Kalkülüs #15 | Eğriler Arasındaki Alan ve Fonksiyonun Ortalama Değeri

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda üç tipte gelir: y = x² − 4x + 3 parabolü ile y = x − 1 doğrusu arasındaki alan; y = x² ve y = 2x eğrileri ile x = 0, x = 3 doğruları arasındaki toplam alan; f(x) = 6x − x²'nin [0, 6]'daki ortalama değeri ve f(c) = f_ort olan c'ler. Bu derste iki eğri arasındaki alanı ince şeritlerle, üst eksi alt yazarak buluyoruz; şerit yatay olunca y'ye göre integral alıyoruz ve fonksiyonun ortalama değerini hesaplıyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: ince şerit (yüksekliği üst eksi alt, genişliği dx olan dikdörtgen) - A = ∫ₐᵇ (üst − alt) dx; sınırlar kesişim noktaları - Kesişip yer değiştiren eğrilerde alanı parçalara bölmek: A = ∫ |f − g| dx - Yatay şerit: x = y² ile x = 2y + 3 arası, ∫₋₁³ (sağ − sol) dy = 32/3 - Ortalama değer f_ort = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f dx ve ortalama değer teoremi - Soru 1: y = x² − 4x + 3 ile y = x − 1 arasındaki alan 9/2 = 4,5 - Soru 2: y = x² ve y = 2x, [0, 3] → 4/3 + 4/3 = 8/3 - Soru 3: f(x) = 6x − x², [0, 6] → f_ort = 6, c = 3 ± √3 Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:37 İnce Şerit: Üst Eksi Alt 1:13 Eğriler Arası Alanın Beş Adımı 1:38 Kesişip Yer Değiştiren Eğriler 2:11 dx mi, dy mi? 2:46 y'ye Göre İntegral 3:29 Fonksiyonun Ortalama Değeri 4:03 Ortalama Değer Teoremi 4:35 Üç Tuzak 5:05 Soru 1: Parabol ile Doğru 5:50 Soru 1: Üst, Alt ve Yükseklik 6:40 Soru 1: Hesap ve Sağlama 7:46 Soru 2: y = x² ve y = 2x 8:34 Soru 2: İki Parça 9:22 Soru 2: Toplam Alan 10:00 Soru 3: Ortalama Değer 10:32 Soru 3: İntegral ve Ortalama 11:14 Soru 3: c Noktaları 12:15 Ne Yaptık? 12:52 Akılda Kalan Kural Sonraki derste dönel cisimlerin hacmini göreceğiz. Kaynak kitap: James Stewart, Daniel Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9. baskı Metric (Cengage, 2021), §6.1 ve §6.5 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Kalkülüs serisinin 15. dersi. Ön koşul: belirli integral ve Kalkülüsün Temel Teoremi.