Elektromanyetik Teori (v2) #29 | Soru Çözümü #06: Bir Vektör Alanının Rotasyoneli

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

EMT (v2) problem çözüm serisinin altıncı bölümü. Üçüncü diferansiyel operatörle tanışıyoruz: rotasyonel — yani curl. Diverjans bir vektör alanı alıp "kaynaklar nerede?" diye sorarken, curl alıp "alan nerede dönüyor?" diye sorar. Bir noktaya küçük bir su tekerleği bırakın. Tekerlek dönerse ∇×A sıfırdan farklıdır; curl vektörü dönme ekseni boyunca, sağ el kuralıyla yön gösterir. Tekerlek dönmüyorsa alan o noktada irrotasyoneldir. Curl, Maxwell denklemlerinin ikisinde geçer: ∇×E = -∂B/∂t ve ∇×H = J + ∂D/∂t. Aynı zamanda alanın konservatif olup olmadığını söyler — curl her yerde sıfırsa, bir skaler potansiyel vardır. Kartezyen örnek — PS05 ile AYNI alan. Mesajı kuvvetlendirmek için bilerek aynı alanı kullanıyoruz: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ noktası P(1, 2, 3). Geçen videoda bu alanın aynı noktadaki diverjansını yirmi iki bulduk. Şimdi curl'ünü hesaplayalım. Üç terim, altı kısmi türev. ∂Az/∂y - ∂Ay/∂z = 0 - y² = -y². ∂Ax/∂z - ∂Az/∂x = 0 - z² = -z². ∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y = 0 - x² = -x². Yani ∇×A = -y² x̂ - z² ŷ - x² ẑ. P'de: -4 x̂ - 9 ŷ - ẑ. Asıl mesaj: diverjans ve curl, aynı vektör alanına bakan iki bağımsız penceredir — aynı A'da hem kaynak gibi dışarı akış VAR hem de yerel rotasyon VAR, ve tek bir sayı bunu söyleyemez. Küresel örnek — yine PS05 ile aynı alan: A = (1/r²) r̂, ünlü ters kare ışınsal alan. Bir nokta yükün dışındaki elektrik alan. Curl'ü hesapla. Yalnızca radyal bileşeni olan ve Ar yalnızca r'ye bağlı olan bu alanda her terim sıfırlanır: r̂ terimi A_φ ve A_θ ister (ikisi de sıfır), θ terimi ∂Ar/∂φ ister (sıfır), φ terimi ∂Ar/∂θ ister (sıfır). Üç terim de sıfır verir. Yani ∇×A = 0, pozitif r için — ters kare ışınsal alan irrotasyoneldir. Şimdi sonucu hisset. PS05 orijin dışında ∇·A = 0 olduğunu gösterdi. PS06 orijin dışında ∇×A = 0 olduğunu gösteriyor. İkinci koşul, bir skaler potansiyel V'nin var olmasını tam olarak garantileyen koşuldur. Gerçekten: V = 1/r, çünkü -∇(1/r) = (1/r²) r̂ = A. Coulomb potansiyeli, curl sıfır olduğu için vardır. Coulomb integralleri yola bağlı değildir, çünkü curl sıfırdır. Elektrostatikteki neredeyse tüm temiz sonuçlar bu tek olguya dayanır. Konu akışı: 0:00 Giriş 0:03 Kavram: su tekerleği rotasyonu + Maxwell'in curl denklemleri 1:34 Formüller: kartezyen, silindirik, küresel curl (determinant şablonu) 3:02 Kartezyen çözümlü örnek: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ noktası P(1,2,3) 5:37 Küresel çözümlü örnek: A = (1/r²) r̂ → 0 (Coulomb potansiyelinin matematiği) 7:34 Özet Anahtar denklemler: • ∇×A = (∂Az/∂y − ∂Ay/∂z) x̂ + (∂Ax/∂z − ∂Az/∂x) ŷ + (∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y) ẑ (kartezyen) • Silindirik ve küresel: aynı determinant şablonu, ölçek faktörleri h_ρ=1, h_φ=ρ, h_z=1 / h_r=1, h_θ=r, h_φ=r sinθ • Konservatif alan teoremi: ∇×A = 0 her yerde ⟺ A = -∇V (bir skaler V için) Cevaplar: Kart ∇×A = -y² x̂ - z² ŷ - x² ẑ; P(1,2,3)'te: -4 x̂ - 9 ŷ - ẑ. Sph ∇×A = 0 orijin dışında her yerde (irrotasyonel, konservatif). Kaynak: Sadiku, "Elements of Electromagnetics" 7. Baskı, Bölüm 3 (curl/rotasyonel)

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.