نظرية الدوائر 1 · ثيفنن ونورتن

#26 ثيفنن ونورتن #26 — مصدر تابع وتيار القصر ومصدر الاختبار

يبقي المصدر التابع فعالا ويجد مقاومة ثيفنن بطريقتي تيار القصر ومصدر اختبار 1 A.

السؤال

الدائرة الأصلية بمصدر مستقل 20 V ومصدر تيار تابع 9i_b تتحكم به i_b ومقاومتي 100 Ω و10 Ω. — سنوجد جهد الدائرة المفتوحة والمقاومة المكافئة عند a-b.

لدائرة فيها مصدر مستقل 20 V وتيار i_b في مقاومة 100 Ω ومصدر تيار تابع 9i_b وفرع 10 Ω عند الطرفين a-b، أوجد مكافئي ثيفنن ونورتن بطريقتين.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. المسألة
سنوجد جهد الدائرة المفتوحة والمقاومة المكافئة عند a-b.
ثيفنن مع مصدر تابع
المصدر المستقل 20 V
تيار التحكم i_b
المصدر التابع 9i_b
الطرفان a-b
المطلوب V_Th وR_Th
يبقى المصدر التابع فعالا
نص الشرح الصوتي
في هذا الدرس نتابع مكافئ ثيفنن، ولكن الدائرة الآن تحتوي على مصدر مستقل ومصدر تابع معا. وهذا يغيّر طريقة إيجاد R ثيفنن، لأن المصدر التابع يجب أن يبقى فعالا. في الدائرة يوجد مصدر عشرون فولت، ومقاومة مئة أوم يمر فيها التيار i b، ومصدر تيار تابع مقداره 9 i b، وفرع عشرة أوم عند الطرفين a و b.
2. جهد الدائرة المفتوحة
سنوجد جهد الدائرة المفتوحة والمقاومة المكافئة عند a-b.
جهد الدائرة المفتوحة
$\displaystyle V_{T}h=V_{\mathrm{ab}}$
$\displaystyle i_{b}=\frac{20-V_{T}h}{100}$
$\displaystyle \frac{V_{T}h-20}{100}+\frac{V_{T}h}{10}-9i_{b}=0$
$\displaystyle 11V_{T}h-20=9\left(20-V_{T}h\right)$
$\displaystyle 20V_{T}h=200$
$\displaystyle V_{T}h=10 V$
نص الشرح الصوتي
نبدأ بإيجاد جهد الدائرة المفتوحة V ثيفنن. نعرّف جهد الطرفين من a إلى b باسم V ثيفنن. التيار i b في مقاومة مئة أوم يساوي عشرين ناقص V ثيفنن، مقسوما على مئة. معادلة كيرشوف عند العقدة العليا هي: V ثيفنن ناقص عشرين على مئة، زائد V ثيفنن على عشرة، ناقص 9 i b، يساوي صفرا. بعد التعويض والتبسيط نحصل على 20 V ثيفنن يساوي 200، إذن V ثيفنن يساوي عشرة فولت.
3. إعداد القصر
i_b=0.2 A و9i_b=1.8 A وI_sc=2 A.
الطريقة 1: قصر a-b
يبقى مصدر 20 V فعالا
$\displaystyle V_{\mathrm{ab}}=0$
لا تيار في فرع 10 Ω
$\displaystyle i_{b}=\frac{20}{100}=0.2 A$
$\displaystyle 9i_{b}=1.8 A$
التياران يدخلان العقدة العليا
نص الشرح الصوتي
الطريقة الأولى لإيجاد المقاومة هي طريقة تيار القصر. نترك مصدر العشرين فولت فعالا، ثم نقصر الطرفين a و b بسلك. القصر يجعل جهد الطرفين صفرا، لذلك فرع العشرة أوم لا يوجد عليه جهد. تيار مقاومة مئة أوم يصبح i b يساوي عشرين على مئة، أي صفر فاصل اثنان أمبير. والمصدر التابع يحقن 9 مرات هذا التيار، أي واحد فاصل ثمانية أمبير، إلى العقدة العليا.
4. نتيجة القصر
تعطي الطريقتان سلوك الطرفين نفسه والمقاومة 5 Ω نفسها.
نتيجة تيار القصر
$\displaystyle I_{\mathrm{sc}}=0.2+1.8$
$\displaystyle I_{\mathrm{sc}}=2 A$
$\displaystyle R_{T}h=\frac{V_{T}h}{I_{\mathrm{sc}}}$
$\displaystyle R_{T}h=\frac{10}{2}$
$\displaystyle R_{T}h=5 \Omega$
ثيفنن: 10 V على التوالي مع 5 Ω
نص الشرح الصوتي
تيار القصر يساوي مجموع التيار القادم من مقاومة مئة أوم والتيار المحقون من المصدر التابع. إذن التيار يساوي صفر فاصل اثنان زائد واحد فاصل ثمانية، أي اثنان أمبير. لذلك R ثيفنن تساوي V ثيفنن مقسوما على تيار القصر. عشرة فولت على اثنين أمبير تعطينا خمسة أوم. إذن مكافئ ثيفنن هو مصدر عشرة فولت على التوالي مع خمسة أوم.
5. إعداد مصدر الاختبار
يبقى المصدر التابع فعالا؛ ومن V_x=5 V نجد R_Th=5 Ω.
الطريقة 2: مصدر اختبار 1 A
20 V ← قصر
يبقى المصدر التابع فعالا
I_t=1 A من b إلى a
جهد الطرفين V_x
$\displaystyle i_{b}=-\frac{V_{x}}{100}$
$\displaystyle \frac{V_{x}}{100}+\frac{V_{x}}{10}-9i_{b}-1=0$
نص الشرح الصوتي
الطريقة الثانية هي طريقة مصدر تيار اختباري مقداره واحد أمبير. هنا نعطل مصدر العشرين فولت المستقل، فيصبح قصرا. ثم نصل مصدر تيار واحد أمبير من b إلى a، ونسمي الجهد الناتج على الطرفين V x. الآن i b يساوي صفر ناقص V x على مئة، أي سالب V x على مئة. ومعادلة كيرشوف تصبح V x على مئة، زائد V x على عشرة، ناقص 9 i b، ناقص واحد، يساوي صفرا.
6. نتيجة مصدر الاختبار
تعطي الطريقتان سلوك الطرفين نفسه والمقاومة 5 Ω نفسها.
نتيجة مصدر الاختبار
$\displaystyle i_{b}=-\frac{V_{x}}{100}$
$\displaystyle \frac{11V_{x}}{100}=1+9i_{b}$
$\displaystyle \frac{20V_{x}}{100}=1$
$\displaystyle V_{x}=5 V$
$\displaystyle R_{T}h=V_{x}/1 A=5 \Omega$
$\displaystyle I_{N}=\frac{10}{5}=2 A$
نص الشرح الصوتي
نعوض i b يساوي سالب V x على مئة في معادلة المصدر الاختباري. حد المصدر التابع يصبح زائد 9 V x على مئة، فيكون المجموع 20 V x على مئة يساوي واحدا. إذن V x يساوي خمسة فولت. وبما أن التيار الاختباري يساوي واحد أمبير، فإن R ثيفنن تساوي V x على واحد أمبير، أي خمسة أوم أيضا. وتيار نورتن يساوي V ثيفنن على R ثيفنن، أي عشرة على خمسة، ويساوي اثنين أمبير.
7. الدائرتان المكافئتان
تعطي الطريقتان سلوك الطرفين نفسه والمقاومة 5 Ω نفسها.
الدائرتان المكافئتان
$\displaystyle V_{T}h=10 V$
$\displaystyle I_{\mathrm{sc}}=2 A$
$\displaystyle V_{x}=5 V @ 1 A$
$\displaystyle R_{T}h=R_{N}=5 \Omega$
ثيفنن: 10 V على التوالي مع 5 Ω
نورتن: 2 A على التوازي مع 5 Ω
نص الشرح الصوتي
الفكرة الأساسية هي أن المصادر المستقلة يمكن تعطيلها عند استخدام مصدر اختباري، أما المصادر التابعة فتبقى فعالة. في هذه الدائرة الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها. جهد الدائرة المفتوحة يساوي عشرة فولت. وتيار القصر يساوي اثنين أمبير، ومصدر الاختبار واحد أمبير يعطي V x يساوي خمسة فولت. إذن النتيجة النهائية هي R ثيفنن تساوي خمسة أوم، مع مصدر ثيفنن عشرة فولت، أو مكافئ نورتن بتيار اثنين أمبير.
8. القاعدة الأساسية
يبقى المصدر التابع فعالا؛ ومن V_x=5 V نجد R_Th=5 Ω.
قاعدة ثابتة
المصدر المستقل V=0 ← سلك
المصدر المستقل I=0 ← دائرة مفتوحة
لا نعطل المصدر التابع
نحافظ على كمية التحكم
كمية التحكم هنا i_b
الطريقتان تعطيان R_Th نفسه
نص الشرح الصوتي
تذكر القاعدة بهذه الطريقة: المصادر المستقلة هي مصادر قيمتها محددة من خارج الدائرة. عند استخدام طريقة مصدر الاختبار، مصدر الجهد ذي القيمة صفر فولت يصبح سلكا، ومصدر التيار ذي القيمة صفر أمبير يصبح دائرة مفتوحة. أما المصدر التابع فهو مختلف، لأن قيمته تتحكم بها كمية أخرى داخل الدائرة، مثل i b في هذا المثال. لذلك يبقى المصدر التابع في الدائرة، ويجب كتابة كمية التحكم داخل المعادلات.