Kalkülüs #13 | Kalkülüsün Temel Teoremi: Belirsiz İntegral ve Net Değişim

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Sınavda üç tipte gelir: ∫₀¹ (6x² + 4x + 2eˣ) dx'i hesaplayın; üst sınırı x² olan bir integralin türevini bulun; hız fonksiyonundan yer değiştirmeyi ve toplam yolu bulun. Riemann toplamı dersinde uzun bir limitle bulduğumuz 32/3'ü bu derste Kalkülüsün Temel Teoremi ile iki satırda buluyoruz. Bu derste: - Zihinsel model: musluk ve kova (biriken alanın artış hızı integrandın kendisi) - Temel Teorem, 1. kısım: (d/dx) ∫ₐˣ f(t) dt = f(x); üst sınır x² ise zincir kuralı - Temel Teorem, 2. kısım: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a); belirsiz integral ∫ f(x) dx = F(x) + C - Net değişim teoremi: hızın integrali yer değiştirme, |v|'nin integrali yol - Süreklilik şartı: ∫₋₁¹ 1/x² dx'e teorem uygulanmaz - Soru 1: ∫₀¹ (6x² + 4x + 2eˣ) dx = 2 + 2e ≈ 7,44 - Soru 2: g(x) = ∫₄^(x²) √(t² + 9) dt → g(2) = 0, g'(x) = 2x√(x⁴ + 9), g'(2) = 20, teğet y = 20x − 40 - Soru 3: v(t) = 12 − 3t² → t = 2 s'de yön değiştirir; yer değiştirme 9 m, toplam yol 23 m Bölümler: 0:00 Giriş ve Sınav Sorusu 0:39 Biriken Alan: Musluk ve Kova 1:24 Temel Teorem: 1. Kısım 1:58 Temel Teorem: 2. Kısım, F(b) − F(a) 2:50 Belirsiz İntegral ve Tablo 3:29 Net Değişim Teoremi 4:07 Süreklilik Şartı: Hangisine Uygulanmaz? 5:02 Üç Tuzak 5:35 Soru 1: Belirli İntegral 6:12 Soru 1: Terim Terim Ters Türev 6:55 Soru 1: Üst Eksi Alt 7:58 Soru 2: Üst Sınırı x² Olan İntegral 8:34 Soru 2 (b): Zincirli Türev 9:02 Soru 2 (c): Teğet Doğrusu 9:53 Soru 3: Robotun Hızı ve Yön Değişimi 10:39 Soru 3 (b): Yer Değiştirme 11:21 Soru 3 (c): Toplam Yol 12:12 Ne Yaptık? 12:45 Akılda Kalan Kural Sonraki derste yerine koyma yöntemini göreceğiz. Kaynak kitap: James Stewart, Daniel Clegg, Saleem Watson, Calculus: Early Transcendentals, 9. baskı Metric (Cengage, 2021), §5.3–5.4 (konu sırası, tanım ve problem tipi). Örnekler özgündür. Mühendislik öğrencileri için Kalkülüs serisinin 13. dersi. Ön koşul: ters türev ve belirli integralin tanımı (Riemann toplamı).