Kalkülüs #01 | Limit ve Süreklilik: Yaklaşmak, Varmak Değil

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda şöyle gelir: x 3'ten küçükken f(x) = (x² + 2x − 15)/(x − 3), f(3) = 5, x 3'ten büyükken f(x) = 2x + k. Soldan limiti bul; limitin var olması için k kaç olmalı; f, 3'te sürekli mi? Kalkülüs serisinin bu ilk dersinde limitin ne demek olduğunu bir delikli fonksiyonla görüyor, sonra bu soruyu her işlemi ayrı söyleyerek çözüyoruz; ardından eşlenikle çarpılan bir 0/0 sorusu ve limiti olmayan bir sıçrama. Bu derste: - Zihinsel model: limit yaklaşmaktır, varmak değil — fonksiyonun o noktadaki değeri limiti değiştirmez - Delikli fonksiyon: g(1) tanımsız ama x → 1 iken limit 3 (0.9 → 2.9, 1.01 → 3.01) - Klasik yanlış: "limit = fonksiyonun o noktadaki değeri" - Soldan ve sağdan limit; limit var ancak ve ancak ikisi eşitse - Limit kuralları ve doğrudan yerine koyma; 0/0 bir cevap değil, "ortak çarpan var" uyarısı - Süreklilik: kalemi kaldırmadan çizmek — üç şart: f(a) tanımlı, limit var, limit = f(a) - Soru 1 (a): 0/0 → (x + 5)(x − 3) → x + 5 → soldan limit 8; tabloyla sağlama - Soru 1 (b): sağdan 6 + k = 8 → k = 2 - Soru 1 (c): f(3) = 5 ≠ 8 → kaldırılabilir süreksizlik; f(3) = 8 ile düzelir - Soru 2: (√(x + 4) − 3)/(x − 5) → eşlenikle çarp → 1/6 - Soru 3: x² + 1 ve 3x − 2 → soldan 5, sağdan 4 → limit yok, sıçrama Bölümler: 0:00 Kalkülüse Giriş ve Sınav Sorusu 0:41 Mantık: Yaklaşmak, Varmak Değil 1:36 Limit Kuralları ve 0/0 Uyarısı 2:12 Süreklilik: Üç Şart 2:50 Seri Haritası 3:11 Soru 1: Parçalı Fonksiyon 3:34 Soru 1 (a): 0/0, Çarpanlar, Soldan Limit 4:30 Soru 1 (b): Sağdan Limit ve k 5:10 Soru 1 (c): Süreklilik 5:52 Soru 2: Eşlenikle 0/0 6:48 Soru 3: Sıçrama, Limit Yok 7:18 Ne Yaptık? 7:34 Akılda Kalan Kural ve Sıradaki Ders Sıradaki derste sonsuza giden limitlere ve asimptotlara bakacağız. Kaynak kitap: James Stewart, Daniel Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9. baskı (Metric) — Bölüm 2.2, 2.3, 2.5 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Kalkülüs serisinin ilk dersi.