Olasılık ve İstatistik #07 | Poisson Dağılımı: Bir Saatte Kaç Arıza?

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: bir makinede arızalar rastgele ve birbirinden bağımsız; saatte ortalama iki arıza oluyor. Bir saatte hiç arıza olmama olasılığı nedir? Bir saatte en az iki arıza olma olasılığı? Üç saatte tam dört arıza olma olasılığı nedir, beklenen değer ve varyans kaç? Olasılık serisinin yedinci dersinde saati dakikalara bölüp binomdan Poisson'a geçiyoruz; ardından binoma Poisson yaklaşımı ve uzunluk aralığında Poisson süreci. Bu derste: - Zihinsel model: ortalama belli, soru kaç olay; saati 60 dakikaya böl, n büyür, p küçülür, n · p = 2 sabit kalır, sınır e^(−2) - Klasik yanlış: ortalama 2 ise her saat 2 arıza olur sanmak (tam 2 arıza yalnız ≈ 0.27); 3 saatte λt'yi 2 bırakmak (≈ 0.09 çıkar, doğrusu 0.134) - Poisson: f(x) = e^(−λt) (λt)^x / x!; E(X) = Var(X) = λt; Poisson sürecinin üç varsayımı - Soru 1 (a): λt = 2, P(X = 0) = e^(−2) ≈ 0.135 (0! = 1); dakika dakika binom 0.131 - Soru 1 (b): en az iki arıza, tümleyenle: 1 − 3e^(−2) ≈ 1 − 0.406 = 0.594 - Soru 1 (c): λt = 2 · 3 = 6; P(X = 4) = e^(−6) · 6⁴ / 4! = 54 e^(−6) ≈ 0.134; E = Var = 6, σ ≈ 2.45 - Soru 2 (binoma Poisson yaklaşımı): n = 1000, p = 0.002, λ = np = 2; P(X = 0) ≈ 0.135 (binom 0.1351, fark binde birden az) - Soru 3 (uzunluk aralığı): km başına 0.3 çukur, 10 km: λt = 3; E = Var = 3, σ ≈ 1.73; hiç çukur yok: e^(−3) ≈ 0.05 Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:46 Mantık: Saati Dakikalara Böl 1:52 Poisson Çubukları ve Poisson Süreci 2:39 Seri Haritası 2:50 Soru 1: Saatte İki Arıza 3:17 Soru 1 (a): Bir Saatte Hiç Arıza 4:01 Soru 1 (b): En Az İki Arıza 4:56 Soru 1 (c): Üç Saatte Dört Arıza 5:54 Soru 2: Binoma Poisson Yaklaşımı 6:46 Soru 3: Uzunluk Aralığında Poisson 7:28 Ne Yaptık? 7:49 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste sayı değil süre ölçüyoruz: sürekli rastgele değişken. Kaynak kitap: Douglas C. Montgomery, George C. Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers, 7. baskı — Bölüm 3.8 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Olasılık ve İstatistik serisinin yedinci dersi.