Hidrolik #02 | Boyut Analizi ve Buckingham Pi Teoremi: Tekrarlanan Değişkenler Yöntemi

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılışta 3D animasyonda yan yana iki aynı depo var; ikisinin de yan duvarında, yerden 60 cm yükseklikte bir delik. Soldaki depoda su deliğin 0.45 m, sağdakinde 1.8 m üstünde: dört katı derin. Tıpalar çekilince soldaki jet 1.04 m'ye, sağdaki 2.08 m'ye düşüyor; derinlik dört katı ama hız yalnız iki katı. Neden iki? Bernoulli denklemi olmadan, yalnız boyutlara bakarak ve tek bir deneyle bulacağız. Her hesap adım adım, hiçbir işlem atlanmadan. Bu derste: - Geçen dersin sözü: borudaki basınç düşüşünü etkileyen altı değişkeni üç boyutsuz gruba indirmek. Yöntemin 1911'de ilk yayımlanışı ve adını aldığı Edgar Buckingham. - Buckingham Pi teoremi: n parametre ve j temel boyut varsa problem k = n − j tane boyutsuz grupla (Π grupları) yazılır. - Tekrarlanan değişkenler yönteminin altı adımı: listele ve say, boyutları yaz, k'yi bul, tekrarlanan parametreleri seç, Π'leri kur, boyutsuzluğu denetle. - Tekrarlanan parametre seçme kuralları: bağımlı değişkeni seçme, boyutsuz parametreyi seçme, aynı boyutta iki parametreyi seçme, bütün temel boyutları kapsa; akışkanlarda bir uzunluk, bir hız ve yoğunluk. - Örnek 1, jet hızı: V = f(h, g, ρ), n = 4, j = 3, k = 1. Üsler c = 0, b = −½, a = −½ → Π = V/√(gh) = sabit; yoğunluk sonuçta yok. - Sabiti deney verir: 0.60 m'den düşüş 0.35 s, V = 1.04/0.35 = 2.97 m/s, √(gh) = 2.10 m/s, sabit 1.41 = √2 (Torricelli bağıntısı). Sağ depo için tahmin 5.94 m/s. - Örnek 2, boruda basınç düşüşü: n = 7, j = 3, k = 4; tekrarlananlar V, D, ρ. Sonuç: Δp/ρV² = f(Re, ε/D, L/D). Π'lerle oynama: ters, kare, çarpım; Reynolds ve Euler sayıları. - Üç tuzak: bir parametreyi unutmak (g olmadan Froude sayısı çıkmaz; k = 0 ise j'yi bir azalt), aynı boyutta iki tekrarlanan parametre seçmek, boyut analizinden sayısal katsayı beklemek. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:30 Bir Deney: İki Depo, İki Jet 1:10 Buckingham Pi Teoremi ve Altı Adım 1:56 Tekrarlanan Parametreleri Seçmek 2:29 Örnek 1: Jet Hızı 3:31 Sabiti Deney Verir 4:18 Örnek 2: Borudaki Basınç Düşüşü 5:17 Pi Gruplarıyla Oynamak 5:41 Üç Tuzak 6:15 Özet Bir sonraki derste bu gruplarla model deneyleri kuracağız: benzerlik ve model teorisi. Kaynak kitap: Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications, 3. baskı (McGraw-Hill, 2014), Bölüm 7-4. Konu sırası, teorem ve seçme kuralları kitaptan alındı; deney, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Hidrolik serisinin ikinci dersi. Ön koşul: Hidrolik #1 (boyutlar ve boyutsal homojenlik).