Devre Teorisi 2 · Transfer fonksiyonu ve impuls cevabı

#19 Sıfır-durum LTI giriş-çıkış bağıntısı, nedensel RC cevabı, konvolüsyon ve kutuplar

RC devresinin gerilim transfer fonksiyonunu ve nedensel impuls cevabını türet; konvolüsyonu sıradan çarpmadan ayır.

Soru

Mevcut Türkçe final videodan incelenmiş RC transfer fonksiyonu, impuls cevabı veya konvolüsyon referans karesi. — Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.

İdeal, toplu parametreli, doğrusal ve zamanla değişmeyen bir devrede sabit pozitif R ve C kullan. Girişi gerilim v_i, çıkışı kondansatör gerilimi v_o olarak aynı referansa göre seç. Yalnız çıkışın kondansatör gerilimi olması, boyutsuz bir gerilim oranını garanti etmez; giriş de gerilim olmalıdır. Kaynak anlatımın bu kısaltılmış varsayımı manuel öğretim QA notu olarak açıktır; say ve ses değiştirilmedi. Sıfır-eksi unilateral başlangıç koşulu v_o(0−)=0 ve bağımlı kaynak bağıntıları korunur. KCL: (v_i−v_o)/R=C dv_o/dt; dolayısıyla RC dv_o/dt+v_o=v_i. τ=RC>0 altında (τs+1)V_o=V_i ve H=V_o/V_i=1/(τs+1). D_o çıkış türevinin dönüşümüdür ve bu sıfır-eksi durumda D_o=sV_o. H bu örnekte boyutsuzdur; akım çıkışı/gerilim girişi transfer admitansının birimi siemens olur. Nedensel RC yakınsama bölgesi Re(s)>−1/τ. a=1/τ>0 ile h(t)=a exp(−at)u(t), yani (1/τ)exp(−t/τ)u(t). Normalize birim-alanlı impulsun dönüşümü birdir. Bu gerilim-oranı sisteminde h'nin birimi ters zamandır; fiziksel impuls girdisi gereken volt-saniye ölçeğini taşır. Birim impuls nedeniyle h(0+)=1/τ olur; bu h(0−)=0 ile tutarlıdır. Bu uyarımda sıfır-eksi yerine sıfır-artı koyma, orijin impulsunu başlangıç koşuluyla iki kez sayma. t>0 için τh′+h=0; orijin üzerinden integral τh(0+)=1 verir. u(0)'ın tek noktadaki seçimi dönüşümü değiştirmez. İntegralin var olduğu nedensel sıradan girişler için y(t)=∫_0^t x(ξ)h(t−ξ)dξ; bu konvolüsyondur, anlık x(t)h(t) çarpımı değildir. Ortak dönüşüm bölgesinde Y=XH. Ortak formül motorunda ASCII yıldız sıradan çarpma olarak yorumlanabildiği için tam konvolüsyon integrali gösterilir; motora ders-özel kestirme eklenmez. Genel dağılımlar için uygun dağılımsal konvolüsyon gerekir. Tam cevap bağımsız sıfır-giriş cevabını da içerebilir. Kutup/sıfır belirlemeden rasyonel H'yi sadeleştir; giriş-çıkış iptalleri iç modları gizleyebilir ve iç kararlılığı kanıtlamaz. RC örneğinde sonlu sıfır yok, tek kutup−1/τ,DCkazanç1 ve yüksek frekans zayıflaması vardır. Kararlı nedensel ROC sanal ekseni içerir; H(jω) değerlendirilebilir. Mevcut Türkçe final videonun dokuz karesi tek tek incelendi ve aynı sahneye ait özgün kareler korundu. Tek satır kesirler,tau yazısı,altçizgi,caret ve ters-dönüşüm düz yazısı kaynak raster tipografi sınırlarıdır; defterde tam formüller mevcut ortak motorla gösterilir. Kaynak anlatım,dokuz MP3 ve48özgün hizalanmış cue aralığı değişmedi. Cached-small altı özgün/final pasaj ve small/large sekiz kısa pasaj incelendi. Konvolüsyonun s/Xs sembolleri kısa iki modelde korunur;smalluzun c/xc anomalisi asıl çıktıda kalır. İmpulsun negatif üssü large özgün/final ve uzun small finalde açık; kısa small xt yazımı bir ASR farklılığı olarak korunur. Bu yayınlanmamış taslaktır; tam insan dinleme, tam hareketli QA veya yayın onayı değildir.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Tam cevaptan sıfır-durum haritasını ayır
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Önceki derste düğüm ve çevre denklemlerini s-bölgesinde kurduk.
Tam cevap, giriş etkisinin yanında başlangıçta depolanmış enerjinin cevabını da içerir.
Şimdi doğrusal ve zamanla değişmeyen devrenin giriş-çıkış özelliğini ayıralım.
Girişi, çıkışı ve bunların referans yönlerini açıkça seç.
Transfer fonksiyonu, seçilen giriş ile çıkış arasındaki sıfır-durum bağıntısıdır.
Bağımsız başlangıç enerjisini sıfır al; bağımlı kaynakların bağıntılarını kaldırma.
Sesli anlatım metni
Geçen derste düğüm ve çevre denklemlerini doğrudan s bölgesinde yazdık. Bu bize başlangıç enerjisinden gelen kaynak terimleriyle beraber tam cevabı veriyordu. Bugün farklı bir soru soruyoruz. Giriş buysa ve çıkış buysa, bu ikisini bağlayan tekrar kullanılabilir harita nedir? Bu haritaya transfer fonksiyonu diyoruz. Temiz bir harita elde etmenin bedeli basit ama çok önemli: başlangıçtaki depolanmış enerji sıfır alınır.
2. Giriş, çıkış ve transfer fonksiyonunu tanımla
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
LTI devrede sıfır başlangıç durumu altında:
$\displaystyle H\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}$
X, seçilen girişin Laplace dönüşümüdür.
Y, seçilen çıkışın Laplace dönüşümüdür.
Giriş de gerilim ve çıkış kondansatör gerilimi seçilirse:
$\displaystyle H\left(s\right)=\frac{V_{o}\left(s\right)}{V_{i}\left(s\right)}$
Gerilim girişine karşı akım çıkışı, siemens biriminde transfer admitansı verebilir.
Oranın birimi ve giriş-çıkış seçimi önemlidir; her oran transfer fonksiyonu değildir.
Transfer fonksiyonu, bağımsız başlangıç durumundan doğan cevap terimlerini içermez.
Sesli anlatım metni
Transfer fonksiyonu, sıfır başlangıç koşulları altında H s eşittir Y s bölü X s oranıdır. X seçilen giriştir. Y seçilen çıkıştır. Çıkış bir kondansatör gerilimiyse H bir gerilim oranıdır. Çıkış bir akımsa H, akım bölü gerilim de olabilir. Bu yüzden görünen her orana transfer fonksiyonu demiyoruz. Mutlaka sıfır durumlu bir giriş çıkış oranı olmalı.
3. RC alçak geçirenin giriş-çıkış yasasını yaz
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
İdeal, sabit ve pozitif R ile C içeren RC alçak geçiren devreyi kullan.
Gerilim girişi seri direnci sürer; kondansatör çıkış düğümünü ortak referansa bağlar.
Giriş ve kondansatör çıkış gerilimlerini aynı referansa göre ölç.
Pasif dal akımlarıyla çıkış düğümünde KCL:
$\displaystyle \frac{v_{i}\left(t\right)-v_{o}\left(t\right)}{R}=\frac{C d v_{o}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$
Çıkış terimlerini topla:
$\displaystyle \frac{R C d v_{o}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}+v_{o}\left(t\right)=v_{i}\left(t\right)$
Sesli anlatım metni
Klasik RC alçak geçiren devreyi kullanalım. Kaynak seri bir direnci sürüyor, sonra düğümden toprağa bir kondansatör bağlı. Çıkış, kondansatör gerilimi. Çıkış düğümünde direnç akımı kondansatör akımına eşittir: V giriş eksi V çıkış, bölü R; C çarpı d V çıkış bölü d t'ye eşit. Terimleri topladığımızda R C çarpı d V çıkış bölü d t artı V çıkış eşittir V giriş elde ederiz.
4. Sıfır başlangıç gerilimiyle dönüşüm al
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Sıfır-eksi unilateral dönüşümünde kondansatörün başlangıç gerilimi:
$\displaystyle v_{o}\left(0^{-}\right)=0$
Çıkış türevinin dönüşümünü D_o ile gösterelim:
$\displaystyle D_{o}\left(s\right)=s V_{o}\left(s\right)$
Giriş-çıkış denkleminin dönüşümü:
$\displaystyle \left(R C s+1\right)V_{o}\left(s\right)=V_{i}\left(s\right)$
Boyutsuz gerilim transfer fonksiyonu:
$\displaystyle H\left(s\right)=\frac{V_{o}\left(s\right)}{V_{i}\left(s\right)}=\frac{1}{R C s+1}$
Pozitif zaman sabiti ve negatif gerçek kutup:
$\displaystyle \tau =R C, H\left(s\right)=\frac{1}{\tau s+1}, p=-\frac{1}{\tau }$
Sesli anlatım metni
Şimdi başlangıç kondansatör gerilimini sıfır alarak Laplace dönüşümü yapalım. Türev, s çarpı V çıkış s olur; ekstra başlangıç koşulu terimi gelmez. Bu yüzden parantez içinde R C s artı bir, çarpı V çıkış eşittir V giriş. Dolayısıyla H s eşittir V çıkış bölü V giriş, yani bir bölü R C s artı bir. Tau eşittir R C dersek, H s bir bölü tau s artı bir olur ve kutup eksi bir bölü tau noktasındadır.
5. Nedensel impuls cevabını bul
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Başlangıçta enerjisiz nedensel sisteme normalize birim-alanlı impuls uygula:
$\displaystyle x\left(t\right)=\delta \left(t\right)$
İmpulsun dönüşümü bir olduğundan:
$\displaystyle X\left(s\right)=1, Y\left(s\right)=H\left(s\right)$
H'nin nedensel yakınsama bölgesiyle ters dönüşümü impuls cevabını verir.
Pozitif sönüm oranıyla eşdeğer RC impuls cevabı:
$\displaystyle a=\frac{1}{\tau }, h\left(t\right)=a e^{-a t}u\left(t\right)$
Bu sıfır-durum cevabıdır; impulsun oluşturduğu sağ-limit sıçraması, sıfır-eksi başlangıç durumunu değiştirmez.
Sesli anlatım metni
İmpuls cevabı şu soruyu sorar: giriş ideal delta t impulsu olursa çıkış ne olur? Delta t'nin Laplace dönüşümü bir olduğu için, s bölgesindeki çıkış doğrudan H s olur. Bu nedenle impuls cevabı h t, H s'nin ters Laplace dönüşümüdür. RC alçak geçiren için h t eşittir bir bölü tau çarpı e üzeri eksi t bölü tau, çarpı u t. Bu, devrenin sıfır durumlu parmak izidir.
6. İmpuls cevabını farklı girişlerde kullan
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Tek bir impuls cevabı, farklı girişlerin sıfır-durum cevaplarını hesaplamayı sağlar.
Nedensel ve integralin var olduğu sıradan girişlerde konvolüsyon:
$\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{t} x\left(\xi \right) h\left(t-\xi \right) \mathrm{d}\xi$
Zamandaki konvolüsyon, ortak dönüşüm bölgesinde çarpmaya dönüşür:
$\displaystyle Y\left(s\right)=X\left(s\right)H\left(s\right)$
Aynı LTI haritayı uygun girişlerde yeniden kullan; konvolüsyon integralini anlık değerlerin çarpımıyla karıştırma.
Sesli anlatım metni
Peki bu neden güçlü? h t'yi bildiğimizde her sıfır durumlu çıkışı bir konvolüsyon olarak yazabiliriz: y t eşittir x t konvolüsyon h t. s bölgesinde bu konvolüsyon çarpmaya dönüşür: Y s eşittir X s çarpı H s. Yani transfer fonksiyonu sadece bir formül değil, girişten çıkışa tekrar kullanılan kısa yoldur.
7. Sadeleştirilmiş transfer fonksiyonunu oku
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Giriş-çıkış çifti sabitken kutup ve sıfırları sadeleştirilmiş transfer fonksiyonundan oku.
Ortak polinom çarpanları sadeleştirildikten sonra payda kökleri transfer kutuplarıdır.
Pay kökleri transfer sıfırlarıdır; giriş-çıkış iptalleri görünmeyen iç modların kararlılığını kanıtlamaz.
Bu pozitif RC devresinde sonlu sıfır yoktur ve tek kutup vardır:
$\displaystyle H\left(s\right)=\frac{1}{\tau s+1}, p=-\frac{1}{\tau }$
Nedensel doğal mod üstel söner; RC alçak geçirenin yüksek frekanstaki büyüklüğü sıfıra yaklaşır.
Sesli anlatım metni
Aynı H s davranışı da açıklar. Paydanın kökleri kutuplardır ve doğal modları üretir. Payın kökleri sıfırlardır; girişin hangi kısımlarının geçeceğini, sönümleneceğini veya vurgulanacağını şekillendirir. RC alçak geçiren devrede sonlu sıfır yoktur ve eksi bir bölü tau noktasında tek kutup vardır. Bu tek kutup hem üstel sönümü hem de yüksek frekans zayıflamasını verir.
8. Giriş-çıkış ve başlangıç durumu koşullarını koru
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Dört temel varsayımı açık tut.
Bağımsız başlangıç koşulu kaynak terimlerini transfer fonksiyonuna katma.
Hem girişi hem çıkışı belirt; farklı seçimler farklı oran ve birimler verebilir.
Tam cevabı, yalnız sıfır-durum giriş-çıkış haritasıyla karıştırma.
İmpuls cevabı da aynı başlangıçta enerjisiz LTI sistemi ve uygun nedensel yakınsama bölgesini kullanır.
Sesli anlatım metni
Dört tuzağı özellikle ayıralım. Birincisi, başlangıç koşulu kaynak terimlerini transfer fonksiyonunun içine koyma. İkincisi, girişi ve çıkışı mutlaka açık söyle; çünkü çıkışı değiştirirsen H s de değişir. Üçüncüsü, tam cevap ile sıfır durum haritasını karıştırma. Dördüncüsü, impuls cevabının H s'nin ters dönüşümü olması aynı sıfır başlangıç koşulu varsayımına bağlıdır.
9. Transfer fonksiyonu, impuls cevabı ve konvolüsyonu bağla
Mevcut videonun özgün referansı. Raster yazım korunur; defterdeki formüller ortak matematik motoruyla ve açık sıfır-durum koşullarıyla gösterilir.
Özet: aynı devre bağıntısının iki eşdeğer bölgedeki ifadesi.
Seçilen giriş-çıkış çifti ve sıfır başlangıç durumu için:
$\displaystyle H\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{X\left(s\right)}$
RC gerilim alçak geçiren için:
$\displaystyle \tau =R C, H\left(s\right)=\frac{1}{\tau s+1}$
Nedensel ters dönüşümle impuls cevabı:
$\displaystyle a=\frac{1}{\tau }, h\left(t\right)=a e^{-a t}u\left(t\right)$
Uygun girişlerde sıfır-durum cevabını konvolüsyonla bul; bağımsız başlangıç durumu cevabını ayrıca ekle.
Sonraki derste bu kararlı ve nedensel RC devresinin sanal eksendeki transfer fonksiyonundan frekans cevabını incele.
Sesli anlatım metni
Özet. Transfer fonksiyonu, sıfır durum altında Y s bölü X s oranıdır. RC alçak geçiren için H s eşittir bir bölü tau s artı bir. İmpuls cevabı bu haritanın zaman bölgesindeki halidir: h t eşittir H s'nin ters Laplace dönüşümü. Ve herhangi bir giriş için sıfır durumlu çıkış, giriş ile impuls cevabının konvolüsyonudur. Sonraki derste H s üzerinden frekans davranışını doğrudan okuyacağız.