YKS Matematik · Sayılar

#16 Sıralamadan kesin pozitif ifadeyi bulmak

Soru

x, y, z birer reel sayı olmak üzere, x < 0 < y < z olduğuna göre, aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu kesinlikle pozitiftir?

  1. A. (x + y)/z
  2. B. (y + z)/x
  3. C. (x + z)/y
  4. D. (y − z)/x
  5. E. (z − y)/x
Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Sıralamanın verdiği bilgileri yaz

    x<0;0<y<z\displaystyle x < 0; 0 < y < z
    x: negatif; y ve z: pozitif

    Sesli anlatım metni

    İks sıfırdan küçük; ye ve zet sıfırdan büyük. Ayrıca ye, zetten küçük. Böylece üç sayının işareti belli. Paydalardaki iks, ye ve zetin hiçbiri sıfır değil.

  2. 2. Farkların işaretini belirle

    y<z→y−z<0\displaystyle y < z \to y - z < 0
    z−y>0\displaystyle z - y > 0
    (y − z)/x = negatif / negatif
    D → kesinlikle pozitif

    Sesli anlatım metni

    Ye zetten küçük olduğu için, yeden zet çıkarılırsa negatif sonuç elde edilir. Ters sırada, zetten ye çıkarılırsa sonuç pozitiftir. D seçeneğinde pay ye eksi zet, payda iks. İkisi de negatif. Negatif sayıyı negatif sayıya bölmek pozitif sonuç verir. Bu işaret her uygun değer için aynıdır.

  3. 3. B ve E neden elenir?

    (y + z)/x = pozitif / negatif < 0
    (z − y)/x = pozitif / negatif < 0

    Sesli anlatım metni

    B seçeneğinde iki pozitif sayının toplamı negatif ikse bölünüyor. Sonuç kesinlikle negatiftir. E seçeneğinde de pay pozitif, payda negatif olduğundan sonuç negatiftir.

  4. 4. A ve C için karşı örnek ver

    x=−4,y=1,z=2\displaystyle x = -4, y = 1, z = 2
    −4<0<1<2\displaystyle -4 < 0 < 1 < 2
    A:
    −4+12=−32\displaystyle \frac{-4 + 1}{2 }= -\frac{3}{2}
    C:
    −4+21=−2\displaystyle \frac{-4 + 2}{1 }= -2

    Sesli anlatım metni

    A ve C seçeneklerinde iks ile pozitif bir sayı toplanıyor. İşaret kesin değil. İks eksi dört, ye bir, zet iki seçelim. Bu değerler sorudaki sıralamayı sağlar. A seçeneğinde eksi üç bölü iki elde edilir; pozitif değildir. C seçeneğinde de eksi iki çıkar. Tek bir karşı örnek, kesinlikle pozitif iddiasını çürütmeye yeter.

  5. 5. Kesin olanı seç

    Cevap: D — (y − z)/x
    Önce pay ve paydanın işaretini ayrı bul.

    Sesli anlatım metni

    Her uygun değer için pozitif sonuç veren tek ifade D seçeneğidir. Bu tip sorularda pay ile paydanın işaretini ayrı belirlemek, büyük veya karmaşık sayılarla işlem yapma ihtiyacını azaltır.

Kaynak video: YKS Matematik | Sayılar - Soru 16 Sıralamadan kesin pozitif ifadeyi bulmak (1:20)