YKS Matematik · Taban Aritmetiği (Ek Çalışma)

#13 Taban denkleminde en küçük toplam

Soru

a ve b pozitif tam sayılardır. a ve 2b sayı tabanları olmak üzere (32)_{a} = (57)_{2b} veriliyor. a + b en az kaçtır?

  1. A. 11
  2. B. 19
  3. C. 24
  4. D. 33
  5. E. 38
Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Soruyu birlikte okuyalım

    Taban denkleminde en küçük toplam

    Sesli anlatım metni

    Evet, a ve b pozitif tam sayılar. a tabanındaki üç, iki sayısıyla iki b tabanındaki beş, yedi sayısı birbirine eşitmiş. Bizden a artı b toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor.

  2. 2. İki sayıyı da açalım

    (32)a=3a+2\displaystyle \left(32\right)_{a} = 3a + 2
    (57)2b=5⋅2b+7=10b+7\displaystyle \left(57\right)_{2b} = 5 \cdot 2b + 7 = 10b + 7

    Sesli anlatım metni

    Peki, solda üç tane a’lık ve iki birlik var. Onluk değeri 3a artı 2. Sağdaki taban yalnız b değil, iki b. Beş tane iki b’lik basamak 10b eder. Üzerine 7 birlik ekliyoruz.

  3. 3. Eşitliği düzenleyelim

    3a+2=10b+7⇒3a=10b+5\displaystyle 3a + 2 = 10b + 7 \Rightarrow 3a = 10b + 5

    Sesli anlatım metni

    İki değer eşitmiş. Artı 2’yi sağa eksi 2 olarak gönderelim. Yedi eksi iki, beş; böylece 3a eşittir 10b artı 5 kaldı.

  4. 4. Taban sınırını koyalım

    2b>7⇒b≥4\displaystyle 2b > 7 \Rightarrow b \ge 4

    Sesli anlatım metni

    Şimdi b’yi çok küçük seçebilir miyiz? Sağdaki sayıda 7 rakamı var. İki b tabanı 7’den büyük olmalı. b pozitif tam sayı olduğundan en az 4 olabilir.

  5. 5. En küçük adayı deneyelim

    b=4⇒3a=45⇒a=15\displaystyle b = 4 \Rightarrow 3a = 45 \Rightarrow a = 15
    b artarsa 10b + 5 ve a da artar

    Sesli anlatım metni

    En küçük b olan 4’ü yerine koyalım. On kere dört artı beş, 45. 3a, 45 ise a da 15 olur. Güzel, tam sayı ve soldaki rakamlardan da büyük. Peki daha büyük b ile daha küçük toplam bulabilir miyiz? Hayır. b arttığında sağ taraf, dolayısıyla a da artıyor. Uygun en küçük b zaten bir çözüm verdi.

  6. 6. Son kontrol ve cevap

    (32)15=47;(57)8=47\displaystyle \left(32\right)₁₅ = 47; \left(57\right)₈ = 47
    a + b = 15 + 4 = 19; cevap: B

    Sesli anlatım metni

    Üç kere 15 artı 2, 47. Beş kere 8 artı 7 de 47. İki taraf gerçekten eşit. İstenen toplam 19. Doğru cevap B seçeneği.

Kaynak video: YKS Matematik | Taban Aritmetiği (Ek Çalışma) - Soru 13 Taban denkleminde en küçük toplam #401 (1:24)