Kontrol Teorisi #43 — Root Locus + Kararlılık ve Salınım için K Aralığı (Çözümlü Örnek 20)

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açık döngü transfer fonksiyonunda bir sağ yarı düzlem kutbu ve iki saf sanal sıfır taşıyan serbest bir kazanç K. Kapalı döngü hakkında üç soruyu — root locus çizimi, kararlılık için K aralığı, salınım için K aralığı — tek bir karakteristik denklem ve dört kısa hesapla cevaplıyoruz. İşlenen konular: - Birim geri besleme kapalı döngüsünün kararlılığı ⟺ kapalı döngü kutupları açık sol yarı düzlemde - 1 + G_o(s) = 0 üzerinden kapalı döngü karakteristik denkleminin kurulması - Kuadratik kararlılık kestirmesi: tüm katsayılar › 0 ⟺ kararlı (ikinci derecede Routh-Hurwitz hem gerek hem yeter) - Diskriminant analizi Δ = b² − 4ac ‹ 0 ⟺ karmaşık eşlenik kutuplar ⟺ salınım - Root locus kuralları: dal sayısı, reel eksen parçaları, asimptotlar, jω ekseni geçişi, ayrılış/varış açıları, sonsuzdaki davranış - Kararlılık ve salınım aralıklarını birleştirip sistemin her ikisini birden ne zaman sağladığını bulmak Problem (Sample Midterm A, son problem): G_o(s) = K (s² + 4) / [(s + 3)(s − 1)]. - (a) Root locus çiz ve kullanılan kuralları yaz. - (b) Hangi K için kapalı döngü kararlıdır? - (c) Hangi K için kapalı döngü salınımlıdır? Açık döngü özellikleri: - Kutuplar: s = −3, +1 (biri sağ yarı düzlemde — açık döngü kararsız) - Sıfırlar: s = ±2j (jω ekseninde) - n = m = 2 (asimptot yok) Adım adım çözüm: - Kapalı döngü CE: (1 + K)·s² + 2s + (4K − 3) = 0 - Katsayılar: a = 1+K, b = 2, c = 4K − 3 - (b) Kararlılık — tüm katsayılar › 0: - 1 + K › 0 ⇒ K › −1 - 2 › 0 her zaman - 4K − 3 › 0 ⇒ K › 3/4 - Birleştir: K › 3/4 - (c) Salınım — diskriminant ‹ 0: - Δ = 4 − 4(1+K)(4K−3) = 16 − 16K² − 4K - Δ ‹ 0 ⇔ 4K² + K − 4 › 0 - K kökleri: K = (−1 ± √65)/8 ≈ 0.883 ve −1.133 - Kararlılık ile birleştir: K › (√65 − 1)/8 ≈ 0.883 - (a) Root locus: - 2 dal (n = m = 2) - Reel eksen parçası: [−3, +1] - Asimptot yok (n − m = 0) - jω geçişi orijinde, K = 3/4'te (kararlılık sınırı) - Dallar AÇK kutuplarında −3 ve +1'de başlar, reel eksen parçası boyunca kayar, K ≈ 0.883'te ayrılır, karmaşık düzleme kıvrılır ve K → ∞ olduğunda ±2j'deki AÇK sıfırlarında biter Cevaplar: - (a) İki dal eksi üç ve artı birde başlar, aralarındaki reel eksen parçası boyunca kayar, K = (√65 − 1)/8'de ayrılır, K → ∞ olurken ±2j'ye kıvrılır. K = 3/4'te jω eksenini orijinde keser. - (b) Kapalı döngü, K › 3/4 için kararlıdır. - (c) Kapalı döngü, K › (√65 − 1)/8 ≈ 0.883 için salınımlıdır. Ana fikir: kapalı döngü kutupları her hikâyeyi anlatır — kararlılık, salınım, geçici şekil — ve root locus, bunları kazancın bir fonksiyonu olarak birbirine bağlayan resimdir. Üç soru, bir karakteristik denklem, dört kısa hesap. Bu, midterm çözümlü örnek serisini sonlandırır — yirmi soruda sistem modelleme, transfer fonksiyonları, durum uzayı, doğrusallaştırma, kararlılık, zaman spesifikasyonları ve root locus kapsandı. Her adım açıkça gösteriliyor — kestirme yok. Konular: 00:00 Kapak 00:03 Problem — root locus + kararlılık ve salınım için K aralığı 01:18 Strateji — bir CE, üç farklı sonuç 02:30 Adım 1 — kapalı döngü karakteristik denklemini kur 03:58 Adım 2 — kuadratik katsayılarla kararlılık ⇒ K › 3/4 05:33 Adım 3 — diskriminant ile salınım ⇒ K › 0.883 08:13 Adım 4 — root locus kuralları ve çizim 11:30 Özet Oynatma listesi: Kontrol Teorisi - AcEdumy GitHub: https://github.com/acedumy

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.