MATLAB ile Mühendislik #43 | Symbolic Math: Lagrange ile Hareket Denklemi, Çift Sarkaç

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Çift sarkacın hareket denklemini elle değil MATLAB'a çıkartıyoruz: konumu yazıyoruz, kinetik ve potansiyel enerjiden Lagrange denklemleri Symbolic Math Toolbox ile geliyor, sonra ode45 ile benzetim. Varsayılan toleransın hatasız bitip yanlış eğri verdiğini enerjiyle yakalıyor, küçük açıda iki doğal frekansı elle bulup benzetimle sınıyoruz. Problem: m1 = m2 = 1 kg, l1 = l2 = 1 m, g = 9.81; θ1 120°, θ2 −10°, sıfır hız. Tek sarkaç: θ'' = −(g/l) sin θ, ω 3.1321 rad/s, T 2.0061 s. Çift sarkaç: odeToVectorField durum sırası θ2, θ2', θ1, θ1' (y0 yanlış sırada yazılırsa hata yok; E −14.4169 J, doğrusu 0.1490 J). Varsayılan ode45 enerji kayması 2.8363 J; RelTol, AbsTol 1e−10 ile 2.3e−8 J. Enerji sınaması tek yönlüdür: tutmuyorsa çözüm yanlış, tutuyorsa kesin doğru demek değil. Kaos: θ2'ye 1e−6 rad eklenince fark 12.18 s'de 0.1 rad; 20 s sonunda kendi RK4'ümüz ile ode45 arasında 0.02 rad fark var, 20. saniyenin sayısı kesin yörünge değildir. Enerji yüzeyi: dip −29.43, eyerler 9.81 ve −9.81, tepe 29.43. Kısayol: bu sistemde E0, 9.81'in altındaysa üst kol devrilmez (5041 sıfır hızlı başlangıç tarandı, istisna yok); ters yön geçerli değil (enerjisi yeten 1472 başlangıcın 314'ünde 20 s içinde devrilmedi). Küçük açı: M [2 1; 1 1], K [2g 0; 0 g], λ² − 4gλ + 2g² = 0, ω 2.3972 ve 5.7874 rad/s, mod oranı ±√2. ode45 sınaması: 0.2° 2.3972, 5.7872; 2° 2.3969, 5.7743 (hata değil, genlik etkisi: fark genliğin karesiyle büyür); 30° 2.3487. Kısayol: eşit kütle ve boyda ω = 0.7654 √(g/l) ve 1.8478 √(g/l); üst kol genliği mod 1'de 20°, mod 2'de 4° altında frekans %1'den az şaşar (taranmış); kütle ya da boy farklıysa geçmez (m1 2, m2 1, l1 1, l2 0.5: 2.8256, 6.0134 rad/s). Hatalar: serbest değişken, formula unutma, double(E1); sessiz: syms u, diff(l1*sin(u), t) = 0. Bu derste: 1. Lagrange reçetesi: T, V, L ve iki türev 2. Tek sarkaç elle ve syms ile 3. Çift sarkaçta T, V, E1, E2 ve isAlways 4. odeToVectorField, durum sırası tuzağı, matlabFunction 5. ode45 benzetimi ve enerji sınaması 6. Tolerans: 2.8363 J ile 2.3e−8 J 7. Kaos: ikiz koşu ve kesin yörünge sınırı 8. 3B enerji yüzeyi, eyer noktaları, kapalı bölge 9. Küçük açı: M, K, determinant, iki frekans 10. Mod biçimleri ve genlik etkisi 11. Taranmış iki kısayol ve sınırları 12. Mesaj veren hatalar ve sessiz sıfır türev Bölümler: 0:00 Problem: çift sarkaç, gerekli eklenti 0:36 Kapsam 0:52 Mantık: konumu yaz, gerisi türev 1:23 Sınav sorusu: tek sarkaç 1:38 (a) Denklem elle 2:20 (b) Periyot ve syms 2:51 Asıl soru: çift sarkaç 3:12 Konum, kinetik enerji, isAlways 3:50 E1, E2: dört tür terim 4:14 odeToVectorField ve durum sırası 4:49 ode45 ile benzetim 5:10 Enerji sınaması 5:53 Tolerans ve tek yönlü sınama 6:20 Sıra tuzağı 6:44 Kaos: kesin yörünge yok 7:18 3B enerji yüzeyi 7:59 Enerji kısayolu ve sınırı 8:24 Üçüncü soru: küçük açı, kütle ve katılık matrisi 8:57 İki doğal frekans elle 9:33 Mod biçimi ve benzetimle sınama 10:15 Frekans kısayolu ve sınırı 10:49 Hatalar ve sessiz sıfır 11:13 Ne yaptık? 11:39 Kural Gerekli MATLAB eklentileri: Symbolic Math Toolbox 26.2 (MATLAB R2026b): syms, sembolik diff, subs, simplify, solve, det, jacobian, formula, isAlways, odeToVectorField, matlabFunction, latex. Temel MATLAB: ode45, odeset, eig, meshgrid. Kaynak kitap: Lagrange denklemleriyle hareket denklemi: Rao, Mechanical Vibrations (5. baskı), §6.7 (yerel PDF ile doğrulandı). MathWorks R2026b Symbolic Math Toolbox belgeleri temel alındı. Senaryo, sayılar, animasyonlar ve örnekler özgündür. Her sonuç MATLAB'dan bağımsız bir Python denetimiyle doğrulandı (elle Euler-Lagrange, kendi RK4'ümüz, taramalar). Anlatım yapay zekâ sesiyle (Gemini) seslendirildi; ders kurgusu, örnekler ve MATLAB çalıştırmaları özgündür. Hedef kitle: makine, mekatronik ve inşaat öğrencileri; titreşim ve dinamik dersi alanlar. Ön koşul: türev, kinetik ve potansiyel enerji, temel ODE; MATLAB'da ode45 bilmek yardımcı olur.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.