#17 Tabanlı çarpımdan tabanı bulmak

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Soruyu birlikte okuyalım

   Tabanlı çarpımdan tabanı bulmak

   Sesli anlatım metni

   Soruda a tabanındaki bir, bir, dört sayısı 3 ile çarpılmış ve yine a tabanında dört, sıfır, iki elde edilmiş. Bu eşitliği sağlayan sayı tabanı a’yı bulmamız isteniyor.

2. 2. Tabanın alt sınırını yazalım

   $\displaystyle a > 4$

   Sesli anlatım metni

   Peki, sayılarda 4 rakamı kullanılmış. Taban a, 4’ten büyük olmak zorunda. Böylece şıklardaki adayları hangi koşulla kontrol edeceğimizi biliyoruz.

3. 3. Basamak değerlerini açalım

   $\displaystyle \left(114\right)_{a} = a² + a + 4$

   $\displaystyle \left(402\right)_{a} = 4a² + 2$

   Sesli anlatım metni

   Üç basamaklı sayıda sağdan sola değerler bir, a ve a kare. Bir tane a kare, bir tane a ve dört birlik var. Sonuçta ise dört tane a kare, sıfır tane a ve iki birlik var. Ortadaki sıfır o basamağın katkısını sıfır yapıyor.

4. 4. Çarpımı dağıtalım

   $\displaystyle 3\left(a² + a + 4\right) = 4a² + 2$

   $\displaystyle 3a² + 3a + 12 = 4a² + 2$

   Sesli anlatım metni

   Bir, bir, dört sayısını 3 ile çarptığımız için açılımın tamamını paranteze alıp 3’le çarpıyoruz. Üç yalnız ilk terime değil, parantezin içindeki her terime dağıtılır. Böylece üç a kare, üç a ve 12 elde edilir.

5. 5. Denklemi sadeleştirelim

   $\displaystyle a² - 3a - 10 = 0$

   $\displaystyle \left(a - 5\right)\left(a + 2\right) = 0$

   Sesli anlatım metni

   Soldaki terimleri sağa taşıyalım: dört a kareden üç a kare çıkar, bir a kare kalır. Üç a karşıya eksi üç a; 12 de eksi 12 olur. İki eksi 12, eksi 10. Çarpımları eksi 10, toplamları eksi 3 olan sayılar eksi 5 ile artı 2. Bu yüzden ifadeyi a eksi beş ile a artı ikinin çarpımı olarak yazabiliriz.

6. 6. Uygun kökü seçip kontrol edelim

   a = 5 veya a = −2; taban:

   $\displaystyle a = 5$

   34 · 3 = 102; (402)₅ = 102; cevap: A

   Sesli anlatım metni

   Çarpım sıfırsa çarpanlardan biri sıfırdır. Adaylar 5 ve eksi 2. Negatif sayı tabanı burada kullanmıyoruz; ayrıca a, 4’ten büyük olmalı. Geriye 5 kalır. Beş tabanında bir, bir, dört; 25 artı 5 artı 4’ten 34 eder. Üçle çarpınca 102. Dört, sıfır, iki de dört çarpı 25 artı 2’den 102. Cevap A.

Kaynak video: YKS Matematik | Taban Aritmetiği (Ek Çalışma) - Soru 17 Tabanlı çarpımdan tabanı bulmak #405 (1:46)