#10 Sıfır başlangıç koşullarında LTI diferansiyel denklemlerinden transfer fonksiyonunun tanımlanması; mertebe, bağıl derece ve RC, RLC, DC motor örnekleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Transfer fonksiyonu dersinin hedefini kur

   

   Herkese merhaba.

   Kontrol teorisi kursumuzun onuncu dersine hoş geldiniz.

   Bu derste, doğrusal bir sistemin giriş çıkış davranışını Laplas alanında tanımlayan güçlü bir araç olan transfer fonksiyonunu öğreneceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Herkese merhaba. Kontrol teorisi kursumuzun onuncu dersine hoş geldiniz. Bu derste, doğrusal bir sistemin giriş çıkış davranışını Laplas alanında tanımlayan güçlü bir araç olan transfer fonksiyonunu öğreneceğiz.

2. 2. Sistem operatörünü giriş–çıkış eşlemesiyle tanımla

   

   Her dinamik sistem, bir giriş sinyali u t'yi, bir çıkış sinyali y t'ye dönüştürür.

   Bunu y(t)=S[u(t)] biçiminde yazarız.

   Burada S, sistem operatörüdür.

   Operatör, sistemin girişe yaptığı her şeyi temsil eder.

   Sesli anlatım metni

   Her dinamik sistem, bir giriş sinyali u t'yi, bir çıkış sinyali y t'ye dönüştürür. Bunu y t eşittir S, u t şeklinde yazarız. Burada S, sistem operatörüdür. Operatör, sistemin girişe yaptığı her şeyi temsil eder.

3. 3. Kazanç, integratör ve türev alıcıyı karşılaştır

   

   Üç temel operatör vardır.

   Oransal kazanç:

   $\displaystyle y\left(t\right)=K\cdot u\left(t\right).$

   İntegratör:

   $\displaystyle y\left(t\right)=\int u\left(t\right)\mathrm{d}t.$

   Türev alıcı: y(t)=du(t)/dt.

   Sonlu mertebeli, sabit katsayılı LTI sistemler bu temel bloklardan kurulabilir.

   Sesli anlatım metni

   Üç temel operatör vardır. Birincisi, oransal kazanç; burada y eşittir K çarpı u'dur. İkincisi, integratör; burada y, u'nun integraline eşittir. Ve üçüncüsü, türev alıcı; burada y, u'nun türevine eşittir. Her doğrusal sistem bu temel bloklardan oluşturulabilir.

4. 4. Zaman alanından Laplas alanına geçişi kur

   

   Şimdi zaman alanından Laplas alanına geçiyoruz.

   Hatırlayın, Laplas dönüşümü bir zaman fonksiyonunu karmaşık değişken s'nin bir fonksiyonuna çevirir.

   Sıfır başlangıç koşullarında d/dt→s ve ∫dt→1/s olur.

   Böylece diferansiyel denklemler cebirsel denklemlere dönüşür.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi zaman alanından Laplas alanına geçiyoruz. Hatırlayın, Laplas dönüşümü bir zaman fonksiyonunu karmaşık değişken s'nin bir fonksiyonuna çevirir. Türev almak s ile çarpmaya, integral almak ise s'ye bölmeye dönüşür. Böylece diferansiyel denklemler cebirsel denklemlere dönüşür.

5. 5. Genel LTI diferansiyel denklemini Laplas alanına taşı

   

   Genel bir doğrusal zamanla değişmeyen diferansiyel denklemi düşünelim.

   Sol tarafta n'inci mertebeye kadar çıkış türevleri, sağ tarafta m'inci mertebeye kadar giriş türevleri vardır.

   Sıfır başlangıç koşullarıyla Laplas dönüşümü uyguladığımızda, y'nin her türevi s'nin bir kuvveti çarpı Y s olur; giriş tarafı için de aynı şey geçerlidir.

   Sesli anlatım metni

   Genel bir doğrusal zamanla değişmeyen diferansiyel denklemi düşünelim. Sol tarafta n'inci mertebeye kadar çıkış türevleri, sağ tarafta m'inci mertebeye kadar giriş türevleri vardır. Sıfır başlangıç koşullarıyla Laplas dönüşümü uyguladığımızda, y'nin her türevi s'nin bir kuvveti çarpı Y s olur; giriş tarafı için de aynı şey geçerlidir.

6. 6. G(s)=Y(s)/U(s)=B(s)/A(s) tanımını elde et

   

   Laplas dönüşümünden sonra, sol taraftan Y s'yi ve sağ taraftan U s'yi çarpan olarak ayırabiliriz.

   Y(s)/U(s) oranı transfer fonksiyonu G(s)'yi verir.

   $\displaystyle G\left(s\right)=\frac{Y\left(s\right)}{U\left(s\right)}=B\left(s\right)/A\left(s\right).$

   Burada B pay polinomu, A ise payda polinomudur.

   Sesli anlatım metni

   Laplas dönüşümünden sonra, sol taraftan Y s'yi ve sağ taraftan U s'yi çarpan olarak ayırabiliriz. Y s bölü U s oranı bize transfer fonksiyonu G s'yi verir. G s, B s bölü A s'ye eşittir. Burada B pay polinomu, A ise payda polinomudur.

7. 7. Transfer fonksiyonu blok gösterimini kur

   

   Transfer fonksiyonunu bir blok diyagram olarak gösteririz.

   Giriş U s, üzerinde G s yazan dikdörtgen bir bloğa girer ve çıkış Y s olarak çıkar.

   Bu basit gösterim bize tam giriş çıkış ilişkisini anlatır.

   $\displaystyle Y\left(s\right)=G\left(s\right)\cdot U\left(s\right).$

   Sesli anlatım metni

   Transfer fonksiyonunu bir blok diyagram olarak gösteririz. Giriş U s, üzerinde G s yazan dikdörtgen bir bloğa girer ve çıkış Y s olarak çıkar. Bu basit gösterim bize tam giriş çıkış ilişkisini anlatır. Çıkış, basitçe G s çarpı U s'dir.

8. 8. Mertebe ve bağıl dereceye göre sınıflandır

   

   Birkaç önemli özellik.

   Transfer fonksiyonunun mertebesi n'dir, yani payda polinomunun derecesidir.

   Bağıl derece r=n−m'dir.

   r>0 ise transfer fonksiyonu tam özdür.

   r=0 ise transfer fonksiyonu özdür.

   Uygulamada en sık karşılaşılan transfer fonksiyonları öz ve tam öz olanlardır.

   Sesli anlatım metni

   Birkaç önemli özellik. Transfer fonksiyonunun mertebesi n'dir, yani payda polinomunun derecesidir. Bağıl derece ise n eksi m'dir. Bağıl derece pozitifse, transfer fonksiyonu tam anlamıyla öz'dür. Sıfır ise, fonksiyon öz'dür. Uygulamada en sık karşılaşılan transfer fonksiyonları öz ve tam öz olanlardır.

9. 9. Paralel RC devresinin transfer fonksiyonunu türet

   

   Bir örnek görelim.

   Akım girişli paralel RC devresinde C·dy/dt+(1/R)y=u.

   Laplas alanında (sC+1/R)Y(s)=U(s).

   G(s)=1/(sC+1/R).

   Bu, birinci derece bir transfer fonksiyonudur.

   Sesli anlatım metni

   Bir örnek görelim. Girişi akım, çıkışı gerilim olan bir Ar Si devresinde, diferansiyel denklem; C çarpı d y bölü d t, artı bir bölü R çarpı y, eşittir u şeklindedir. Laplas dönüşümü uyguladığımızda, s C çarpı Y s artı bir bölü R çarpı Y s eşittir U s olur. Oranı çözdüğümüzde, G s eşittir bir bölü s C artı bir bölü R olur. Bu, birinci derece bir transfer fonksiyonudur.

10. 10. Paralel RLC devresinin transfer fonksiyonunu türet

    

    Şimdi akım girişli paralel RLC devresini düşünelim.

    C·d²y/dt²+(1/R)·dy/dt+(1/L)y=du/dt.

    $\displaystyle G\left(s\right)=s/\left(Cs²+\frac{s}{R}+\frac{1}{L}\right).$

    Bu, ikinci derece bir transfer fonksiyonudur.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi bir Ar El Si devresini düşünelim. Diferansiyel denklem ikinci derecedir: C çarpı d kare y bölü d t kare, artı bir bölü R çarpı d y bölü d t, artı bir bölü L çarpı y, eşittir d u bölü d t. Laplas dönüşümü sonucunda G s eşittir s bölü s kare C artı s bölü R artı bir bölü L olur. Bu, ikinci derece bir transfer fonksiyonudur.

11. 11. DC motoru Laplas transfer bloklarıyla kur

    

    Daha önce incelediğimiz Di Si motorda, sistem birden fazla döngüye sahiptir.

    Her döngünün kendi transfer fonksiyonu bloğu vardır.

    1/(L_a s) bloğu armatür akım dinamiğini, cφ kazancı akımdan torka dönüşümü ve 1/(Js) bloğu mekanik hız dinamiğini temsil eder.

    Bu blokları birleştirerek motorun tam transfer fonksiyonunu elde edebiliriz.

    Sesli anlatım metni

    Daha önce incelediğimiz Di Si motorda, sistem birden fazla döngüye sahiptir. Her döngünün kendi transfer fonksiyonu bloğu vardır. Bir bölü L a s integratörü armatür indüktansını, c fi F kazancı akımdan torka dönüşümü ve bir bölü J s integratörü mekanik tarafı temsil eder. Bu blokları birleştirerek motorun tam transfer fonksiyonunu elde edebiliriz.

12. 12. İntegratörün 1/s Laplas eşdeğerini kur

    

    Önemli bir noktaya dikkat edin.

    Zaman alanı blok diyagramındaki integratörleri Laplas eşdeğerleriyle değiştirdik.

    Sıfır başlangıç koşullarında zaman alanındaki integratör, Laplas alanında 1/s olur.

    Kazanç blokları aynı kalır ve genel yapı korunur.

    Böylece temiz bir transfer fonksiyonu gösterimi elde ederiz.

    Sesli anlatım metni

    Önemli bir noktaya dikkat edin. Zaman alanı blok diyagramındaki integratörleri Laplas eşdeğerleriyle değiştirdik. Zaman alanındaki bir integratör, Laplas alanında bir bölü s olur. Kazanç blokları aynı kalır ve genel yapı korunur. Böylece temiz bir transfer fonksiyonu gösterimi elde ederiz.

13. 13. Transfer fonksiyonu akışını toparla

    

    Harika.

    Bu derste G(s)'nin sıfır başlangıç koşullarındaki LTI giriş–çıkış ilişkisini ifade ettiğini öğrendik.

    Transfer fonksiyonu G(s)=Y(s)/U(s), sıfır başlangıç koşullarında çıkışın girişe oranıdır.

    Ar Si, Ar El Si ve Di Si motor sistemleri için örnekler gördük.

    Bir sonraki derste impuls yanıtı ve konvolüsyonu keşfedeceğiz.

    Orada görüşürüz.

    Sesli anlatım metni

    Harika. Bu derste, transfer fonksiyonu G s'nin doğrusal bir sistemin tam giriş çıkış davranışını yakaladığını öğrendik. Transfer fonksiyonu, Laplas alanında çıkışın girişe oranıdır. Ar Si, Ar El Si ve Di Si motor sistemleri için örnekler gördük. Bir sonraki derste impuls yanıtı ve konvolüsyonu keşfedeceğiz. Orada görüşürüz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #10 — Transfer Fonksiyonu Kavramı (4:52)