Lineer Cebir #02 | Satır İndirgeme: Basamak Biçimi, Pivot ve Serbest Değişken

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: x₁ + 2x₂ − x₃ = 1, 2x₁ + 4x₂ + x₃ = 11, x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 10. Basamak biçimine getir ve pivotları işaretle, indirgenmiş basamak biçimini bul, genel çözümü yaz ve sağla. Lineer Cebir serisinin ikinci dersinde bu soruyu her hücreyi ayrı söyleyerek çözüyoruz; bir bilinmeyenin neden "serbest" kaldığını ve çözümün neden bir aile olduğunu görüyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: merdiven — basamak biçimi soldan sağa aşağı iner, her basamağın köşesinde bir pivot durur - Basamak biçiminin üç kuralı; indirgenmiş basamak biçiminin iki ek kuralı (öncü 1, öncünün üstü de 0) - Pivot konumu ve pivot sütunu; klasik yanlış: "pivot hep köşegende olur" - Temel ve serbest değişken: pivotsuz sütunun bilinmeyeni bir ayar düğmesi gibidir - Soru 1 (a): ileri faz — R₂ − 2R₁, R₃ − R₁, R₃ − R₂; ikinci sütunda pivot yok, merdiven bir sütun atlar - Soru 1 (b): geri faz — R₂ ÷ 3, R₁ + R₂ → indirgenmiş basamak biçimi (tektir) - Soru 1 (c): genel çözüm (4 − 2t, t, 3); t = 0 ve t = 1 ile üç denklemde sağlama - En sık hata: serbest değişkene 0 verip "tek çözüm" demek — cevap bütün aile - Soru 2: sol üstte 0 → satır değiştir, ölçekle; x = −1 + z, y = 3 − 2z - Soru 3: çözmeden karar — son sütun pivot ise tutarsız; serbest değişken varsa sonsuz çözüm; 3 denklem 4 bilinmeyen tek çözümlü olamaz Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:46 Mantık: Merdiven — Basamak Biçimi ve Pivot 1:51 Temel ve Serbest Değişken 2:49 Soru 1: Üç Denklem, Üç Bilinmeyen 3:14 Soru 1 (a): İleri Faz ve Pivotlar 4:30 Soru 1 (b): Geri Faz, İndirgenmiş Biçim 5:16 Soru 1 (c): Genel Çözüm ve Sağlama 6:35 Soru 2: Satır Değiştir, Ölçekle 7:38 Soru 3: Varlık ve Teklik 8:44 Ne Yaptık? 9:04 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste vektörlere geçiyoruz: vektör denklemleri ve matris denklemi Ax = b. Kaynak kitap: David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 5. baskı — Bölüm 1.2 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Lineer Cebir serisinin ikinci dersi.