YKS Matematik · Sayılar

#10 Asal sayı koşuluyla olasılıkları tamamlamak

Soru

a ve b birer asal sayıdır. 3a + b = 17 olduğuna göre, a + b’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. a için sınır koy
a ve b asal → a ≥ 2, b ≥ 2
$\displaystyle 3a = 17 - b \le 15 \to a \le 5$
a ∈ {2, 3, 5}
Sesli anlatım metni
Asal sayılar birden büyük pozitif tam sayılardır. Bu yüzden a ve be en az ikidir. Be en az iki olduğu için üç a en fazla on beş olur. Dolayısıyla a en fazla beştir. İki ile beş arasındaki asal adaylar yalnız iki, üç ve beş. Böylece bütün olasılıkları sınırladık.
2. Her asal adayı dene
$\displaystyle a = 2 \to b = 11 \to a + b = 13$
a = 3 → b = 8 → uygun değil
$\displaystyle a = 5 \to b = 2 \to a + b = 7$
Sesli anlatım metni
A iki olursa be on bir çıkar. İkisi de asal ve toplamları on üç. A üç olursa be sekiz olur. Sekiz asal olmadığı için bu çifti alamayız. A beş olursa be iki çıkar. Bu çift de uygundur ve toplamı yedidir.
3. Toplamların toplamını bul
Olası a + b değerleri: 13 ve 7
$\displaystyle 13 + 7 = 20$
Sesli anlatım metni
Soru tek bir çiftin toplamını sormuyor. A artı benin alabileceği bütün değerleri istiyor. Bulduğumuz iki farklı toplamı toplarsak yirmi olur.
4. İki çifti eşitlikte kontrol et
$\displaystyle 3 \cdot 2 + 11 = 17$
$\displaystyle 3 \cdot 5 + 2 = 17$
Cevap: D — 20
Sesli anlatım metni
İlk çift verilen eşitliği sağlıyor. İkinci çift de eşitliği sağlıyor. A için başka asal aday kalmadı. Doğru cevap D, yirmi. Yedi veya on üç, yalnız bir olasılığın toplamıdır.