm o kadar hızlı olur. Kısmi kesirler sadece cebir değildir; hangi doğal modların cevapta bulunduğunu ve her birinin ne kadar güçlü geldiğini söyler.

7. 7. Tekrarlı kutbun tüm basamaklarını yaz

   

   Örnek 2 bağımsızdır; −2 noktasındaki çift kutup için A ve B katsayılarını yeniden hesaplayın.

   Kare bütün paranteze aittir; nedensel yakınsama bölgesi σ>−2:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{s+4}{\left(s+2\right)^{2}}$

   Tekrarlı kutbun iki basamağını da yazın:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{\left(s+2\right)^{2}}$

   Ortak payda ile çarpın:

   $\displaystyle \left(s+2\right)^{2} F_{2}\left(s\right)=A\left(s+2\right)+B$

   Verilen payı yerleştirin:

   $\displaystyle s+4=A\left(s+2\right)+B$

   Katsayıları karşılaştırmadan önce polinom özdeşliğini açın.

   s katsayısını karşılaştırın:

   $\displaystyle s+4=A s+2 A+B, A=1$

   Sabit terimleri karşılaştırın:

   $\displaystyle 4=2 A+B$

   A değerini yerine koyup B katsayısını çözün:

   $\displaystyle 4=2\left(1\right)+B, B=4-2=2$

   Artı işaretini ve ikinci katsayıyı koruyun:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{\left(s+2\right)^{2}}$

   Pozitif zamanda ilk ters dönüşüm terimi:

   $\displaystyle f_{\mathrm{simple}}\left(t\right)=e^{-2 t}$

   Kare payda t çarpanını getirir; katsayı iki kalır:

   $\displaystyle f_{\mathrm{repeat}}\left(t\right)=2 t e^{-2 t}$

   İki terimi toplayıp nedensel birim basamağı koruyun:

   $\displaystyle f_{2}\left(t\right)=\left[e^{-2 t}+2 t e^{-2 t}\right] u\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek: tekrarlanan kutup. Büyük F s eşittir s artı dört bölü s artı iki kare olsun. Tekrarlı çarpan için tam merdiven gerekir: A bölü s artı iki, artı B bölü s artı iki kare. İki tarafı s artı iki kare ile çarpıyoruz. s artı dört eşittir A çarpı s artı iki, artı B. Katsayıları karşılaştıralım. s'in katsayısı A eşittir bir verir. Sabit terim için dört eşittir iki A artı B. A bir olduğu için B eşittir iki. Yani büyük F s, bir bölü s artı iki, artı iki bölü s artı iki kare. İlk terim e üstü eksi iki t verir. İkinci terim iki t e üstü eksi iki t verir. Sonuç: küçük f t eşittir e üstü eksi iki t artı iki t e üstü eksi iki t.

8. 8. Bölme, tam merdiven ve işaret kontrolü

   

   Kısmi kesir cevabını kabul etmeden önce üç kontrol.

   Kesir strictly proper değilse önce bölün ve polinom bölümünü koruyun.

   Çift kutupta tam merdiven gerekir; bir katsayı sıfır çıkabilir:

   $\displaystyle F_{r}\left(s\right)=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{\left(s+a\right)^{2}}$

   Özellikle kutup işaretlerini dikkatle denetleyin.

   Çarpanın kökünü bulun; kutup işaretini ters çevirmeyin:

   $\displaystyle s+3=0, s=-3$

   Nedensel üstel terimde negatif gerçek kutup sönüm, pozitif gerçek kutup büyüme verir. Önce ortak çarpanları sadeleştirin.

   Sesli anlatım metni

   Üç hatadan kaçın. Birincisi: kesir improper ise, kısmi kesirden önce bölme yap. İkincisi: tekrarlı kutupta sadece tek terim yazma; tam merdiveni yaz, örneğin A bölü s artı a ve B bölü s artı a kare. Üçüncüsü: işaretleri dikkatle kontrol et. s artı üç demek kutup eksi üçtedir, artı üçte değil. Bu işaret, zaman cevabının söneceğini mi yoksa büyüyeceğini belirler.

9. 9. Kesirleri birleştirip cevabı doğrula

   

   Özet: tam cebir, eksiksiz açılım, doğru ters dönüşüm çiftleri.

   Her terimi nedensellik ve yakınsama koşullarıyla tablo çiftine eşleştirin.

   Kesirleri tekrar birleştirerek verilen pay ve paydayı geri elde ettiğinizi kontrol edin.

   Basit kutup üstel terim verir; çift kutup ayrıca zamanla çarpılmış üstel terim getirir.

   Sırada kutuplar, sıfırlar, ilk değer ve son değer; iki değer teoreminin geçerlilik koşulları da korunmalı.

   Sesli anlatım metni

   Özet. Devrelerde ters Laplace, cebirden sonra tablo eşleştirmedir. Kısmi kesirler, karmaşık bir rasyonel ifadeyi basit modların toplamına çevirir. Farklı gerçek kutuplar ağırlıklı üsteller verir; tekrarlı kutuplar ise t çarpı üstel terimleri ekler. Sonraki derste uzaklaşıp büyük F s'ten kutupları, sıfırları, ilk değeri ve son değeri doğrudan okumaya geçeceğiz.

Kaynak video: Devre Teorisi-2 #15 | Ters Laplace Dönüşümü ve Kısmi Kesirler (5:33)