Elektromanyetik Teori · Bir Vektör Alanının Diverjansı — Problem Çözümü

#28 Diverjansın kaynak-akış anlamı, üç koordinat sistemindeki formülleri ve Kartezyen ile küresel örnekleri

Diverjansı net dışarı akış olarak yorumla, koordinat formüllerini karşılaştır ve polinomik alan ile ters-kare alanını çöz.

Soru

Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.

A=x²y x̂+y²z ŷ+z²x ẑ alanının P(1,2,3) noktasındaki diverjansını bulun. Ardından A=(1/r²)r̂ alanının r>0 bölgesindeki diverjansını hesaplayıp sonucu Gauss yasası açısından yorumlayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Diverjansı kaynak ve akış olarak yorumla

    Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
    Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.
    Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz.
    Bir önceki örnek soruda gradyanı hesapladık — skaler alandan vektör üreten operatör.
    Bugün farklı bir canavarla tanışıyoruz: diverjans.
    Diverjans, vektör alanını alır ve bir skaler döndürür.
    Yani A her noktada bir vektörse, ∇·A her noktada bir sayıdır.
    Geometrik anlamda, bir noktadaki diverjans, alanın o noktadan birim hacim başına net dışarı akışını ölçer.
    A'yı bir akışkanın hızı gibi düşünün.
    Diverjans pozitifse, nokta etrafındaki küçük bir kutudan içeri girenden daha fazlası dışarı çıkıyor demektir — orada bir kaynak vardır.
    Diverjans negatifse, daha fazlası içeri giriyor — bir su yutağı (sink) vardır.
    Diverjans sıfırsa, içeri ne kadar girerse o kadar dışarı çıkar — alan sıkıştırılamaz, ya da elektromanyetikçinin diliyle solenoidaldir.
    Bu sıvı dinamiğinden çok daha fazlası.
    Elektrostatikte, bir noktadaki elektrik alanın diverjansı, oradaki yük yoğunluğunun epsilon sıfıra bölünmüşüdür.
    Bu, Maxwell denklemlerinden biri.
    Yani diverjans, alanın kaynaklarının nerede olduğunu sormanın yoludur.

    Sesli anlatım metni

    Arkadaşlar merhaba, devam ediyoruz. Bir önceki örnek soruda gradyanı hesapladık — skaler alandan vektör üreten operatör. Bugün farklı bir canavarla tanışıyoruz: diverjans. Diverjans, vektör alanını alır ve bir skaler döndürür. Yani A her noktada bir vektörse, nabla skaler çarpım A her noktada bir sayıdır. Geometrik anlamda, bir noktadaki diverjans, alanın o noktadan birim hacim başına net dışarı akışını ölçer. A'yı bir akışkanın hızı gibi düşünün. Diverjans pozitifse, nokta etrafındaki küçük bir kutudan içeri girenden daha fazlası dışarı çıkıyor demektir — orada bir kaynak vardır. Diverjans negatifse, daha fazlası içeri giriyor — bir su yutağı (sink) vardır. Diverjans sıfırsa, içeri ne kadar girerse o kadar dışarı çıkar — alan sıkıştırılamaz, ya da elektromanyetikçinin diliyle solenoidaldir. Bu sıvı dinamiğinden çok daha fazlası. Elektrostatikte, bir noktadaki elektrik alanın diverjansı, oradaki yük yoğunluğunun epsilon sıfıra bölünmüşüdür. Bu, Maxwell denklemlerinden biri. Yani diverjans, alanın kaynaklarının nerede olduğunu sormanın yoludur.

  2. 2. Üç koordinat sisteminin formüllerini karşılaştır

    Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
    Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.
    Diverjans formülünün şekli her koordinat sisteminde aynıdır, ama hacim elementinin nasıl değiştiğini hesaba katmak için farklı çarpanları vardır.
    Kartezyende: ∇·A eşit kısmi Aₓ bölü kısmi x, artı kısmi Aᵧ bölü kısmi y, artı kısmi Az bölü kısmi z.
    Üç kısmi türev, ek çarpan yok, tam simetrik.
    Silindirikte: ∇·A eşit bir bölü ρ çarpı ρ Aρ'nun ρ'ya göre kısmi türevi, artı bir bölü ρ çarpı Aφ'nin φ'ye göre kısmi türevi, artı Az'nin z'ye göre kısmi türevi.
    Dikkat: ρ, türevin İÇİNDE belirir — hacim elementinin geometrik bozulması bu.
    Küresel sistemde radyal terim, bir bölü r kare çarpı, r kare Aᵣ'nin r'ye göre kısmi türevidir.
    Theta terimi, bir bölü r sinüs θ çarpı, sinüs θ Aθ'nın θ'ya göre kısmi türevidir.
    Phi terimi, bir bölü r sinüs θ çarpı, Aφ'nin φ'ye göre kısmi türevidir.
    Daha derin neden: kartezyen olmayan sistemlerde küçük bir kutunun hacmi, nerede olduğuna bağlıdır.
    Silindirik eksene yakın küçük bir φ süpürmesi az yay kateder, uzakta çok yay kateder.
    Diverjans HACİM başına net akış sorduğu için, formül bu geometrik faktörleri içermek zorundadır.
    Şimdi ikisini de iş başında göreceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Diverjans formülünün şekli her koordinat sisteminde aynıdır, ama hacim elementinin nasıl değiştiğini hesaba katmak için farklı çarpanları vardır. Kartezyende: nabla skaler çarpım A eşit kısmi A x bölü kısmi x, artı kısmi A y bölü kısmi y, artı kısmi A z bölü kısmi z. Üç kısmi türev, ek çarpan yok, tam simetrik. Silindirikte: nabla skaler çarpım A eşit bir bölü rho çarpı rho A rho'nun rho'ya göre kısmi türevi, artı bir bölü rho çarpı A phi'nin phi'ye göre kısmi türevi, artı A z'nin z'ye göre kısmi türevi. Dikkat: rho, türevin İÇİNDE belirir — hacim elementinin geometrik bozulması bu. Küresel sistemde radyal terim, bir bölü r kare çarpı, r kare A r'nin r'ye göre kısmi türevidir. Theta terimi, bir bölü r sinüs theta çarpı, sinüs theta A theta'nın theta'ya göre kısmi türevidir. Phi terimi, bir bölü r sinüs theta çarpı, A phi'nin phi'ye göre kısmi türevidir. Daha derin neden: kartezyen olmayan sistemlerde küçük bir kutunun hacmi, nerede olduğuna bağlıdır. Silindirik eksene yakın küçük bir phi süpürmesi az yay kateder, uzakta çok yay kateder. Diverjans HACİM başına net akış sorduğu için, formül bu geometrik faktörleri içermek zorundadır. Şimdi ikisini de iş başında göreceğiz.

  3. 3. Kartezyen örnekte diverjansı hesapla

    Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
    Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.
    Birinci örnek — kartezyen.
    A eşit x kare y x̂, artı y kare z ŷ, artı z kare x ẑ.
    Noktamız P eşit bir, iki, üç.
    P'de diverjansı bulmak istiyoruz.
    Üç adım, her bileşen için bir tane.
    Birinci adım: Aₓ'in x'e göre kısmi türevi.
    Aₓ eşit x kare y.
    y, x'e göre türev alırken sabit; sonuç iki x y.
    P'de değerlendirelim: iki çarpı bir çarpı iki, eşit dört.
    İkinci adım: Aᵧ'nin y'ye göre kısmi türevi.
    Aᵧ eşit y kare z.
    Şimdi z sabit; türev iki y z.
    P'de iki çarpı iki çarpı üç, eşit on iki.
    Üçüncü adım: Az'nin z'ye göre kısmi türevi.
    Az eşit z kare x.
    x sabit; türev iki z x.
    P'de iki çarpı üç çarpı bir, eşit altı.
    ∇⋅A(1,2,3)=4+12+6=22.\displaystyle ∇\cdot A\left(1,2,3\right) = 4 + 12 + 6 = 22.
    Yorum: P'de diverjans pozitif.
    Eğer A bir akışkanın hızı olsaydı, P çevresindeki küçük bir kutudan giren akışkandan daha fazlası çıkıyor olurdu.
    P, bu alan için bir kaynak gibi davranıyor.
    Başka bir nokta seçseydik, cevap değişirdi — diverjans yerel bir niceliktir.

    Sesli anlatım metni

    Birinci örnek — kartezyen. A eşit x kare y x-şapka, artı y kare z y-şapka, artı z kare x z-şapka. Noktamız P eşit bir, iki, üç. P'de diverjansı bulmak istiyoruz. Üç adım, her bileşen için bir tane. Birinci adım: A x'in x'e göre kısmi türevi. A x eşit x kare y. y, x'e göre türev alırken sabit; sonuç iki x y. P'de değerlendirelim: iki çarpı bir çarpı iki, eşit dört. İkinci adım: A y'nin y'ye göre kısmi türevi. A y eşit y kare z. Şimdi z sabit; türev iki y z. P'de iki çarpı iki çarpı üç, eşit on iki. Üçüncü adım: A z'nin z'ye göre kısmi türevi. A z eşit z kare x. x sabit; türev iki z x. P'de iki çarpı üç çarpı bir, eşit altı. Üçünü topla: P'de nabla skaler çarpım A eşit dört artı on iki artı altı, yirmi iki. Yorum: P'de diverjans pozitif. Eğer A bir akışkanın hızı olsaydı, P çevresindeki küçük bir kutudan giren akışkandan daha fazlası çıkıyor olurdu. P, bu alan için bir kaynak gibi davranıyor. Başka bir nokta seçseydik, cevap değişirdi — diverjans yerel bir niceliktir.

  4. 4. Ters-kare ışınsal alanı çöz

    Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
    Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.
    İkinci örnek — küresel ve bu, her elektromanyetik öğrencisinin cebinde tutması gereken örnektir.
    A eşit bir bölü r kare, r̂ yönünde.
    Bu, ünlü ters kare ışınsal alanıdır.
    Bir nokta yükün dışındaki elektrik alan böyle görünür.
    Bir nokta kütlenin dışındaki gravitasyon alanı böyle görünür.
    Küresel simetrik ve bir bölü r kare olarak azalan ne varsa böyle görünür.
    Diverjansı bulalım.
    Küresel formülün üç terimi var, ama A yalnızca r̂ bileşenine sahip — yani sadece r terimi önemli.
    Nabla skaler çarpım A eşit bir bölü r kare, çarpı, r kare çarpı Aᵣ'nin r'ye göre kısmi türevi.
    Aᵣ eşit bir bölü r kare yerine koyalım.
    Türevin içindeki ifade r kare çarpı bir bölü r kare olur — sadeleşir, bir kalır.
    Birin r'ye göre türevi sıfırdır.
    r>0 için ∇·[(1/r²)r̂] = (1/r²)d(r²·1/r²)/dr = 0.
    Bir saniye durup hissedin.
    Uzayda her yerde, orijin hariç, bu ışınsal ters kare alanın diverjansı sıfır.
    Orijin dışında küçük bir kutu çizerseniz, içeri giren alan çizgi sayısı kadarı dışarı çıkar.
    Dışarıda kaynak yok.
    Tüm kaynak orijinde, yani formülün bozulduğu noktada toplanmıştır.
    İşte Gauss yasasının matematiksel kalbi: bir nokta yük, diverjansı yükün dışında her yerde sıfır olan bir bölü r kare alanı üretir; ve yük etrafında integral alındığında, yüzey ne kadar büyük veya küçük olursa olsun, toplam dışarı akış aynı kalır.
    Bu sonuç bu derste defalarca karşımıza çıkacak.

    Sesli anlatım metni

    İkinci örnek — küresel ve bu, her elektromanyetik öğrencisinin cebinde tutması gereken örnektir. A eşit bir bölü r kare, r-şapka yönünde. Bu, ünlü ters kare ışınsal alanıdır. Bir nokta yükün dışındaki elektrik alan böyle görünür. Bir nokta kütlenin dışındaki gravitasyon alanı böyle görünür. Küresel simetrik ve bir bölü r kare olarak azalan ne varsa böyle görünür. Diverjansı bulalım. Küresel formülün üç terimi var, ama A yalnızca r-şapka bileşenine sahip — yani sadece r terimi önemli. Nabla skaler çarpım A eşit bir bölü r kare, çarpı, r kare çarpı A r'nin r'ye göre kısmi türevi. A r eşit bir bölü r kare yerine koyalım. Türevin içindeki ifade r kare çarpı bir bölü r kare olur — sadeleşir, bir kalır. Birin r'ye göre türevi sıfırdır. Yani nabla skaler çarpım A eşit bir bölü r kare çarpı sıfır, eşit sıfır — her r sıfırdan büyük olduğu için. Bir saniye durup hissedin. Uzayda her yerde, orijin hariç, bu ışınsal ters kare alanın diverjansı sıfır. Orijin dışında küçük bir kutu çizerseniz, içeri giren alan çizgi sayısı kadarı dışarı çıkar. Dışarıda kaynak yok. Tüm kaynak orijinde, yani formülün bozulduğu noktada toplanmıştır. İşte Gauss yasasının matematiksel kalbi: bir nokta yük, diverjansı yükün dışında her yerde sıfır olan bir bölü r kare alanı üretir; ve yük etrafında integral alındığında, yüzey ne kadar büyük veya küçük olursa olsun, toplam dışarı akış aynı kalır. Bu sonuç bu derste defalarca karşımıza çıkacak.

  5. 5. Sonuçları ve fiziksel anlamı özetle

    Diverjansın kaynak ve yutak yorumu, koordinat formülleri ve iki çözümlü örneği gösteren ders karesi.
    Diverjans yerel net dışarı akışı ölçer; ters-kare ışınsal alan r>0 bölgesinde kaynaksızdır.
    Özet.
    Diverjans, bir vektör alanını skalere çevirir; birim hacim başına net dışarı akışı ölçer.
    Pozitif kaynak, negatif su yutağı, sıfır solenoidal demektir.
    Formüller.
    Kartezyen: kısmi Aₓ bölü x, artı kısmi Aᵧ bölü y, artı kısmi Az bölü z.
    Silindirik: bir bölü ρ çarpı ρ Aρ'nun ρ türevi, artı bir bölü ρ çarpı Aφ'nin φ türevi, artı Az'nin z türevi.
    Küresel: bir bölü r kare çarpı r kare Aᵣ'nin r türevi, artı bir bölü r sinüs θ çarpı sinüs θ Aθ'nın θ türevi, artı bir bölü r sinüs θ çarpı Aφ'nin φ türevi.
    Hacim ölçek faktörleri radyal terimlerde türevin İÇİNDE durur — öğrencilerin en çok atladığı kısım budur.
    İki cevap.
    Kartezyen, A eşit x kare y artı y kare z artı z kare x noktası P bir, iki, üç: diverjans yirmi iki.
    Küresel, A eşit bir bölü r kare çarpı r̂: diverjans sıfır, orijinden uzaktaki her noktada.
    Bir sonraki örnek soru: rotasyonel — üçüncü diferansiyel operatör.
    Hoşça kalın.

    Sesli anlatım metni

    Özet. Diverjans, bir vektör alanını skalere çevirir; birim hacim başına net dışarı akışı ölçer. Pozitif kaynak, negatif su yutağı, sıfır solenoidal demektir. Formüller. Kartezyen: kısmi A x bölü x, artı kısmi A y bölü y, artı kısmi A z bölü z. Silindirik: bir bölü rho çarpı rho A rho'nun rho türevi, artı bir bölü rho çarpı A phi'nin phi türevi, artı A z'nin z türevi. Küresel: bir bölü r kare çarpı r kare A r'nin r türevi, artı bir bölü r sinüs theta çarpı sinüs theta A theta'nın theta türevi, artı bir bölü r sinüs theta çarpı A phi'nin phi türevi. Hacim ölçek faktörleri radyal terimlerde türevin İÇİNDE durur — öğrencilerin en çok atladığı kısım budur. İki cevap. Kartezyen, A eşit x kare y artı y kare z artı z kare x noktası P bir, iki, üç: diverjans yirmi iki. Küresel, A eşit bir bölü r kare çarpı r-şapka: diverjans sıfır, orijinden uzaktaki her noktada. Bir sonraki örnek soru: rotasyonel — üçüncü diferansiyel operatör. Hoşça kalın.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #28 | Soru Çözümü #05: Bir Vektör Alanının Diverjansı (7:45)