#03 Toplam sabitken çarpımın sınırları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Toplamı ve sayı kümesini oku

   $\displaystyle a + b = 23$

   a, b ≥ 0; tam sayı

   Sesli anlatım metni

   A ve be iki doğal sayı ve toplamları yirmi üç. Çarpımlarının hem en küçük hem de en büyük değerini bulup bu iki sonucu toplayacağız. Doğal sayılarda sıfır da vardır. Bu ayrıntı en küçük çarpımı bulurken belirleyici olacak.

2. 2. En küçük çarpımı bul

   $\displaystyle a = 0, b = 23$

   En küçük:

   $\displaystyle 0 \cdot 23 = 0$

   Sesli anlatım metni

   Toplamın yirmi üç olması için sayılardan birini sıfır, diğerini yirmi üç seçebiliriz. Bu durumda çarpım sıfırdır. İki doğal sayının çarpımı negatif olamayacağı için bundan daha küçük bir değer yoktur.

3. 3. Sayıları birbirine yaklaştır

   $\displaystyle 10 \cdot 13 = 130$

   $\displaystyle 11 \cdot 12 = 132$

   $\displaystyle \frac{23}{2 }= 11,5$

   Sesli anlatım metni

   En büyük çarpım için toplamı sabit tutarken sayıları birbirine yaklaştıralım. On ve on üçün toplamı yirmi üç; çarpımları yüz otuz. On bir ve on ikiye geldiğimizde toplam yine yirmi üç, fakat çarpım yüz otuz ikiye yükseliyor. Tam denge noktası on bir buçuktur. Sayılar tam sayı olacağı için bu noktaya en yakın çift on bir ve on ikidir.

4. 4. En büyük değeri gerekçelendir

   b − a ≥ 2 olsun

   (a + 1)(b − 1) − ab

   $\displaystyle = b - a - 1 > 0$

   En büyük: 132

   Sesli anlatım metni

   Neden birbirine en yakın sayıları seçiyoruz? Küçük sayıya a, büyük sayıya be diyelim. Aralarında en az iki fark olsun. Büyük sayıdan bir alıp küçüğe verirsek toplam değişmez. Yeni çarpım ile eski çarpımın farkını yazalım. Bu fark, be eksi a eksi birdir ve pozitiftir. Yani sayılar yaklaşırken çarpım artar. On bir ve on ikide artık daha fazla yaklaşamayız. O hâlde en büyük çarpım yüz otuz ikidir.

5. 5. İki sınır değerini topla

   En küçük + en büyük

   $\displaystyle 0 + 132 = 132$

   Cevap: A

   Sesli anlatım metni

   Soruda a ile beyi yeniden toplamıyoruz; çarpımın bulduğumuz iki sınır değerini topluyoruz. Sıfır artı yüz otuz iki, yüz otuz iki eder. Doğru cevap A seçeneği. Sayılar pozitif tam sayı olsaydı sıfırı kullanamazdık; bu yüzden sayı kümesini okumak önemlidir.