#12 Farklı pozitif tam sayılarda en büyük değer

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Diğer terimleri küçült

   $\displaystyle 3a = 21 - \left(b + 2c\right)$

   a, b, c pozitif ve farklı

   Sesli anlatım metni

   A sayısını büyütmek için eşitlikte benin ve iki cenin toplamını küçük tutmamız gerekir. Ancak her üç sayı da pozitif tam sayı ve birbirinden farklı. Sıfır kullanamayız; aynı sayıyı iki kez de seçemeyiz.

2. 2. b + 2c için alt sınır bul

   c = 1 ise b ≥ 2

   $\displaystyle b + 2c \ge 2 + 2 \cdot 1 = 4$

   c ≥ 2 ise b + 2c ≥ 1 + 4 = 5

   Sesli anlatım metni

   Ce bir seçilirse, be pozitif ve ceden farklı olduğundan en az iki olur. Bu durumda be artı iki ce en az dört eder. Ce iki veya daha büyük olursa, be en az bir olduğundan toplam en az beştir. Dolayısıyla genel alt sınır dörttür.

3. 3. a için üst sınır çıkar

   $\displaystyle 3a \le 21 - 4 = 17$

   $\displaystyle a \le \frac{ 17}{3 }\to a \le 5$

   Sesli anlatım metni

   Be artı iki ce en az dört olduğuna göre, üç a en fazla on yedi olabilir. A tam sayı olduğundan on yedi bölü üçün altında kalan en büyük tam sayı beştir. Yani a en fazla beş olabilir.

4. 4. Üst sınırın elde edildiğini göster

   $\displaystyle a = 5 \to b + 2c = 6$

   $\displaystyle b = 4, c = 1$

   $\displaystyle 3 \cdot 5 + 4 + 2 \cdot 1 = 21$

   Cevap: C — 5

   Sesli anlatım metni

   A beş olursa, üç a on beş eder ve geriye be artı iki ce için altı kalır. Be dört ve ce bir seçebiliriz. Beş, dört ve bir birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. Değerleri ilk eşitlikte yerine yazınca yirmi bir elde ediyoruz. Böylece beşin gerçekten mümkün olduğunu doğruladık. Hem üst sınırı kanıtladık hem bu sınıra ulaşan bir örnek bulduk. Doğru cevap C seçeneği.

Kaynak video: YKS Matematik | Sayılar - Soru 12 Farklı pozitif tam sayılarda en büyük değer (1:13)