Deprem Mühendisliği #13 | Sayısal Çözüm II: Newmark Yöntemi ve Newton–Raphson

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Açılıştaki 3D animasyonda geçen dersin üç su deposu var ve üçünü aynı kuvvet darbesi itiyor. Soldaki tam çözüm. Ortadaki ve sağdaki aynı büyük adımı kullanıyor: 0.45 saniye. Sağdaki merkezi fark yine birkaç adımda patlıyor; ortadaki Newmark'ın ortalama ivme yöntemi aynı adımla bile sınırlı kalıyor. Ama tam çözümle aynı da değil. Bu derste Newmark yöntemini, kararlılığı, hesap hatasını ve yapı akınca kullanılan Newton–Raphson iterasyonunu görüyoruz: kararlı olmak, doğru olmak demek değildir. Bu derste: - Newmark yöntem ailesi: adım sonundaki hız ve yer değiştirme, adım başındaki değerlerle ve iki uçtaki ivmelerle yazılır; γ ve β ivmenin adım içindeki değişimini, dolayısıyla kararlılığı ve doğruluğu belirler. γ = 1/2, β 1/6 ile 1/4 arasında. - Ortalama ivme (γ = 1/2, β = 1/4): ivme adım boyunca sabit, iki ucun ortalaması. Doğrusal ivme (γ = 1/2, β = 1/6): ivme doğrusal değişir. - Doğrusal sistemler: k̂ u(i+1) = p̂(i+1), k̂ = k + γ/(βΔt) c + 1/(βΔt²) m. Denge bilinmeyen anda kurulur: kapalı yöntem (merkezi fark açık). - Örnek su deposu (60 t, 1500 kN/m, c = 30 kN·s/m, üçgen darbe), ortalama ivme Δt = 0.1 s: a1 = 24600, a2 = 2430, a3 = 60, k̂ = 26100 kN/m. - Elle iki adım: u1 ≈ 0.29 mm, hız 5.75 mm/s, ivme ≈ 115 mm/s²; p̂2 = 15 + 7.07 + 13.97 + 6.90 ≈ 42.9 kN; u2 ≈ 1.64 mm (tam 0.20 ve 1.55 mm). - Doğruluk: en büyük yer değiştirme ortalama ivmede 25.8 mm (yüzde 2.2 eksik), doğrusal ivmede 26.4 mm (yüzde 0.2), merkezi farkta yüzde 4 fazla. - Kararlılık: ortalama ivme koşulsuz kararlı; doğrusal ivme Δt/T en fazla 0.551 (su deposunda 0.69 s); merkezi fark 0.40 s. - Hesap hatası: sönümsüz serbest titreşimde Δt = T/10 ile periyot ortalama ivmede yüzde 3.2, doğrusal ivmede yüzde 1.6 uzar, merkezi farkta yüzde 1.7 kısalır; Δt = T/5'te ortalama ivmede yüzde 12. Kural: Δt periyodun onda birini ve kaydın adımını geçmesin; adımı yarıya indirip karşılaştırın. - Doğrusal olmayan sistemler: merkezi fark yay kuvvetini bilinen andan alır; Newmark dengeyi bilinmeyen anda kurar, Newton–Raphson iterasyonu gerekir (artık kuvvet, teğet rijitlik, dinamikte k̂T = kT + a1). - Akan su deposu (akma kuvveti 30 kN, akma yer değiştirmesi 20 mm): 0.5 → 0.6 s adımında artık kuvvet 157.2 → düzeltme 6.0 mm → akma → artık kuvvet 4.6 → 0.19 mm → 23.3 mm. En büyük 26.9 mm; kalıcı yer değiştirme 6.9 mm. - Üç yanılgı: Newmark'ı her zaman kararlı sanmak, kararlıyı doğru sanmak (Δt = 0.45 s'de ilk adım 9.3 mm, tam 13.9 mm), doğrusal olmayan sistemde iterasyonu atlamak. Bölümler: 0:00 Geçen Ders ve Bugün 0:27 Bir Bakış: Aynı Büyük Adım, İki Yöntem 0:55 Newmark Yöntem Ailesi 1:23 Ortalama İvme ve Doğrusal İvme 1:52 Doğrusal Sistemler: Kapalı Yöntem 2:28 Örnek: Sabitler 3:10 Örnek: İlk İki Adım 4:08 Doğruluk Karşılaştırması 4:32 Kararlılık 5:06 Hesap Hatası: Periyot Uzaması 5:45 Doğrusal Olmayan Sistemler 6:09 Newton–Raphson İterasyonu 6:34 Örnek: Akan Su Deposu 7:34 Üç Yanılgı 8:06 Özet Bir sonraki derste yapı akınca ne olduğunu ayrıntılı görüyoruz: elastik olmayan sistemler ve süneklik. Kaynak kitap: A. K. Chopra, Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 5. baskı SI (Pearson, 2020), Bölüm 5.4–5.7. Konu sırası, tanımlar ve bağıntılar kitaptan alındı; 3D sahne, örnekler ve sayılar özgündür. İnşaat Mühendisliği öğrencileri için Deprem Mühendisliği serisinin on üçüncü dersi. Ön koşul: bu serinin on ikinci dersi (zaman adımlı yöntemler ve merkezi fark).