Elektromanyetik Teori (v2) #27 | Soru Çözümü #04: Silindirik ve Küresel Gradyan

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

EMT (v2) problem çözüm serisinin dördüncü bölümü. #26'da kartezyen koordinatlarda gradyanı hesaplamıştık. Bugün aynı operatörü silindirik ve küresel koordinatlara taşıyoruz; formül φ teriminde 1/ρ, küresel formda ise θ teriminde 1/r ve φ teriminde 1/(r sinθ) çarpanı kazanıyor. Bu çarpanlar nereden geliyor? Yay uzunluğu: dφ açısal adımı silindirikte ρ dφ, küreselde r sinθ dφ kadar mesafe kateder. Gradyan birim MESAFE başına değişimi sorduğu için, açı başına değişimi yarıçapla bölmek zorundayız. Silindirik örnek: f(ρ, φ, z) = sin(2φ) + z, nokta P(2, π/6, 1). ρ türevi sıfır (f'de ρ yok). φ türevi 2cos(2φ); P'de 1/ρ uygulayınca (1/2)·2·cos(π/3) = (1/2)·2·(1/2) = 1/2 — dikkat: 1/ρ çarpanı cevaba 1/2'yi açıkça katıyor, atlamak yanlış sonuç verir. z türevi 1. Sonuç: ∇f|_P = 0 ρ̂ + (1/2) φ̂ + ẑ, |∇f| = √(5/4) = √5/2 ≈ 1.118. Küresel örnek: f(r, θ, φ) = r cosθ, nokta P(2, π/3, π/4). Fonksiyonu tanıyın: r cosθ = z, yani f aslında küresel kıyafet giymiş z-koordinatından başka bir şey değil — z'nin gradyanının ẑ olduğunu zaten biliyoruz. r türevi cosθ → P'de 1/2. θ türevi -r sinθ; 1/r uygulayınca -sinθ → -√3/2. φ türevi sıfır. Sonuç: ∇f|_P = (1/2) r̂ - (√3/2) θ̂ + 0 φ̂, |∇f| = 1. Sağlama: ẑ'yi küresel bazda açın → ẑ = cosθ r̂ - sinθ θ̂ → θ = π/3 için bu (1/2) r̂ - (√3/2) θ̂. Tam olarak bulduğumuz sonuç. Konu akışı: 0:00 Giriş 0:05 Kavram: yay uzunluğu sezgisi (1/ρ ve 1/(r sinθ) nereden geliyor) 1:35 Formüller: silindirik ve küresel gradyan yan yana 3:03 Silindirik çözümlü örnek: f = sin(2φ) + z 4:50 Küresel çözümlü örnek: f = r cosθ + sağlama 7:09 Özet Anahtar denklemler: • ∇f = (∂f/∂ρ) ρ̂ + (1/ρ)(∂f/∂φ) φ̂ + (∂f/∂z) ẑ (silindirik) • ∇f = (∂f/∂r) r̂ + (1/r)(∂f/∂θ) θ̂ + (1/(r sinθ))(∂f/∂φ) φ̂ (küresel) • df = ∇f · dℓ (her sistemde temel tanım) • Yay uzunluğu: silindirikte ρ dφ, küreselde r sinθ dφ (çarpanların kaynağı) Cevaplar: silindirik ∇f = (1/2) φ̂ + ẑ, |∇f| = √5/2 ≈ 1.118. küresel ∇f = (1/2) r̂ - (√3/2) θ̂ = ẑ, |∇f| = 1. Kaynak: Sadiku, "Elements of Electromagnetics" 7. Baskı, Bölüm 3 (gradyan, silindirik ve küresel formüller)

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.