Deprem Mühendisliği #04 | Sönümsüz Serbest Titreşim: Doğal Frekans, Periyot ve Genlik

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda kolonları aynı iki çerçeve var; sağdakinin çatısında üç beton blok, kütlesi soldakinin dört katı. İkisini de aynı miktarda yana çekip bırakıyoruz: soldaki iki tam salınım yaparken sağdaki yalnız bir salınım yapıyor. Kütle dört katına çıkınca periyot iki katına çıkıyor. Bu derste sönümsüz serbest titreşimi çözüyor ve bunun nedenini görüyoruz. Bu derste: - Sönüm ve dış kuvvet yoksa m ü + k u = 0; hareket bir başlangıç yer değiştirmesi ya da başlangıç hızıyla başlar. - Çözüm: u(t) = u(0) cos ωn t + [u̇(0)/ωn] sin ωn t; basit harmonik hareket, en büyük yer değiştirmede hız sıfır. - ωn = √(k/m) rad/s, Tn = 2π/ωn s, fn = 1/Tn Hz; üçü de yalnız kütleye ve rijitliğe bağlıdır, başlangıç koşullarına değil. - Statik sehimle: ωn = √(g/δst); statik sehim büyüdükçe periyot uzar. - Genlik: başlangıç yer değiştirmesi ile başlangıç hızı bölü ωn'nin karelerinin toplamının karekökü; sönüm olmadığı için her çevrimde aynı. - Örnek: 27470 kN/m, 80 t → k/m ≈ 343.4, ωn ≈ 18.53 rad/s, Tn ≈ 0.34 s, fn ≈ 2.95 Hz. - Başlangıç koşulu 10 mm ve 0.20 m/s → hız terimi 200/18.53 ≈ 10.79 mm, genlik ≈ 14.7 mm. - Kiriş rijitliği: aynı çerçevede rijit kirişte ωn ≈ 21.16, kirişsiz ≈ 10.58 rad/s; rijitlik dört kat değişince frekans iki kat değişir. - Üç tuzak: ωn ile frekansı karıştırmak (18.53 rad/s ve 2.95 Hz, arada 2π), periyodu genliğe bağlı sanmak, periyodun kütleyle doğru orantılı olduğunu sanmak (kütlenin kareköküyle büyür). Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:17 Kütle Dört Kat, Periyot İki Kat 0:37 Denklem ve Çözüm 1:04 Basit Harmonik Hareket 1:23 Periyot ve Frekans 1:49 Statik Sehimle 2:04 Genlik 2:19 Örnek: Betonarme Çerçeve 2:58 Kiriş Rijitliği ve Frekans 3:20 Üç Tuzak 3:48 Özet Bir sonraki derste sönümü ekleyecek ve hareketin nasıl söndüğünü göreceğiz. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 2.1. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin dördüncü dersi. Ön koşul: bu serinin üçüncü dersi (hareket denklemi).