Kontrol Teorisi · Zaman Tanım Bölgesi Özellikleri

#21 Standart ikinci-derece birim-basamak cevabında yükselme, tepe, yüzde aşım ve oturma zamanı; ζ, ωₙ ve s-düzlemi tasarım bölgeleri

İkinci-derece geçici cevabı dört zaman ölçütüyle okuyun ve formüllerin geçerlilik sınırlarını koruyun.

Soru

İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.

Standart ikinci-derece birim-basamak modeli için tᵣ, tₚ, %Mₚ ve tₛ ölçütlerini tanımlayın; formüllerin 0<ζ<1, baskın-kutup, sıfır başlangıç ve seçili tolerans kapsamını açıklayın. ζ=0,4 ve ωₙ=5 rad/s örneğini hesaplayıp gereksinimleri s-düzleminde yorumlayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Standart ikinci-derece basamak cevabının kapsamını kur

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    İkinci dereceden bir sisteme birim basamak girdisi uyguladığımızda, çıkış karakteristik bir eğri izler.
    Yükselir, hedefi aşabilir, salınım yapar ve sonunda oturur.
    Bu eğri geçici performansın önemli bir bölümünü gösterir; kararlı-hâl, eyleyici ve sağlamlık ölçütleri ayrıca gerekir.
    Bugün bu şekli nasıl okuyacağımızı ve sayısallaştıracağımızı öğreniyoruz.

    Sesli anlatım metni

    İkinci dereceden bir sisteme birim basamak girdisi uyguladığımızda, çıkış karakteristik bir eğri izler. Yükselir, hedefi aşabilir, salınım yapar ve sonunda oturur. Bu eğrinin şekli bize sistemin performansı hakkında her şeyi söyler. Bugün bu şekli nasıl okuyacağımızı ve sayısallaştıracağımızı öğreniyoruz.

  2. 2. Yükselme zamanı tanım sözleşmesini belirt

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    İlk parametre yükselme zamanıdır, t r.
    Sistemin ne kadar hızlı tepki verdiğini ölçer.
    Bu derste tᵣ, son değerin %10'undan %90'ına ilk geçiş süresi olarak tanımlanır; kullanılan sözleşme sonuçla birlikte yazılmalıdır.
    Daha kısa tᵣ daha hızlı cevap demektir; tek başına daha iyi tasarım anlamına gelmez.
    Eğriye bakın: başlangıçtaki tırmanış ne kadar dikse, yükselme zamanı o kadar kısadır.

    Sesli anlatım metni

    İlk parametre yükselme zamanıdır, t r. Sistemin ne kadar hızlı tepki verdiğini ölçer. Çıkışın son değerinin yüzde onundan yüzde doksanına ulaşması için geçen süre olarak tanımlarız. Daha kısa yükselme zamanı daha hızlı sistem demektir. Eğriye bakın: başlangıçtaki tırmanış ne kadar dikse, yükselme zamanı o kadar kısadır.

  3. 3. Tepe zamanı ve yüzde aşımı hesapla

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Sıradaki, tepe zamanı t p ilk tepeye ulaşma süresidir.
    Aşım, M p, cevabın son değeri ne kadar aştığını yüzde olarak ifade eder.
    Yüzde yirmi aşım, tepenin son değerin bir nokta iki katına ulaştığı anlamına gelir.
    Standart az-sönümlü ikinci-derece modelde yüksek aşım düşük ζ ve belirgin salınımla ilişkilidir.
    0<ζ<1 için %Mₚ=100exp(−πζ/√(1−ζ²)) olur; formül standart sıfırsız birim-basamak modeli içindir.

    Sesli anlatım metni

    Sıradaki, tepe zamanı t p ilk tepeye ulaşma süresidir. Aşım, M p, cevabın son değeri ne kadar aştığını yüzde olarak ifade eder. Yüzde yirmi aşım, tepenin son değerin bir nokta iki katına ulaştığı anlamına gelir. Yüksek aşım sistemin çok salınımlı olduğunu gösterir. Yüzde aşım formülü: e üzeri eksi pi zeta bölü bir eksi zeta karenin karekökü, çarpı yüz.

  4. 4. Oturma zamanı ve tolerans bandını tanımla

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Oturma zamanı t s, cevabın son değer etrafındaki bir bant içinde kalması için geçen süredir.
    Genellikle yüzde iki veya yüzde beş bandı kullanırız.
    Salınımlar bu bandın içinde kalacak kadar sönümlendiğinde sistem oturmuştur.
    Standart ikinci-derece sönüm zarfında %2 kriteri için tₛ≈4/(ζωₙ); %5 için yaklaşık 3/(ζωₙ) kullanılır.

    Sesli anlatım metni

    Oturma zamanı t s, cevabın son değer etrafındaki bir bant içinde kalması için geçen süredir. Genellikle yüzde iki veya yüzde beş bandı kullanırız. Salınımlar bu bandın içinde kalacak kadar sönümlendiğinde sistem oturmuştur. Formül yaklaşık olarak dört bölü zeta çarpı omega n'dir, yüzde iki kriteri için.

  5. 5. Dört geçici-cevap ölçütünü birlikte oku

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Şimdi dört parametreyi aynı eğri üzerinde birlikte görelim.
    Yükselme zamanı başlangıç hızını yakalar.
    Tepe zamanı ilk maksimumu işaretler.
    Aşım, hedefin üzerindeki fazlalığı ölçer.
    Ve oturma zamanı salınımların ne zaman ihmal edilebilir olduğunu söyler.
    Bu dört sayı standart ikinci-derece geçici cevabı özetler; sıfırlar, ek kutuplar, gecikme ve doğrusal olmayanlık varsa tam karakterizasyon değildir.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi dört parametreyi aynı eğri üzerinde birlikte görelim. Yükselme zamanı başlangıç hızını yakalar. Tepe zamanı ilk maksimumu işaretler. Aşım, hedefin üzerindeki fazlalığı ölçer. Ve oturma zamanı salınımların ne zaman ihmal edilebilir olduğunu söyler. Bu dört sayı, ikinci dereceden bir sistemin geçici davranışını tamamen karakterize eder.

  6. 6. Sönüm oranının etkisini kapsamıyla yorumla

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Standart normalize ikinci-derece modelde bu ölçütler esas olarak ζ ve ωₙ ile belirlenir.
    Zeta, sönüm oranı ve omega n, doğal frekans.
    Zeta'yı değiştirdiğimizde ne olduğuna bakalım.
    Sabit ωₙ altında düşük ζ daha büyük aşım ve daha kalıcı salınım üretir.
    ζ≥1 olduğunda aşım yoktur; sabit ωₙ altında geçiş genellikle yavaşlar.
    ζ için evrensel ideal aralık yoktur; hız, aşım, gürültü, eyleyici ve sağlamlık gereksinimleri birlikte seçimi belirler.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi anahtar bilgi: tüm bu parametreler sadece iki sayıya bağlıdır. Zeta, sönüm oranı ve omega n, doğal frekans. Zeta'yı değiştirdiğimizde ne olduğuna bakalım. Düşük zeta ile sistem hızlı ama salınımlıdır, büyük aşımla. Yüksek zeta ile sistem yavaş ama düzgündür, aşım yoktur. Çoğu tasarım için ideal nokta zeta'nın sıfır nokta dört ile sıfır nokta sekiz arasında olmasıdır.

  7. 7. Zaman gereksinimlerini s-düzlemine taşı

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Zaman tanım bölgesi özelliklerini doğrudan s düzlemine çevirebiliriz.
    %2 yaklaşımında tₛ≤tₛ,max koşulu −Re(p)≳4/tₛ,max dikey sınırını verir.
    Kutuplar yeterince solda olmalıdır.
    Aşım sınırı minimum ζ değerine ve sabit-sönüm oranı ışınlarına karşılık gelir.
    Kutuplar, zeta tarafından belirlenen açıya sahip bir sektörün içinde olmalıdır.
    Seçilen tᵣ yaklaşımı ωₙ ve kutup yarıçapı için yaklaşık alt sınır verebilir.
    Bölgelerin kesişimi baskın ikinci-derece yaklaşımında aday kutupları verir; sıfırlar ve diğer kipler tam modelde doğrulanmalıdır.

    Sesli anlatım metni

    Zaman tanım bölgesi özelliklerini doğrudan s düzlemine çevirebiliriz. Oturma zamanı gereksinimi dikey bir sınır tanımlar. Kutuplar yeterince solda olmalıdır. Aşım gereksinimi kama şeklinde bir bölge tanımlar. Kutuplar, zeta tarafından belirlenen açıya sahip bir sektörün içinde olmalıdır. Yükselme zamanı gereksinimi kutupları orijinden uzaklaştırır. Tüm bu bölgelerin kesişimi kabul edilebilir kutup konumlarını verir.

  8. 8. ζ=0,4 ve ωₙ=5 rad/s örneğini çöz

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Somut bir örnek üzerinde çalışalım.
    Zeta eşittir sıfır nokta dört ve omega n eşittir beş radyan bölü saniye olan bir sistem verilmiş.
    Kullanılan ampirik yaklaşım tᵣ≈1,4/ωₙ ile 0,28 s verir; katsayı yükselme-zamanı tanımına ve ζ'ya bağlıdır.
    tₚ=π/(ωₙ√(1−ζ²))=π/(5√0,84)≈0,686 s olur.
    Aşım: formülü kullanarak yaklaşık yüzde yirmi beş nokta dört elde ederiz.
    %2 yaklaşımı tₛ≈4/(ζωₙ)=4/(0,4·5)=2,00 s verir.
    Bu sayılar bize şunu söyler: hızlı tepki, orta düzey aşım, iki saniyede oturur.

    Sesli anlatım metni

    Somut bir örnek üzerinde çalışalım. Zeta eşittir sıfır nokta dört ve omega n eşittir beş radyan bölü saniye olan bir sistem verilmiş. Yükselme zamanı: yaklaşık bir nokta dört bölü omega n, bu da sıfır nokta yirmi sekiz saniye verir. Tepe zamanı: pi bölü omega n çarpı bir eksi zeta karenin karekökü, bu da sıfır nokta altmış sekiz saniye verir. Aşım: formülü kullanarak yaklaşık yüzde yirmi beş nokta dört elde ederiz. Oturma zamanı: dört bölü zeta çarpı omega n, bu da iki saniye verir. Bu sayılar bize şunu söyler: hızlı tepki, orta düzey aşım, iki saniyede oturur.

  9. 9. Zaman-cevabı ölçütlerini ve varsayımları toparla

    İkinci-derece basamak cevabında yükselme, tepe, aşım ve oturma ölçütlerini gösteren ders karesi.
    Geçici-cevap formülleri standart baskın ikinci-derece model ve açıkça seçilmiş tanım/tolerans sözleşmeleri altında uygulanır.
    Özetleyelim.
    Dört parametre geçici cevabı tanımlar: yükselme zamanı, tepe zamanı, yüzde aşım ve oturma zamanı.
    Bu bağıntılar standart baskın ikinci-derece modelde ζ ve ωₙ üzerinden kurulur.
    Düşük ζ, sabit ωₙ altında daha büyük aşım ve daha kalıcı salınım demektir.
    Yüksek ζ aşımı azaltır; hız yorumu ωₙ ve diğer kiplerle birlikte yapılmalıdır.
    s düzlemi, özellikleri kutup yerleşimine bağlar.
    Bir sonraki derste sürekli hal hatasını ve sistem tipinin farklı giriş sinyalleri için hatayı nasıl belirlediğini inceleyeceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Dört parametre geçici cevabı tanımlar: yükselme zamanı, tepe zamanı, yüzde aşım ve oturma zamanı. Hepsi zeta ve omega n'den gelir. Düşük zeta hızlı ama salınımlı demektir. Yüksek zeta yavaş ama düzgün demektir. s düzlemi, özellikleri kutup yerleşimine bağlar. Bir sonraki derste sürekli hal hatasını ve sistem tipinin farklı giriş sinyalleri için hatayı nasıl belirlediğini inceleyeceğiz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #21 — Zaman Tanım Bölgesi Özellikleri (4:06)