Diferansiyel Denklemler #07 | Karmaşık ve Çakışık Kökler, Wronskian

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: y″ + 4y′ + 13y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1. Kökler? Genel çözüm gerçek fonksiyonlarla nasıl yazılır? Başlangıç koşullarını sağlayan çözüm? Bu derste diskriminant negatif ya da sıfır çıkınca ne olduğunu görüyor, soruyu her işlemi ayrı söyleyerek çözüyoruz; ardından çift kök başlangıç değer problemi ve saf salınım. Bu derste: - Zihinsel model: kökün gerçek kısmı λ büyüme ya da sönmeyi, sanal kısmı μ salınımı belirler - Euler: e^((λ+iμ)t) = e^(λt)(cos μt + i sin μt); cevapta i kalmaz - Çakışık kök: ikinci çözüm t·e^(rt); Wronskian W = e^(−2t) ≠ 0 → temel çözüm kümesi - Soru 1 (a): Δ = 16 − 52 = −36 → r = −2 ± 3i - Soru 1 (b): y = e^(−2t)(c₁ cos 3t + c₂ sin 3t); λ negatif, söner; periyot 2π/3 - Soru 1 (c): c₁ = 1, −2c₁ + 3c₂ = 1 → c₂ = 1 - Soru 2: y″ − 6y′ + 9y = 0 → y = (1 + 2t)e^(3t) - Soru 3: y″ + 16y = 0 → y = 2 cos 4t + sin 4t, genlik √5 Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:46 Mantık: Karmaşık Kök = Salınım 1:31 Çakışık Kök ve Wronskian 2:16 Seri Haritası 2:30 Soru 1: y″ + 4y′ + 13y = 0 2:56 Soru 1 (a): Karmaşık Kökler 3:32 Soru 1 (b): Gerçek Genel Çözüm 4:01 Soru 1 (c): Başlangıç Koşulları 4:59 Soru 2: Çift Kök 5:48 Soru 3: Saf Salınım 6:28 Ne Yaptık? 6:46 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste sağ taraf sıfır olmayınca ne yapacağımızı göreceğiz: belirsiz katsayılar. Kaynak kitap: William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11. baskı — Bölüm 3.2–3.4 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Diferansiyel Denklemler serisi.