#11 اشتقاق جهد الخط من فرق الفازورات، تيار الخط، القدرة المتوسطة، وتيار المحايد

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من التوازن إلى الدائرة

   

   تذكير: ثلاثة فازورات متساوية، فصلها 120° ومجموعها صفر.

   نربط التماثل الفازوري الآن بأطراف دائرة محددة.

   التوصيل المدروس Y–Y؛ مصدر نجمي يغذي حملا نجميا متوازنا.

   السؤال الأول: ما الجهد بين طرفي خطين؟

   كيف يرتبط بجهد الطور من الخط إلى المحايد؟

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق بنينا صورة النظام ثلاثي الطور المتوازن: ثلاث فازورات متساوية، وبينها مئة وعشرون درجة، ومجموعها يساوي صفرا. الآن نريد أن نربط هذه الصورة بدائرة حقيقية. أكثر توصيل سنبدأ به هو توصيل واي واي: مصدر على شكل واي يغذي حملا على شكل واي. بمجرد أن نرسم الدائرة تظهر أسئلة مهمة: ما هو الجهد بين خطين؟ وما علاقته بالجهد المقاس بين خط واحد والنقطة المحايدة؟

2. 2. ميّز الخطوط والمحايدين

   

   تتبّع مصدر Y وحمل Y في الرسم.

   جهود الأطراف إلى محايد المصدر هي فازورات V_a وV_b وV_c.

   نقطة المصدر المشتركة هي n.

   فروع الحمل الثلاثة لها الممانعة نفسها Z_Y، ونقطتها المشتركة N.

   الخطوط a وb وc تصل أطراف المصدر بفروع الحمل.

   السلك الرابع، إن وُجد، يربط n بـN ويسمى خط المحايد.

   في Y، جهد الطور من طرف الخط إلى محايده.

   جهد الخط هو الجهد بين طرفي خطين.

   نص الشرح الصوتي

   انظر إلى توصيل واي واي بهدوء. في جهة المصدر توجد ثلاث جهود: V a، و V b، و V c. أطرافها الداخلية تلتقي في نقطة محايدة نسميها n. وفي جهة الحمل توجد ثلاث ممانعات متساوية من نوع Z Y، وأطرافها الداخلية تلتقي في نقطة محايدة أخرى نسميها N. الخطوط a و b و c تنقل القدرة من المصدر إلى الحمل. وإذا وُجد خط رابع بين n و N، فهو خط التعادل أو خط المحايد. الجهد من خط إلى المحايد يسمى جهد الطور. أما الجهد بين خطين فيسمى جهد الخط.

3. 3. ثبّت فازورات التتابع الموجب

   

   تتابع موجب a–b–c؛ V_p مقدار RMS، وليس قيمة القمة.

   الطور المرجعي:

   $\displaystyle V_{a}=V_{p}∠0^{\circ}$

   الطور الثاني:

   $\displaystyle V_{b}=V_{p}∠-120^{\circ}$

   الطور الثالث:

   $\displaystyle V_{c}=V_{p}∠+120^{\circ}$

   المقدار والتردد مشتركان؛ الفصل المنتظم 120°.

   كل فازور يصف الآن جهدا ذا طرف ومرجع محايد محددين.

   نص الشرح الصوتي

   نكتب جهود الطور في التتابع الموجب بهذه الصورة. V a يساوي V p بزاوية صفر درجة. V b يساوي V p بزاوية ناقص مئة وعشرين درجة. و V c يساوي V p بزاوية زائد مئة وعشرين درجة. لاحظ أن الحجم نفسه، والتردد نفسه، والفاصل الزاوي ثابت. إذن ما درسناه كفازورات في الدرس السابق أصبح الآن مربوطا بأطراف محددة في الدائرة.

4. 4. عرّف جهد الخط بفرق فازورين

   

   عرّف V_ab مع الحفاظ على ترتيب حرفي الطرفين.

   الموجب عند a والسالب المرجعي عند b.

   فرق الفازورين ذوي المرجع نفسه:

   $\displaystyle V_{\mathrm{ab}}=V_{a}-V_{b}$

   لا تحفظ جهد الخط منفصلا عن تعريف طرفيه.

   الطرح فازوري، وليس طرح المقدارين الموجبين.

   حوّل الطرح إلى جمع الفازور المعاكس.

   نص الشرح الصوتي

   لنعرف جهد الخط V a b. هذا هو جهد الطرف a بالنسبة إلى الطرف b. لذلك، من قانون كيرشوف للجهد، نكتب: V a b يساوي V a ناقص V b. هذه نقطة مهمة جدا: جهد الخط ليس جهدا جديدا نحفظه منفصلا. هو فرق بين جهدي طور. والآن نسأل: كيف يبدو هذا الطرح على مستوى الفازورات؟

5. 5. اطرح بإضافة الفازور المعاكس

   

   نبدأ بالمرجع:

   $\displaystyle V_{a}=V_{p}∠0^{\circ}$

   نثبت الطور B:

   $\displaystyle V_{b}=V_{p}∠-120^{\circ}$

   الطرح يساوي جمع المعاكس:

   $\displaystyle V_{\mathrm{ab}}=V_{a}+\left(-V_{b}\right)$

   قلب الاتجاه يضيف 180°:

   $\displaystyle -V_{b}=V_{p}∠60^{\circ}$

   انقل الفازور المعاكس إلى رأس V_a دون تغيير اتجاهه.

   المحصلة تمتد من بداية V_a إلى نهاية الفازور المنقول.

   النتيجة في التتابع الموجب:

   $\displaystyle V_{\mathrm{ab}}=\left(\sqrt{3} V_{p}\right)∠30^{\circ}$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالفازور V a على محور المرجع. ثم نضع V b عند ناقص مئة وعشرين درجة. لكي نحسب V a b يساوي V a ناقص V b، نأخذ سالب V b. أي نقلب V b في الاتجاه المعاكس، فيصبح عند زائد ستين درجة. بعد ذلك نضيف هذا السالب إلى V a بطريقة رأس إلى ذيل. القطر الناتج هو V a b. الهندسة هنا تعطينا النتيجة مباشرة: طول V a b يساوي جذر ثلاثة مضروبا في V p، وزاويته تتقدم V a بثلاثين درجة.

6. 6. افصل مقدار الجهد عن زاويته

   

   القاعدة التالية تخص جهد Y المتوازن بتتابع موجب.

   عامل المقدار:

   $\displaystyle \frac{V_{L}}{V_{p}}=\sqrt{3}$

   مقادير RMS:

   $\displaystyle V_{L}=\sqrt{3} V_{p}$

   التقدم على الطور الموافق:

   $\displaystyle ∠V_{\mathrm{ab}}-∠V_{a}=30^{\circ}$

   زوايا جهود الخط:

   $\displaystyle ∠V_{\mathrm{ab}}=30^{\circ},\; ∠V_{\mathrm{bc}}=-90^{\circ},\; ∠V_{\mathrm{ca}}=150^{\circ}$

   نص الشرح الصوتي

   هذه هي النتيجة التي نحتاجها دائما في توصيل واي. جهد الخط أكبر من جهد الطور بمقدار جذر ثلاثة. أي أن V line يساوي جذر ثلاثة في V phase. وكذلك فازور جهد الخط يتقدم فازور الطور الموافق بثلاثين درجة. والفازورات الأخرى، V b c و V c a، تتبع النمط نفسه: الحجم نفسه، وتباعد مئة وعشرين درجة، لكنها تشكل نجمة أكبر ومدارة ثلاثين درجة.

7. 7. اربط تيار الخط بفرع الحمل

   

   الآن تتبّع مسار التيار في فرع الحمل.

   كل ممانعة Y تصل خطا واحدا بمحايد الحمل N.

   لا توجد عقدة تفرّع بين سلك الخط وممانعة طوره.

   تيار الخط a نفسه يمر في فرع الطور a باتجاه المرجع نفسه.

   في Y:

   $\displaystyle I_{L}=I_{p}$

   لا تضرب تيار الطور في جذر ثلاثة في Y.

   في Y المتوازن، عامل جذر ثلاثة يربط مقادير الجهد فقط.

   نص الشرح الصوتي

   الآن ننتقل إلى التيار. في حمل واي، كل ممانعة تقع بين خط واحد ونقطة المحايد. لا يوجد تفرع داخل ذلك الفرع. فالتيار الذي يدخل من الخط a هو نفسه التيار الذي يمر في ممانعة الطور المقابلة. لذلك في توصيل واي: تيار الخط يساوي تيار الطور. هنا لا يوجد عامل جذر ثلاثة في التيار. عامل جذر ثلاثة ظهر في الجهد فقط.

8. 8. اكتب القدرة بمقادير RMS

   

   قدرة طور واحد بمقادير RMS:

   $\displaystyle P_{p}=V_{p} I_{p} \cos \theta$

   ثلاثة أطوار متوازنة:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=3 V_{p} I_{p} \cos \theta$

   التعويض بمقادير الخط:

   $\displaystyle V_{p}=\left(\frac{V_{L}}{\sqrt{3}}\right),\; I_{p}=I_{L}$

   القدرة المتوسطة الكلية:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=\sqrt{3} V_{L} I_{L} \cos \theta$

   θ فرق زاوية جهد الطور وتياره، وليس فرق زاوية جهد الخط وتياره.

   نص الشرح الصوتي

   قدرة طور واحد تساوي V phase في I phase في cos theta، حيث theta هي زاوية الممانعة، أي الزاوية بين الجهد والتيار. لأن لدينا ثلاثة أطوار متوازنة، فالقدرة الكلية تساوي ثلاثة في V phase في I phase في cos theta. وإذا أردنا كتابتها بكميات الخط، نستبدل V phase ب V line مقسوما على جذر ثلاثة، ونستبدل I phase ب I line. فتصبح القدرة الكلية: جذر ثلاثة في V line في I line في cos theta. نفس القدرة، لكن مكتوبة بلغة كميات الخط.

9. 9. احسب المثال خطوة خطوة

   

   مثال RMS؛ النتيجة بلا تقريب وسيط 3456 W. الأرقام المقربة في الشرح تعطي نحو 3.45 kW.

   المعطيات:

   $\displaystyle V_{p}=120 V,\; Z_{Y}=\left(10+j 5\right) \Omega$

   مقدار الممانعة:

   $\displaystyle |Z_{Y}|=\sqrt{10^{2}+5^{2}}=\sqrt{125}\approx 11.18 \Omega$

   زاوية الحمل الحثي:

   $\displaystyle \theta =\arctan \left(\frac{5}{10}\right)\approx 26.57^{\circ}$

   فازور تيار A متأخر عن V_a:

   $\displaystyle I_{a}\approx \left(\frac{120}{\sqrt{125}}\right)∠\left(-26.57^{\circ}\right)\approx 10.73∠\left(-26.57^{\circ}\right) A$

   مقدارا التيار:

   $\displaystyle I_{L}=I_{p}\approx 10.73 A$

   مقدار جهد الخط:

   $\displaystyle V_{L}=\sqrt{3}\cdot 120\approx 207.85 V$

   معامل قدرة متأخر:

   $\displaystyle \cos \theta \approx \cos \left(26.57^{\circ}\right)\approx 0.894$

   بالتعويض مع التقريب:

   $\displaystyle P_{\mathrm{total}}\approx \sqrt{3}\cdot 207.85\cdot 10.73\cdot 0.894\approx 3450 W$

   نص الشرح الصوتي

   لنثبت الفكرة بأرقام. لدينا مصدر واي متوازن، جهد الطور فيه مئة وعشرون فولت آر إم إس، وحمل واي كل فرع فيه Z Y يساوي عشرة زائد j خمسة أوم. أولا نحسب مقدار Z Y: الجذر التربيعي لمئة وخمسة وعشرين، أي أحد عشر فاصلة ثمانية عشر أوم. وزاويته ستة وعشرون فاصلة سبعة وخمسون درجة. إذن تيار الطور يساوي مئة وعشرين مقسوما على أحد عشر فاصلة ثمانية عشر، فيكون عشرة فاصلة ثلاثة وسبعين أمبير، ومتأخرا بزاوية الممانعة. في واي، تيار الخط يساوي تيار الطور. أما جهد الخط فيساوي جذر ثلاثة في مئة وعشرين، أي تقريبا مئتين وسبعة فاصلة خمسة وثمانين فولت. ومعامل القدرة هو cos ستة وعشرين فاصلة سبعة وخمسين، أي تقريبا صفر فاصلة ثمانية تسعة أربعة. إذن القدرة الكلية تساوي جذر ثلاثة في مئتين وسبعة فاصلة خمسة وثمانين في عشرة فاصلة ثلاثة وسبعين في صفر فاصلة ثمانية تسعة أربعة، فتكون تقريبا ثلاثة فاصلة خمسة وأربعين كيلو واط.

10. 10. اجمع تيارات الحمل المتوازن

    

    النتيجة الأخيرة تخص التوازن الجيبي المثالي.

    تيارات الخط لها مقدار واحد وفصل 120°؛ زاوية الحمل مشتركة.

    محصلة تيارات الخط:

    $\displaystyle I_{a}+I_{b}+I_{c}=0$

    تيار المحايد في هذه الحالة:

    $\displaystyle I_{n}=0$

    عدم وجود تيار محايد هنا نتيجة التوازن؛ لا تعمّمها على حمل غير متوازن أو مشوّه.

    نص الشرح الصوتي

    بقيت نتيجة مهمة. في الحمل المتوازن، تيارات الخط الثلاثة نفسها تشكل مجموعة متوازنة: نفس المقدار، وبينها مئة وعشرون درجة. عند جمعها فازوريا بطريقة رأس إلى ذيل، يغلق الشكل، فيكون المجموع صفرا. لذلك تيار المحايد يساوي صفرا في الحالة المثالية المتوازنة. لهذا قد لا يحتاج نظام واي واي المتوازن إلى خط محايد يحمل تيارا، لأن التيارات الثلاثة تتعادل فيما بينها.

11. 11. احتفظ بشروط العلاقات

    

    خلاصة Y المتوازن الموجب:

    $\displaystyle V_{L}=\sqrt{3} V_{p},\; ∠V_{\mathrm{ab}}-∠V_{a}=30^{\circ}$

    تيار Y:

    $\displaystyle I_{L}=I_{p}$

    صيغتا القدرة بمقادير RMS:

    $\displaystyle P_{\mathrm{total}}=3 V_{p} I_{p} \cos \theta =\sqrt{3} V_{L} I_{L} \cos \theta$

    التالي: توصيلة دلتا Δ.

    في دلتا المتوازنة يظهر عامل جذر ثلاثة في علاقة التيار.

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: في توصيل واي واي، جهد الخط يساوي جذر ثلاثة في جهد الطور، ويتقدم بثلاثين درجة. أما تيار الخط فيساوي تيار الطور. والقدرة الكلية يمكن كتابتها بثلاثة في كميات الطور، أو بجذر ثلاثة في كميات الخط. في الدرس القادم ننتقل إلى توصيل دلتا. هناك سيظهر عامل جذر ثلاثة مرة أخرى، لكن هذه المرة في جانب التيار.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #11 - توصيلة واي-واي وعلاقات الخط والطور (7:04)