Devre Teorisi 1 · Thevenin ve Norton

#26 Thevenin ve Norton #26 — bağımlı kaynak, kısa devre ve test kaynağı

Bağımlı kaynağı etkin tutarak açık devre gerilimini ve Thevenin direncini hem kısa devre akımı hem 1 A test kaynağıyla bulur.

Soru

20 V bağımsız kaynak, i_b kontrollü 9i_b bağımlı akım kaynağı, 100 Ω ve 10 Ω dirençlerden oluşan özgün devre. — a-b açık devre gerilimi ve uçlardan görülen eşdeğer direnç bulunacaktır.

20 V bağımsız kaynak, 100 Ω dirençte i_b akımı, 9i_b bağımlı akım kaynağı ve a-b uçlarında 10 Ω kolu bulunan devrenin Thevenin ve Norton eşdeğerlerini iki yöntemle bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Problem
a-b açık devre gerilimi ve uçlardan görülen eşdeğer direnç bulunacaktır.
Bağımlı kaynaklı Thevenin
Bağımsız kaynak: 20 V
Kontrol akımı: i_b
Bağımlı kaynak: 9i_b
Uçlar: a-b
Aranan: V_Th ve R_Th
Bağımlı kaynak etkin kalır
Sesli anlatım metni
Bu derste Thevenin eşdeğerine devam ediyoruz; ancak devrede artık hem bağımsız hem de bağımlı bir kaynak var. Bu durum R Thevenin'i bulma yöntemini değiştirir, çünkü bağımlı kaynak etkin kalmalıdır. Devrede 20 voltluk kaynak, üzerinden i b akımı geçen 100 ohmluk direnç, değeri 9 i b olan bağımlı akım kaynağı ve a-b uçlarında 10 ohmluk kol bulunuyor.
2. Açık devre gerilimi
a-b açık devre gerilimi ve uçlardan görülen eşdeğer direnç bulunacaktır.
Açık devre gerilimi
$V_{\mathrm{T}}h=V_{\mathrm{ab}}$
$i_{\mathrm{b}}=(20-V_{\mathrm{T}}h)/100$
$(V_{\mathrm{T}}h-20)/100+V_{\mathrm{T}}h/10-9i_{\mathrm{b}}=0$
$11V_{\mathrm{T}}h-20=9(20-V_{\mathrm{T}}h)$
$20V_{\mathrm{T}}h=200$
$V_{\mathrm{T}}h=10 V$
Sesli anlatım metni
Önce açık devre gerilimi V Thevenin'i bulalım. a'dan b'ye uç gerilimini V Thevenin olarak tanımlıyoruz. 100 ohmluk dirençteki i b akımı, 20 eksi V Thevenin bölü 100'dür. Üst düğüm için Kirchhoff akım yasası, V Thevenin eksi 20 bölü 100 artı V Thevenin bölü 10 eksi 9 i b eşittir sıfır verir. i b yerine yazıp sadeleştirince 20 V Thevenin eşittir 200 olur; dolayısıyla V Thevenin 10 volttur.
3. Kısa devre kurulumu
i_b=0.2 A, 9i_b=1.8 A ve I_sc=2 A.
Yöntem 1: a-b kısa devre
20 V kaynağı etkin
$V_{\mathrm{ab}}=0$
10 Ω kolunda akım yok
$i_{\mathrm{b}}=20/100=0.2 A$
$9i_{\mathrm{b}}=1.8 A$
Akımlar üst düğüme gelir
Sesli anlatım metni
Eşdeğer direnci bulmak için ilk yöntem kısa devre akımı yöntemidir. Bağımsız 20 voltluk kaynağı etkin bırakır ve a-b uçlarını bir telle kısa devre ederiz. Kısa devre uç gerilimini sıfıra zorladığı için 10 ohmluk kolda gerilim yoktur. 100 ohmluk dirençte i b eşittir 20 bölü 100, yani 0 tam onda 2 amper olur. Bağımlı kaynak bunun 9 katını, yani 1 tam onda 8 amperi üst düğüme enjekte eder.
4. Kısa devre sonucu
İki yöntem aynı uç davranışını ve aynı 5 Ω eşdeğer direnci verir.
Kısa devre sonucu
$I_{\mathrm{sc}}=0.2+1.8$
$I_{\mathrm{sc}}=2 A$
$R_{\mathrm{T}}h=V_{\mathrm{T}}h/I_{\mathrm{sc}}$
$R_{\mathrm{T}}h=10/2$
$R_{\mathrm{T}}h=5 \Omega$
Thevenin: 10 V seri 5 Ω
Sesli anlatım metni
Kısa devre akımı, 100 ohmluk dirençten gelen akımla bağımlı kaynağın enjekte ettiği akımın toplamıdır. 0 tam onda 2 artı 1 tam onda 8 eşittir 2 amperdir. Bu yüzden R Thevenin, V Thevenin bölü kısa devre akımıdır. 10 volt bölü 2 amper, 5 ohm verir. Thevenin eşdeğeri, 5 ohm ile seri 10 voltluk gerilim kaynağıdır.
5. Test kaynağı kurulumu
Bağımlı kaynak etkin kalır; V_x=5 V sonucundan R_Th=5 Ω bulunur.
Yöntem 2: 1 A test kaynağı
20 V → kısa devre
Bağımlı kaynak etkin
$I_{\mathrm{t}}=1 A, b\to a$
Uç gerilimi: V_x
$i_{\mathrm{b}}=-V_{\mathrm{x}}/100$
$V_{\mathrm{x}}/100+V_{\mathrm{x}}/10-9i_{\mathrm{b}}-1=0$
Sesli anlatım metni
İkinci yöntem, 1 amperlik test akımı yöntemidir. Bu kez bağımsız 20 voltluk kaynağı söndürürüz; ideal gerilim kaynağı kısa devreye dönüşür. Ardından b'den a'ya 1 amperlik test akımı bağlar ve oluşan uç gerilimine V x deriz. i b, sıfır eksi V x bölü 100, yani eksi V x bölü 100 olur. Kirchhoff denklemi V x bölü 100 artı V x bölü 10 eksi 9 i b eksi 1 eşittir sıfırdır.
6. Test kaynağı sonucu
İki yöntem aynı uç davranışını ve aynı 5 Ω eşdeğer direnci verir.
Test kaynağı sonucu
$i_{\mathrm{b}}=-V_{\mathrm{x}}/100$
$11V_{\mathrm{x}}/100=1+9i_{\mathrm{b}}$
$20V_{\mathrm{x}}/100=1$
$V_{\mathrm{x}}=5 V$
$R_{\mathrm{T}}h=V_{\mathrm{x}}/1 A=5 \Omega$
$I_{\mathrm{N}}=10/5=2 A$
Sesli anlatım metni
Test kaynağı denkleminde i b eşittir eksi V x bölü 100 ifadesini yerine yazalım. Bağımlı kaynak terimi artı 9 V x bölü 100 olur ve toplam 20 V x bölü 100 eşittir 1'e indirgenir. Buradan V x 5 volttur. Test akımı 1 amper olduğuna göre R Thevenin, V x bölü 1 amperden yine 5 ohm çıkar. Norton akımı V Thevenin bölü R Thevenin, yani 10 bölü 5 eşittir 2 amperdir.
7. Eşdeğerler
İki yöntem aynı uç davranışını ve aynı 5 Ω eşdeğer direnci verir.
Eşdeğerler
$V_{\mathrm{T}}h=10 V$
$I_{\mathrm{sc}}=2 A$
$V_{\mathrm{x}}=5 V @ 1 A$
$R_{\mathrm{T}}h=R_{\mathrm{N}}=5 \Omega$
Thevenin: 10 V seri 5 Ω
Norton: 2 A paralel 5 Ω
Sesli anlatım metni
Ana fikir şudur: test kaynağı yönteminde bağımsız kaynaklar söndürülebilir, fakat bağımlı kaynaklar etkin kalır. Bu devrede iki geçerli yöntem de aynı sonucu verdi. Açık devre gerilimi 10 volt, kısa devre akımı 2 amperdir. 1 amperlik test kaynağı V x eşittir 5 volt verir. Sonuç olarak R Thevenin 5 ohm, Thevenin kaynağı 10 volt ve eşdeğer Norton kaynağı 2 amperdir.
8. Temel kural
Bağımlı kaynak etkin kalır; V_x=5 V sonucundan R_Th=5 Ω bulunur.
Değişmez kural
Bağımsız V=0 → tel
Bağımsız I=0 → açık devre
Bağımlı kaynak söndürülmez
Kontrol değişkenini koru
Bu devrede kontrol: i_b
İki yöntem aynı R_Th'yi verir
Sesli anlatım metni
Kuralı şöyle hatırlayalım. Bağımsız kaynakların değeri devrenin dışından belirlenir. Test kaynağı yönteminde sıfır voltluk ideal gerilim kaynağı tel, sıfır amperlik ideal akım kaynağı açık devre olur. Bağımlı kaynağın değeri ise bu örnekteki i b gibi başka bir devre değişkeni tarafından belirlenir. Bu nedenle bağımlı kaynak devrede kalmalı ve onu kontrol eden değişken denklemlerde mutlaka yer almalıdır.