#07 İşlevsel tamlık, bağlı input ile tersleme ve yalnız NAND devre gerçekleştirmesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Universal kapı ailesinin işlevsel tamlık koşulunu kur

   

   Universal = işlevsel olarak tam kapı ailesi

   Amaç: her Boolean fonksiyonunu tek aileyle kurabilmek

   NOT: bir biti tersler

   AND: bütün gerekli koşullar 1 ise 1 üretir

   OR: en az bir koşul 1 ise 1 üretir

   NOT, AND ve OR her Boolean ifadeyi kurmaya yeter

   NAND(A,B)=¬(A·B)

   NOR(A,B)=¬(A+B)

   Çıkıştaki küçük daire terslemedir

   Sesli anlatım metni

   Önce universal gate ifadesinin ne anlama geldiğini netleştirelim. Universal, yani işlevsel olarak tam bir kapı ailesi, her Boolean fonksiyonunu kurabilecek kadar güçlüdür. Bunun nedenini anlamak için üç temel işlemi hatırla. NOT bir biti tersler. AND, bütün gerekli koşullar bir olduğunda bir üretir. OR ise koşullardan en az biri bir olduğunda bir üretir. Her Boolean ifade bu üç işlem kullanılarak yazılabildiği için, tek bir kapı ailesi NOT, AND ve OR'u yeniden kurabiliyorsa başka her ifadeyi de kurabilir. NAND önce AND işlemini yapar, sonra sonucu tersler. NOR önce OR işlemini yapar, sonra sonucu tersler. Sembolde çıkışın yanındaki küçük daire bu tersleme işlemidir; yalnızca bir süs değildir.

2. 2. Input'ları bağlayıp tek NAND veya NOR ile NOT kur

   

   A sinyalini iki input'a birden bağla

   Bağlantı noktası tek elektriksel düğümü gösterir

   NAND ile:

   $\displaystyle Y=¬\left(A\cdot A\right)$

   İdempotent kural:

   $\displaystyle A\cdot A=A$

   A=0 ve A=1 için çarpım yine A'dır

   Sonuç: A NAND A=¬A

   NOR ile:

   $\displaystyle Y=¬\left(A+A\right)$

   A+A=A olduğundan A NOR A=¬A

   Bağlı input'lu NAND veya NOR inverter olur

   Sesli anlatım metni

   İlk olarak NAND veya NOR kapısından bir NOT kapısı yapalım. NAND'ın iki ayrı input pini vardır. A sinyalini yalnızca bir pine değil, bir kablo dalı oluşturarak iki pine birden bağlıyoruz. Siyah nokta, bu iki kablonun aynı elektriksel düğüme ait olduğunu gösterir. Böylece kapı A AND A işlemini yapar ve sonucu tersler. Boolean cebirinde A AND A her zaman A'dır: A sıfırsa ikisi de sıfır, A birse ikisi de birdir. Bu nedenle NAND çıkışı A prime, yani NOT A olur. NOR için de A OR A her zaman A'dır. NOR bu sonucu terslediğinde yine A prime elde edilir. Demek ki tek bir NAND veya tek bir NOR, input'ları birbirine bağlandığında inverter olarak çalışabilir.

3. 3. İki kapıyla AND ve OR temel işlemlerini geri al

   

   İlk NAND:

   $\displaystyle N₁=¬\left(A\cdot B\right)$

   N₁'i ikinci NAND'ın iki input'una bağla

   $\displaystyle Y=¬N₁=¬¬\left(A\cdot B\right)=A\cdot B$

   İki NAND ile gerçek AND kuruldu

   İlk NOR:

   $\displaystyle M₁=¬\left(A+B\right)$

   M₁'i ikinci NOR'un iki input'una bağla

   $\displaystyle Y=¬M₁=¬¬\left(A+B\right)=A+B$

   İki NOR ile gerçek OR kuruldu

   Çift tersleme temel işlemi geri getirir

   Sesli anlatım metni

   Şimdi kapı ailesinin temel işlemini geri getirelim. İlk NAND, A AND B'nin tersini üretir. Bu ara sinyali ikinci NAND'ın iki input'una birden bağlıyoruz. Bir önceki adımda gördüğümüz gibi input'ları bağlı bir NAND, NOT gibi çalışır. Yani ikinci NAND, ilk NAND'ın terslenmiş sonucunu bir kez daha tersler. İki tersleme birbirini götürür ve çıkışta A AND B kalır. Böylece iki NAND ile gerçek bir AND işlemi kurduk. NOR tarafında aynı mantık geçerlidir. İlk NOR, A OR B'nin tersini üretir. İkinci, input'ları bağlı NOR bu sonucu yeniden tersler ve A OR B'yi geri getirir. Artık NOT ile AND'i veya NOT ile OR'u kurabildiğimiz için De Morgan kuralları eksik olan üçüncü işlemi de sağlar.

4. 4. F=A·B+C fonksiyonunu yalnız üç NAND ile kur

   

   Hedef: F=A·B+C yalnız NAND ile

   Devreyi ara düğümlerle adım adım oku

   $\displaystyle N₁=¬\left(A\cdot B\right)$

   $\displaystyle N₂=¬\left(C\cdot C\right)=¬C$

   $\displaystyle F=¬\left(N₁\cdot N₂\right)$

   $\displaystyle F=¬\left(¬\left(A\cdot B\right)\cdot ¬C\right)$

   De Morgan:

   $\displaystyle F=¬¬\left(A\cdot B\right)+¬¬C$

   $\displaystyle F=A\cdot B+C$

   Toplam kapı sayısı: 3 NAND

   Sesli anlatım metni

   Şimdi F eşittir A çarpı B artı C fonksiyonunu yalnızca NAND kapılarıyla kuralım. Devreyi bir anda okumaya çalışma; her ara düğüme ayrı isim ver. Birinci NAND'ın input'ları A ve B'dir. Bu yüzden N bir, A çarpı B'nin tersidir. İkinci NAND'ın iki input'u da C'ye bağlıdır. C AND C, C'ye eşit olduğundan bu kapının çıkışı N iki eşittir C prime olur. Son NAND, N bir ve N iki sinyallerini alır ve bu iki sinyalin çarpımını tersler. Şimdi isimleri yerlerine koy: F, A çarpı B'nin tersi ile C prime'ın çarpımının tersidir. De Morgan kuralına göre dıştaki tersleme çarpımı toplama çevirir ve içteki terslemeleri kaldırır. Sonuç F eşittir A çarpı B artı C'dir. Böylece ayrı NOT, AND veya OR sembolü kullanmadan üç NAND ile fonksiyonu kurduk.

5. 5. Doğrudan ifade ile NAND devresini sekiz satırda doğrula

   

   3 input → 2³=8 truth table satırı

   Her satırda önce A·B değerini hesapla

   Doğrudan ifade:

   $\displaystyle F=A\cdot B+C$

   Devre düğümü:

   $\displaystyle N₁=¬\left(A\cdot B\right)$

   Devre düğümü:

   $\displaystyle N₂=¬C$

   Devre çıkışı:

   $\displaystyle F=¬\left(N₁\cdot N₂\right)$

   110 satırı: A·B=1 → doğrudan F=1

   110 satırı: N₁=0, N₂=1 → NAND=1

   Çıkışlar: 0,1,0,1,0,1,1,1 → tam eşleşme

   Sesli anlatım metni

   Devrenin çizilmiş olması doğru olduğu anlamına gelmez; şimdi sekiz input kombinasyonunun tamamını kontrol edelim. Üç input olduğu için iki üzeri üç, yani sekiz satır vardır. Her satırda önce A çarpı B'yi hesapla. Sonra doğrudan ifade için bu değere C'yi OR ile ekle. Devre tarafında N bir, A çarpı B'nin tersidir; N iki, C'nin tersidir. Son sütun, N bir ile N ikinin NAND sonucudur. Örneğin A bir, B bir, C sıfır satırında A çarpı B birdir. Doğrudan F bu nedenle birdir. Devrede N bir sıfır, N iki bir olur; sıfır ile birin NAND sonucu yine birdir. Son satırda C de bir olduğunda iki yöntem yine bir verir. Tablodaki sekiz satırın tamamında doğrudan sonuç ile devre sonucu eşleşiyorsa uygulamamız doğrulanmıştır.

6. 6. Universal NAND ve NOR gerçekleştirme akışını toparla

   

   1) Input'ları bağla → NAND veya NOR, NOT olur

   A NAND A=¬A ve A NOR A=¬A

   2) İlk sonucu ikinci kez tersle

   İki NAND → AND; iki NOR → OR

   3) De Morgan ile çarpım ve toplamı dönüştür

   Pratik yarar: tekrarlanan standart hücrelerle tasarım

   Sonraki ders: kombinasyonel decoder ve encoder blokları

   Sesli anlatım metni

   Universal kapılar için üç adımı aklında tut. Birincisi, iki input'u aynı sinyale bağlarsan NAND veya NOR bir NOT kapısına dönüşür. İkincisi, bir NAND veya NOR sonucunu aynı aileden bağlı input'lu ikinci bir kapıyla tekrar terslersen temel AND veya OR işlemini geri alırsın. Üçüncüsü, De Morgan kuralıyla çarpım ve toplam yapılarını tek kapı ailesi içinde birbirine dönüştürebilirsin. Universal gate kullanmanın pratik yararı, gerçek devreleri az sayıda tekrarlanan standart hücreyle kurabilmektir. Sonraki derste tek tek kapılardan daha büyük kombinasyonel bloklara geçecek; decoder ve encoder yapılarını inceleyeceğiz.

Kaynak video: Dijital Tasarim #07 | NAND ve NOR Neden Universal Kapidir? (5:13)