YKS Matematik · Sayılar

#15 Ardışık iki tam sayının çarpımı

Soru

x bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

  1. A. x + 1
  2. B. x^{2} − 1
  3. C. x^{2} + x + 1
  4. D. x^{2} − 2x + 1
  5. E. x^{2} + x
Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. E seçeneğini çarpanlara ayır

    x2+x=x(x+1)\displaystyle x^{2} + x = x\left(x + 1\right)
    x ile x + 1 ardışık tam sayıdır.
    Ardışık iki tam sayıdan biri çifttir.

    Sesli anlatım metni

    E seçeneğinde iks kare artı iks var. İks parantezine alırsak iks çarpı iks artı bir olur. İks ve iks artı bir, aralarında bir fark bulunan ardışık iki tam sayıdır. Ardışık sayılardan biri tek, diğeri çifttir. Bu, negatif tam sayılarda da geçerlidir.

  2. 2. Çarpımın neden çift olduğunu göster

    Çift · tam sayı → çift
    x(x + 1) her tam sayı x için çifttir.

    Sesli anlatım metni

    Çarpanlardan biri çift olunca çarpım kesinlikle çifttir. İks sıfır olsa sonuç sıfır olur; sıfır da çifttir. Dolayısıyla herhangi bir istisna yok.

  3. 3. Diğer seçenekleri tek örnekle ele

    x = 0 seçelim.
    A=1;B=−1;C=1;D=1\displaystyle A = 1; B = -1; C = 1; D = 1
    E=0\displaystyle E = 0

    Sesli anlatım metni

    Her zaman çift sayı vermeyen seçenekleri elemek için tek bir karşı örnek yeter. İks yerine sıfır yazalım. İlk dört seçenekte sırasıyla bir, eksi bir, bir ve bir elde edilir. Bunların hepsi tek sayıdır. E seçeneği ise sıfır olur ve yine çifttir.

  4. 4. Genel gerekçeyi hatırla

    Tek örnek elemek için yeterlidir.
    Genel kanıt:
    x2+x=x(x+1)\displaystyle x^{2} + x = x\left(x + 1\right)
    Cevap: E

    Sesli anlatım metni

    Sıfır örneği ilk dört seçeneği eledi; ama E seçeneğinin her zaman çift olduğunu yalnız bir örnekle söylemedik. Peş peşe gelen iki tam sayıdan birinin çift olması, bütün tam sayıları kapsayan gerekçemizdi. Doğru cevap E. Kesinlik sorularında bir karşı örnekle elemek ile bütün durumları kanıtlamak arasındaki farkı hatırlayalım.

Kaynak video: YKS Matematik | Sayılar - Soru 15 Ardışık iki tam sayının çarpımı (1:05)