التصميم الرقمي · شمولية بوابات NAND وNOR

#07 بناء العمليات الأساسية بعائلة واحدة والتحقق من تنفيذ دالة بثلاث بوابات NAND

ابن NOT وAND وOR من NAND وحدها أو NOR وحدها، ثم تحقق من كل صف في مثال ذي ثلاث بوابات.

السؤال

إطار كامل من الفيديو العربي الأصلي يعرض بناء العاكس أو العكس المزدوج أو شبكة NAND الثلاثية أو جدول الحقيقة الكامل. — تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.

اعمل ببوابات مثالية ذات مدخلين وبالمتغيرات الثنائية المستقلة A وB وC. الجمع في العبارات المنطقية هو OR الشامل، والنقطة AND، والشرطة العليا متممة كامل الحد أو المجموعة بين القوسين؛ ليست مشتقة. جمع بوليان ليس جمع الأعداد الصحيحة. التجاور AB يعني AND للمتغيرين. تكون عائلة البوابات مكتملة وظيفيا عندما تستطيع شبكات من عدد كاف من بواباتها تنفيذ أي دالة بوليانية ذات عدد منته من المداخل. لا يعني ذلك أن بوابة منفردة تنفذ كل دالة. تكفي NOT وAND وOR لأن جدول الحقيقة يمكن كتابته كمجموع بولياني لحدود الجداء. تشمل الدوال الثابتة: A مع متممتها يعطي صفرا بعملية AND وواحدا بعملية OR عند وجود مدخل متاح. تمثل دائرة الخرج الصغيرة العكس. عند وصل مدخلي NAND بالإشارة A نحصل على (A·A)'=A'، وعند وصل مدخلي NOR بها نحصل على (A+A)'=A'. تعني نقطة الوصل أن طرفي الدخول يتصلان بالعقدة الكهربائية نفسها؛ ليسا إشارتين مستقلتين ولا يترك أحدهما عائما. للحصول على AND ببوابتي NAND، عرّف X=(A·B)' ثم أوصل X إلى مدخلي NAND ثانية، فيكون Y=(X·X)'=X'=A·B. للحصول على OR ببوابتي NOR، ابدأ بـX=(A+B)' ثم اعكسه بـNOR موصولة المدخلين، فتحصل على A+B. يعود اسم X إلى عقدة محلية مختلفة في كل بناء؛ لا تخلط الدائرتين. لإنشاء OR ببوابات NAND فقط، اعكس A وB كلّا على حدة ثم أدخل المتممتين إلى NAND: (A'·B')'=A+B. وبالمثل يعطي NOR للمتممتين (A'+B')'=A·B. استخدم العدد اللازم من البوابات المتكررة والتوصيلات المناسبة؛ لا تحتاج رمزا منفصلا لعاكس. في المثال F=A·B+C، عرّف N₁=(A·B)' وN₂=(C·C)'=C'. تستقبل NAND الأخيرة الإشارتين المنفصلتين N₁ وN₂، فتعطي F=(N₁·N₂)'=((A·B)'·C')'=A·B+C. تشير المتممة في N₁ إلى الجداء AB كله، لا إلى B وحدها؛ لا تستبدلها بـA·B'. حافظ على الأقواس والمتممات في التعويض. لا تصل N₁ وN₂ كهربائيا بعضهما ببعض؛ إنهما مدخلا البوابة الأخيرة المنفصلان. رتب الصفوف 000,001,010,011,100,101,110,111. عمود A·B هو 0,0,0,0,0,0,1,1، وN₁ هو 1,1,1,1,1,1,0,0، وN₂ هو 1,0,1,0,1,0,1,0. يعطي كل من F المباشر وF من الدائرة 0,1,0,1,0,1,1,1. عندما تكون C واحدا يكون الخرج واحدا مهما كانت A وB؛ وعندما تكون C صفرا يكون الخرج A·B. في الصفين الأخيرين تكون A وB واحدا، فيكون F واحدا لقيمتي C. في الصف 111 يعطي OR واحدا وليس المجموع العددي اثنين. معادلة N=2^3=8 تخص عدد الصفوف بالحساب العادي، ولا تشير إلى إحدى العقدتين N₁ وN₂. يثبت تطابق الصفوف الثمانية الدالة البوليانية المستقرة المثالية. لا يثبت التأخير الفيزيائي أو حدود الجهد أو التحميل أو القدرة أو عدد الترانزستورات أو غياب الأخطار العابرة. تكفي ثلاث بوابات NAND للمثال؛ لا يلزم ادعاء أنها أقل مساحة أو أقل عدد بوابات في كل تقنية. decoder وencoder في الخاتمة تمهيد للموضوع التالي.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. معنى البوابات الشاملة
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
ابدأ بمعنى عائلة البوابات الشاملة.
تكون العائلة مكتملة وظيفيا إذا أمكن لشبكات منها تنفيذ أي دالة بوليانية ذات عدد منته من المداخل.
تكفي ثلاث عمليات أساسية لوصف جميع هذه الدوال.
تعكس NOT قيمة البت.
تعطي AND واحدا عندما تكون كل مداخلها واحدا.
تعطي OR الشاملة واحدا عندما يكون مدخل واحد على الأقل واحدا.
يمكن كتابة الدالة من جدول الحقيقة باستعمال NOT وAND وOR.
إذا أعادت عائلة واحدة بناء العمليات الثلاث أمكنها تنفيذ أي عبارة بوليانية.
خرج NAND ذات المدخلين:
$\displaystyle Y = \left(A\cdot B\right)'$
خرج NOR ذات المدخلين:
$\displaystyle Y = \left(A+B\right)'$
تمثل الدائرة الصغيرة عند الخرج عملية العكس، وهي جزء من رمز البوابة.
نص الشرح الصوتي
لنبدأ بتوضيح معنى البوابة الشاملة. نقول إن عائلة البوابات مكتملة وظيفيا عندما تستطيع بناء أي دالة Boolean. والسبب يعتمد على ثلاث عمليات أساسية. عملية NOT تعكس البت. وعملية AND تعطي واحدا عندما تكون كل الشروط المطلوبة واحدا. أما OR فتعطي واحدا عندما يكون شرط واحد على الأقل واحدا. يمكن كتابة أي عبارة Boolean بهذه العمليات الثلاث. لذلك إذا استطاعت عائلة واحدة إعادة بناء NOT و AND و OR، فإنها تستطيع بناء أي عبارة أخرى. تنفذ NAND عملية AND أولا ثم تعكس الناتج. وتنفذ NOR عملية OR أولا ثم تعكس الناتج. الدائرة الصغيرة عند خرج الرمز هي عملية العكس نفسها، وليست زينة.
2. صنع العاكس
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
ابن عاكسا باستعمال NAND واحدة أو NOR واحدة.
لبوابة NAND مدخلان؛ صل كليهما بالإشارة نفسها.
فرّع السلك الذي يحمل A إلى كلا المدخلين.
تعني نقطة الوصل أن المدخلين يتصلان بالعقدة الكهربائية نفسها.
خرج NAND بعد وصل المدخلين:
$\displaystyle Y = \left(A\cdot A\right)'$
تساوي AND للإشارة مع نفسها الإشارة نفسها في حالتي الصفر والواحد.
تطبيق هوية التكرار يعطي العاكس:
$\displaystyle Y = A'$
تساوي OR للإشارة مع نفسها الإشارة نفسها أيضا.
خرج NOR بعد وصل المدخلين:
$\displaystyle Y = \left(A+A\right)' = A'$
تنفذ كل من البنيتين NOT ببوابة واحدة ذات مدخلين موصولين معا.
نص الشرح الصوتي
سنصنع أولا بوابة NOT من NAND أو NOR. لبوابة NAND مدخلان منفصلان. نوصل الإشارة A إلى المدخلين معا بواسطة تفرع في السلك. وتبين النقطة السوداء أن السلكين عقدة كهربائية واحدة. تحسب البوابة عندئذ A AND A ثم تعكس الناتج. في جبر Boolean، تساوي A AND A الإشارة A دائما: إذا كانت A صفرا فالقيمتان صفر، وإذا كانت واحدا فالقيمتان واحد. لذلك يصبح خرج NAND هو A prime، أي NOT A. والفكرة نفسها تنطبق على NOR، لأن A OR A تساوي A أيضا. وبعد أن تعكس NOR هذه القيمة نحصل مرة أخرى على A prime. وهكذا تعمل بوابة NAND واحدة أو NOR واحدة كعاكس عندما نوصل مدخليها معا.
3. بناء AND وOR
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
استعد العملية الأصلية بعكس النتيجة مرة ثانية.
خرج NAND الأولى:
$\displaystyle X = \left(A\cdot B\right)'$
صل X إلى كلا مدخلي NAND ثانية.
تعمل NAND الثانية كعاكس:
$\displaystyle Y = \left(X\cdot X\right)' = X'$
تعكس البوابة الثانية النتيجة المتممة من البوابة الأولى.
العكس المزدوج يعيد الجداء:
$\displaystyle Y = \left(\left(A\cdot B\right)'\right)' = A\cdot B$
إذن تنفذ بوابتا NAND عملية AND.
ابدأ في البنية المقابلة بخرج NOR الأولى:
$\displaystyle X = \left(A+B\right)'$
اعكسه بـNOR ثانية موصولة المدخلين:
$\displaystyle Y = \left(\left(A+B\right)'\right)' = A+B$
تتيح قوانين دي مورغان بناء العملية الثالثة المتبقية داخل العائلة نفسها.
نص الشرح الصوتي
لنستعد الآن العملية الأصلية لكل عائلة. تنتج NAND الأولى متممة A AND B. نوصل هذا الخرج إلى مدخلي NAND ثانية. وكما رأينا في الخطوة السابقة، تعمل NAND ذات المدخلين الموصولين كبوابة NOT. لذلك تعكس البوابة الثانية النتيجة المعكوسة مرة أخرى. يلغي العكسان بعضهما، ويبقى A AND B. وهكذا بنينا AND ببوابتي NAND. وتعمل دائرة NOR بالطريقة نفسها. تنتج NOR الأولى متممة A OR B، ثم تعكس NOR الثانية ذات المدخلين الموصولين هذا الناتج، فنستعيد A OR B. وبعد بناء NOT مع AND، أو NOT مع OR، تسمح لنا قوانين De Morgan ببناء العملية الثالثة المتبقية.
4. مثال بثلاث بوابات NAND
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
الدالة المطلوبة باستعمال NAND فقط:
$\displaystyle F = A\cdot B+C$
سمّ كل عقدة وسيطة واقرأ الدائرة عقدة بعد عقدة.
العقدة الأولى من المدخلين A وB:
$\displaystyle N₁ = \left(A\cdot B\right)'$
يتصل كلا مدخلي NAND الثانية بالإشارة C.
العقدة الثانية بعد هوية التكرار:
$\displaystyle N₂ = \left(C\cdot C\right)' = C'$
تستقبل NAND الأخيرة العقدتين المنفصلتين:
$\displaystyle F = \left(N₁\cdot N₂\right)'$
عوض العبارتين كاملتين مع الأقواس:
$\displaystyle F = \left(\left(A\cdot B\right)'\cdot C'\right)'$
يبدل دي مورغان AND مع OR، ثم يلغي العكس المزدوج كل متممة داخلية.
النتيجة النهائية:
$\displaystyle F = A\cdot B+C$
تحتوي الدائرة الكاملة على ثلاث بوابات NAND دون بوابة NOT أو AND أو OR منفصلة.
نص الشرح الصوتي
لننفذ الدالة F تساوي A في B زائد C باستخدام بوابات NAND فقط. لا تحاول قراءة الدائرة كلها دفعة واحدة؛ أعط كل عقدة وسيطة اسما. مدخلا NAND الأولى هما A و B، لذلك N واحد يساوي متممة A في B. مدخلا NAND الثانية موصولان كلاهما بالإشارة C. وبما أن C AND C تساوي C، فإن N اثنين يساوي C prime. تستقبل NAND الأخيرة N واحد و N اثنين، ثم تعكس حاصل ضربهما. عوض معادلتي العقدتين: يصبح F متممة حاصل ضرب متممة A في B مع C prime. وفقا لقانون De Morgan، يحول العكس الخارجي الضرب إلى جمع ويلغي العكسين الداخليين. فنحصل على F تساوي A في B زائد C. وهكذا نفذنا الدالة بثلاث بوابات NAND من دون رمز منفصل لـ NOT أو AND أو OR.
5. التحقق من الصفوف الثمانية
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
تحقق من الدائرة بمقارنتها مع العبارة المباشرة في كل صف.
عدد تركيبات المداخل الثلاثة:
$\displaystyle N = 2^{3} = 8$
احسب أولا AND للمدخلين A وB في كل صف.
اجمع نتيجة AND مع C بعملية OR الشاملة لتحصل على الخرج المباشر.
احسب N₁ متممة الجداء، وN₂ متممة C، ثم NAND للعقدتين.
في الصف 110 تكون A وB واحدا وC صفرا.
في هذا الصف يكون الجداء واحدا، ولذلك:
$\displaystyle F = 1$
في الدائرة تكون N₁ صفرا وN₂ واحدا؛ NAND لهما يعطي واحدا أيضا.
في الصف الأخير 111 تعطي العبارة والدائرة واحدا مرة أخرى.
الخرجان في ترتيب 000 إلى111 هما 0 و1 و0 و1 و0 و1 و1 و1؛ تطابق الصفوف الثمانية يثبت التكافؤ البولياني المستقر.
نص الشرح الصوتي
رسم الدائرة لا يضمن أنها صحيحة، لذلك سنفحص تركيبات المدخلات الثمانية كلها. لدينا ثلاثة مدخلات، ومن ثم يوجد اثنان أس ثلاثة، أي ثمانية صفوف. في كل صف احسب أولا A في B. ولحساب العبارة المباشرة، اجمع هذه القيمة منطقيا مع C. وفي الدائرة، N واحد هو متممة A في B، و N اثنان هو متممة C، والخرج الأخير هو NAND لهاتين العقدتين. خذ مثلا الصف A يساوي واحدا، B يساوي واحدا، و C يساوي صفرا. يكون A في B واحدا، لذلك يكون F المباشر واحدا. وفي الدائرة يصبح N واحد صفرا و N اثنان واحدا، وخرج NAND للصفر والواحد يساوي واحدا أيضا. وعندما تصبح C واحدا في الصف الأخير، تعطي الطريقتان واحدا مرة أخرى. تطابق النتائج في الصفوف الثمانية يثبت صحة التنفيذ.
6. مراجعة التنفيذ بعائلة واحدة
تعني دوائر الخرج الصغيرة العكس، وتعني نقطة الوصل اشتراك المدخلين في عقدة واحدة. يبقى مدخلا NAND الأخيرة في المثال عقدتين منفصلتين. يتطابق خرج الدائرة مع OR لجداء A وB مع C في الصفوف الثمانية.
تذكر ثلاث بنيات متكررة عند استعمال البوابات الشاملة.
صل مدخلي NAND أو NOR بالإشارة نفسها للحصول على عاكس.
اعكس خرج NAND مرة ثانية لاستعادة AND، أو خرج NOR مرة ثانية لاستعادة OR.
طبق دي مورغان على الحدود كاملة للبقاء ضمن عائلة بوابات واحدة.
تتيح العائلة الواحدة إعادة استعمال خلايا دائرة قياسية متكررة.
تقدم الخاتمة decoder وencoder بوصفهما موضوعين لاحقين لكتل توافقية أكبر.
نص الشرح الصوتي
تذكر ثلاث خطوات عند استخدام البوابات الشاملة. أولا، عندما توصل مدخلي NAND أو NOR بالإشارة نفسها، تتحول البوابة إلى NOT. ثانيا، عندما تعكس خرج NAND أو NOR مرة أخرى ببوابة ثانية من العائلة نفسها وموصولة المدخلين، تستعيد AND أو OR الأصلية. ثالثا، تسمح قوانين De Morgan بتحويل بنى الضرب والجمع والبقاء داخل عائلة بوابات واحدة. الفائدة العملية هي أن الدائرة الحقيقية يمكن أن تعتمد على عدد صغير من الخلايا القياسية المتكررة. في الدرس التالي سننتقل من البوابات المفردة إلى كتل توافقية أكبر، ونبدأ ببنيتي decoder و encoder.