YKS Matematik · Sayılar

#14 Asal bölenlerden mümkün değerleri bulmak

Soru

x ve y birer asal sayı olmak üzere, x · y = y + 20 olduğuna göre, x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Ortak çarpanı ayır
xy − y = 20
$\displaystyle y\left(x - 1\right) = 20$
Sesli anlatım metni
İks çarpı ye eşittir ye artı yirmi. Yeyi sol tarafa alalım. Sol tarafta ortak ye çarpanı var. Paranteze alınca ye çarpı iks eksi bir, yirmiye eşit olur.
2. y için asal bölenleri seç
y, 20’nin asal böleni olmalı.
$\displaystyle 20 = 2^{2} \cdot 5 \to y ∈ \{2, 5\}$
Sesli anlatım metni
İks de ye de asal, dolayısıyla tam sayı. Bu çarpımın yirmi olması için ye, yirminin asal bir böleni olmalı. Yirminin asal çarpanları iki ve beştir. Ye için başka aday yok.
3. Her iki durumu dene
$\displaystyle y = 2 \to x - 1 = 10 \to x = 11$
$\displaystyle y = 5 \to x - 1 = 4 \to x = 5$
Olası x değerleri: 11 ve 5
Sesli anlatım metni
Ye iki olursa iks eksi bir on olur. İks on bir çıkar ve asaldır. Ye beş olursa iks de beş çıkar. Beş asaldır; soruda iks ve yenin farklı olması istenmediğinden bu durum da uygundur. İksin alabileceği iki değeri de bulduk.
4. Kontrol et ve değerleri topla
$\displaystyle 11 \cdot 2 = 2 + 20; 5 \cdot 5 = 5 + 20$
$\displaystyle 11 + 5 = 16$
Cevap: E — 16
Sesli anlatım metni
Her iki çift de başlangıç eşitliğini sağlıyor. İstenen iks değerlerinin toplamıdır; on bir artı beş, on altı. Doğru cevap E, on altı. İki asalın eşit olabildiğini atlamak, iks eşittir beş durumunu yanlışlıkla elememize yol açardı.