YKS Matematik · Basamak Kavramı

#08 Döngüsel toplamda en küçük büyük rakam

Soru

ABC, rakamları sıfırdan farklı üç basamaklı bir doğal sayıdır. ABC + CAB + BCA = 1887 A > B > C olduğuna göre, A’nın en küçük değeri kaçtır?

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Her rakam kaç kez kullanılıyor?
ABC = 100A + 10B + C
CAB = 100C + 10A + B
BCA = 100B + 10C + A
Sesli anlatım metni
İlk sayıyı basamak değerleriyle açalım. İkinci sayıda rakamların yerleri döngüsel olarak değişmiş. Üçüncü sayıyı da ekleyince her rakamın bir kez yüzler, bir kez onlar, bir kez birler basamağında olduğunu görürüz.
2. Rakamların toplamını bul
$\displaystyle 111\left(A + B + C\right) = 1887$
$\displaystyle A + B + C = 17$
Sesli anlatım metni
Her rakamın toplam katsayısı yüz on birdir. Toplamı yüz on bir çarpı A artı be artı ce olarak yazabiliriz. Her iki tarafı yüz on bire bölersek rakamların toplamı on yedi bulunur.
3. A için alt sınır kur
A ≤ 6 olsaydı B ≤ 5, C ≤ 4
$\displaystyle A + B + C \le 6 + 5 + 4 = 15$
Bu yüzden A ≥ 7
Sesli anlatım metni
A en fazla altı olsaydı, sıralama gereği be en fazla beş, ce en fazla dört olurdu. Bu durumda toplam en fazla on beş olur. Oysa toplam on yedi olmalı. Demek ki A altı veya daha küçük olamaz. En az yedi olmalıdır.
4. Yedinin mümkün olduğunu göster
$\displaystyle A = 7, B = 6, C = 4$
$\displaystyle 764 + 476 + 647 = 1887$
Cevap: C — 7
Sesli anlatım metni
A yedi, be altı, ce dört seçilirse hem sıralama hem toplam koşulu sağlanır. Bu rakamlarla oluşan üç sayının toplamı bin sekiz yüz seksen yedidir. Alt sınırın gerçekleştiğini de gösterdik. Doğru cevap C, yedi.