النظرية الكهرومغناطيسية · ثنائي القطب الكهربائي وكثافة الطاقة

#12 ثنائي القطب وخطوط الفيض وأسطح تساوي الجهد وطاقة تجميع الشحنات وكثافة الطاقة الكهروستاتيكية

ابن مجال ثنائي القطب، واقرأ هندسة أسطح تساوي الجهد، واحسب كيف تتوزع الطاقة الكهروستاتيكية في الفضاء.

السؤال

لقطة درس تعرض ثنائي القطب الكهربائي وأسطح تساوي الجهد وعلاقات كثافة الطاقة الكهروستاتيكية. — يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.

استنتج عزم ثنائي القطب ومجاله البعيد، واربط خطوط الفيض بأسطح تساوي الجهد، وحوّل طاقة تجميع الشحنات إلى طاقة مجال، ثم حل مثال الكرة المشحونة بانتظام.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من الجهد إلى ثنائي القطب وطاقة المجال
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
في الدرس السابق انتقلنا من المجال الكهربائي المتجه إلى الجهد الكهربائي V.
العلاقة الأساسية هي E = −∇V.
كما رأينا أن دوران المجال الكهروستاتيكي يساوي صفرا، أي أن المجال محافظ.
اليوم نستخدم هذه الفكرة في موضوعين مهمين: ثنائي القطب الكهربائي، ثم الطاقة المخزنة في المجال الكهروستاتيكي.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق انتقلنا من المجال الكهربائي المتجه إلى الجهد الكهربائي V. تعلمنا أن الجهد كمية عددية، وأن العلاقة الأساسية هي: E يساوي سالب تدرج V. كما رأينا أن دوران المجال الكهروستاتيكي يساوي صفرا، أي أن المجال محافظ. اليوم نستخدم هذه الفكرة في موضوعين مهمين: ثنائي القطب الكهربائي، ثم الطاقة المخزنة في المجال الكهروستاتيكي.
2. استنتج ثنائي القطب ومجاله البعيد
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
ثنائي القطب الكهربائي يتكون من شحنتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الإشارة: زائد Q وناقص Q، وبينهما مسافة صغيرة d.
عزم ثنائي القطب p = Qd ويتجه من −Q إلى +Q.
إذا وضعنا الثنائي عند الأصل وعلى محور z، وكان موضع نقطة الرصد بعيدا جدا مقارنة بالمسافة d، فإن الجهد يأخذ صيغة تقريبية جميلة.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع.
المركبة E_θ تتناسب مع p sinθ/r³.
مجال ثنائي القطب يضعف مثل 1/r³؛ ومجال الشحنة النقطية مثل 1/r².
بعيدا عن الثنائي، تأثير الشحنتين يكاد يتلاشى لأن الموجب والسالب يلغي أحدهما الآخر جزئيا.
نص الشرح الصوتي
ثنائي القطب الكهربائي يتكون من شحنتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الإشارة: زائد Q وناقص Q، وبينهما مسافة صغيرة d. نعرّف عزم ثنائي القطب p بأنه Q مضروبة في d، ويتجه من الشحنة السالبة إلى الشحنة الموجبة. إذا وضعنا الثنائي عند الأصل وعلى محور z، وكان موضع نقطة الرصد بعيدا جدا مقارنة بالمسافة d، فإن الجهد يأخذ صيغة تقريبية جميلة. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. وباستعمال المتجه p، نستطيع كتابتها بشكل أوسع. والمركبة theta تتناسب مع p sin theta على r تكعيب. الخلاصة المهمة: مجال ثنائي القطب يضعف مثل واحد على r تكعيب، أسرع من مجال الشحنة النقطية الذي يضعف مثل واحد على r تربيع. بعيدا عن الثنائي، تأثير الشحنتين يكاد يتلاشى لأن الموجب والسالب يلغي أحدهما الآخر جزئيا.
3. اربط خطوط الفيض بأسطح تساوي الجهد
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
خط الفيض الكهربائي، أو خط القوة، هو منحنى يكون مماسه عند كل نقطة في اتجاه المجال الكهربائي E.
هذه الخطوط تساعدنا على تخيل اتجاه المجال وقوته.
أما سطح تساوي الجهد فهو سطح تكون قيمة V عليه ثابتة في كل نقطة.
بما أن E = −∇V، فالمجال عمودي على أسطح تساوي الجهد.
على سطح تساوي الجهد E·dl = 0، ولذلك الشغل يساوي صفرا.
لشحنة نقطية، أسطح تساوي الجهد كرات متحدة المركز.
أما في ثنائي القطب، فالنمط أغنى: جهة لها جهد موجب، وجهة لها جهد سالب، وبينهما سطح جهد صفري تقريبا.
نص الشرح الصوتي
خط الفيض الكهربائي، أو خط القوة، هو منحنى يكون مماسه عند كل نقطة في اتجاه المجال الكهربائي E. هذه الخطوط تساعدنا على تخيل اتجاه المجال وقوته. أما سطح تساوي الجهد فهو سطح تكون قيمة V عليه ثابتة في كل نقطة. وبما أن E يساوي سالب تدرج V، فإن المجال يكون دائما عموديا على أسطح تساوي الجهد. لهذا السبب، إذا حركنا شحنة على سطح تساوي الجهد، فإن الشغل يساوي صفرا، لأن E dot d l يساوي صفرا على هذا المسار. لشحنة نقطية، أسطح تساوي الجهد كرات متحدة المركز. أما في ثنائي القطب، فالنمط أغنى: جهة لها جهد موجب، وجهة لها جهد سالب، وبينهما سطح جهد صفري تقريبا.
4. ابن طاقة تجميع نظام الشحنات
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
الآن نسأل: ما مقدار الطاقة اللازمة لتجميع مجموعة من الشحنات؟
إذا وضعنا الشحنة الأولى في الفضاء، فلا توجد شحنات أخرى، لذلك لا نحتاج شغلا.
عند جلب الشحنة الثانية، نحتاج شغلا يساوي Q اثنين مضروبة في الجهد عند موضعها بسبب الشحنة الأولى.
وعند جلب الشحنة الثالثة، نحتاج شغلا بسبب الجهد الناتج من الشحنتين السابقتين معا.
طاقة التجميع W_E = ½ΣₖQₖVₖ.
للتوزيعات المستمرة يتحول الجمع إلى تكامل.
للتوزيع الحجمي W_E = ½∫ρ_vV dv.
وتوجد صيغ مشابهة للشحنة الخطية والسطحية.
نص الشرح الصوتي
الآن نسأل: ما مقدار الطاقة اللازمة لتجميع مجموعة من الشحنات؟ إذا وضعنا الشحنة الأولى في الفضاء، فلا توجد شحنات أخرى، لذلك لا نحتاج شغلا. عند جلب الشحنة الثانية، نحتاج شغلا يساوي Q اثنين مضروبة في الجهد عند موضعها بسبب الشحنة الأولى. وعند جلب الشحنة الثالثة، نحتاج شغلا بسبب الجهد الناتج من الشحنتين السابقتين معا. عند جمع هذه الأعمال، ثم استعمال تناظر ترتيب التجميع، نحصل على صيغة عامة: W E يساوي نصف مجموع Q k V k، حيث V k هو الجهد الكلي عند موضع الشحنة k بسبب جميع الشحنات الأخرى. للتوزيعات المستمرة يتحول الجمع إلى تكامل. للشحنة الحجمية مثلا: W E يساوي نصف تكامل rho v مضروبة في V d v. وتوجد صيغ مشابهة للشحنة الخطية والسطحية.
5. استنتج كثافة الطاقة الكهروستاتيكية
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
نبدأ من W_E = ½∫ρ_vV dv.
من قانون غاوس ρ_v = ∇·D.
نعوض هذه العلاقة، ثم نستخدم هوية متجهية تربط V تباعد D بتباعد V D و D dot تدرج V.
باستخدام مبرهنة التباعد، وبأخذ السطح الحدودي بعيدا جدا، يختفي الحد السطحي.
النتيجة W_E = ½∫D·E dv.
في الفراغ D = ε₀E و W_E = ½ε₀∫E² dv.
كثافة الطاقة w_E = ½D·E = ½ε₀E².
وحدتها جول لكل متر مكعب.
المعنى الفيزيائي أن الطاقة ليست مجرد رقم مرتبط بالشحنات، بل موزعة في الفضاء حيث يوجد المجال.
نص الشرح الصوتي
نبدأ من صيغة الطاقة للتوزيع الحجمي: نصف تكامل rho v V d v. من قانون غاوس التفاضلي نعرف أن rho v يساوي تباعد D. نعوض هذه العلاقة، ثم نستخدم هوية متجهية تربط V تباعد D بتباعد V D و D dot تدرج V. باستخدام مبرهنة التباعد، وبأخذ السطح الحدودي بعيدا جدا، يختفي الحد السطحي. فتبقى لنا النتيجة المهمة: W E يساوي نصف تكامل D dot E d v. في الفراغ، D يساوي epsilon zero E، لذلك تصبح الطاقة نصف epsilon zero تكامل E تربيع d v. نعرّف كثافة الطاقة الكهروستاتيكية w E بأنها نصف D dot E، أو نصف epsilon zero E تربيع. وحدتها جول لكل متر مكعب. المعنى الفيزيائي أن الطاقة ليست مجرد رقم مرتبط بالشحنات، بل موزعة في الفضاء حيث يوجد المجال.
6. احسب طاقة كرة مشحونة بانتظام
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
نطبق الفكرة على مثال كرة نصف قطرها R، ولها كثافة شحنة حجمية منتظمة ρ₀.
من قانون غاوس نعرف المجال الكهربائي داخل الكرة وخارجها.
خارج الكرة (r ≥ R): E ∝ R³/r².
داخل الكرة (r ≤ R): E ∝ r.
بعد ذلك نحصل على الجهد باختيار الجهد صفرا عند اللانهاية، مع شرط الاستمرارية عند r يساوي R.
خارج الكرة V ∝ 1/r.
داخل الكرة V ∝ 3R² − r².
الطاقة داخل الكرة W = ½ε₀∫E² dv.
النتيجة تتناسب مع ρ₀²R⁵/ε₀.
هذا المثال يربط قانون غاوس، والجهد، وكثافة الطاقة في مسألة واحدة.
نص الشرح الصوتي
نطبق الفكرة على مثال كرة نصف قطرها R، ولها كثافة شحنة حجمية منتظمة rho zero. من قانون غاوس نعرف المجال الكهربائي داخل الكرة وخارجها. خارج الكرة، عندما r أكبر من أو يساوي R، المجال يتناسب مع R تكعيب على r تربيع. داخل الكرة، عندما r أصغر من أو يساوي R، المجال يتناسب مع r. بعد ذلك نحصل على الجهد باختيار الجهد صفرا عند اللانهاية، مع شرط الاستمرارية عند r يساوي R. خارج الكرة يكون V متناسبا مع واحد على r. داخل الكرة نحصل على تعبير يعتمد على ثلاثة R تربيع ناقص r تربيع. لإيجاد الطاقة المخزنة داخل الكرة نستعمل كثافة الطاقة: نصف epsilon zero تكامل E تربيع d v. بالتعويض والتكامل في الإحداثيات الكروية نحصل على نتيجة نهائية تتناسب مع rho zero تربيع و R أس خمسة على epsilon zero. هذا المثال يربط قانون غاوس، والجهد، وكثافة الطاقة في مسألة واحدة.
7. راجع علاقات ثنائي القطب والطاقة
يضعف مجال ثنائي القطب مثل 1/r³، وتتوزع الطاقة الكهروستاتيكية حيث يوجد المجال.
نلخص النتائج الأساسية.
عزم ثنائي القطب p = Qd ويتجه من −Q إلى +Q.
جهد ثنائي القطب ∝ 1/r² ومجاله ∝ 1/r³.
خطوط الفيض تكون دائما عمودية على أسطح تساوي الجهد.
طاقة التجميع W_E = ½ΣₖQₖVₖ.
بصيغة المجال W_E = ½∫D·E dv.
في الفراغ w_E = ½ε₀E².
في الدرس القادم نبدأ الفصل الخامس: المجالات الكهربائية داخل المواد، مثل الموصلات والعوازل وشروط الحدود.
نص الشرح الصوتي
نلخص النتائج الأساسية. عزم ثنائي القطب هو p يساوي Q d، واتجاهه من الشحنة السالبة إلى الشحنة الموجبة. جهد ثنائي القطب يضعف مثل واحد على r تربيع، ومجاله يضعف مثل واحد على r تكعيب. خطوط الفيض تكون دائما عمودية على أسطح تساوي الجهد. طاقة تجميع الشحنات تكتب W E يساوي نصف مجموع Q k V k. وبصيغة المجال تصبح W E يساوي نصف تكامل D dot E d v. أما كثافة الطاقة فهي w E يساوي نصف epsilon zero E تربيع في الفراغ. في الدرس القادم نبدأ الفصل الخامس: المجالات الكهربائية داخل المواد، مثل الموصلات والعوازل وشروط الحدود.